El Teorema de Liouville es un resultado importante de la mecánica hamiltoniana, en el cual el hipervolumen del espacio de fases se mantiene constante. Este teorema también aparece en la mecánica cuántica para entender los estados mixtos.
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| Representación de las líneas del mundo en la mecánica hamiltoniana y representación del vector de estado en la esfera de Bloch. |
Para su demostración en el teorema de Liouville se necesita de la ecuación de continuidad de la mecánica de fluidos. A continuación deduciremos la ecuación de continuidad de la mecánica de fluidos en distintas coordenadas curvilíneas ortogonales, etc.
Ecuación de Continuidad
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| Grafico guía de Flujo de Masa Entrante y Flujo de Masa Saliente |
Para deducir la ecuación de continuidad se hace un balance entre la velocidad de acumulación de masa con el flujo de masa entrante y el flujo de masa saliente respectivamente. Por ello se utilizara un diferencial de volumen constante.
$${\large \begin{align*} \frac{\partial m}{\partial t} &= \dot{m} \\ \frac{\partial m}{\partial t} &= \int_{S} \rho \vec{v} \cdot d\vec{S} \end{align*} }$$
La velocidad de acumulación de masa viene definida de la siguiente forma
$${\large \begin{align*} m &= \rho \Delta u_{1} h_{1} \Delta u_{2} h_{2} \Delta u_{3} h_{3} \\ \frac{\partial m}{\partial t} &= \frac{\partial (\rho \Delta u_{1} h_{1} \Delta u_{2} h_{2} \Delta u_{3} h_{3})}{\partial t} \\ \frac{\partial m}{\partial t} &= \Delta u_{1} h_{1} \Delta u_{2} h_{2} \Delta u_{3} h_{3} \frac{\partial \rho }{\partial t} \end{align*} }$$
El flujo de masa entrante y el flujo de masa saliente con velocidad ${\large \vec{v} = v_{u_{1}} \hat{u_{1}} + v_{u_{2}} \hat{u_{2}} + v_{u_{3}} \hat{u_{3}} }$ viene dada por la siguiente ecuación
$${\large \begin{align*} \begin{split} \dot{m} &= \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \int_{S} \left( -\vec{\rho v_{u_{1}}}(u_1 + \Delta u_{1}, u_2, u_3) \cdot \hat{u_{1}} + \vec{\rho v_{u_{1}}}(u_1, u_2, u_3) \cdot \hat{u_{1}} \right) h_{2}h_{3} du_{2} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \int_{S} \left( - \vec{\rho v_{u_{2}}}(u_1, u_2 + \Delta u_{2}, u_3) \cdot \hat{u_{2}} + \vec{\rho v_{u_{2}}}(u_1, u_2, u_3) \cdot \hat{u_{2}} \right) h_{1}h_{3} du_{1} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \int_{S} \left( - \vec{\rho v_{u_{3}}} (u_1, u_2, u_3 + \Delta u_{3}) \cdot \hat{u_{3}} + \vec{\rho v_{u_{3}}} (u_1, u_2, u_3) \cdot \hat{u_{3}} \right) h_{1}h_{2} du_{1} du_{2} \right) \end{split} \end{align*} }$$
Como la velocidad y el vector normal son ortogonales entonces su producto punto es igual a 1
$${\large \begin{align*} \begin{split} \dot{m} &= \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \int_{S} \left( - \rho v_{u_{1}}(u_1 + \Delta u_{1}, u_2, u_3) + \rho v_{u_{1}}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3} du_{2} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \int_{S} \left( - \rho v_{u_{2}}(u_1, u_2 + \Delta u_{2}, u_3) + \rho v_{u_{2}}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3} du_{1} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \int_{S} \left( - \rho v_{u_{3}} (u_1, u_2, u_3 + \Delta u_{3}) + \rho v_{u_{3}} (u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2} du_{1} du_{2} \right) \end{split} \end{align*} }$$
Si escribimos ${\large dS = du_{i} h_i du_{j} h_j }$ en su forma explicita ${\large \Delta S = \Delta u_{i} h_i \Delta u_{j} h_j }$ para el flujo de masa.
$${\large \begin{align*} \begin{split} \dot{m} &= \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \left( - \rho v_{u_{1}}(u_1 + \Delta u_{1}, u_2, u_3) + \rho v_{u_{1}}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3} \Delta u_{2} \Delta u_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \left( - \rho v_{u_{2}}(u_1, u_2 + \Delta u_{2}, u_3) + \rho v_{u_{2}}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3} \Delta u_{1} \Delta u_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \left( - \rho v_{u_{3}} (u_1, u_2, u_3 + \Delta u_{3}) + \rho v_{u_{3}} (u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2} \Delta u_{1} \Delta u_{2} \right) \end{split} \end{align*} }$$
Igualando la velocidad de acumulación de masa y el flujo másico
$${\large \begin{align*} \Delta u_{1} h_{1} \Delta u_{2} h_{2} \Delta u_{3} h_{3} \frac{\partial \rho }{\partial t} &= \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \left( - \rho v_{u_{1}}(u_1 + \Delta u_{1}, u_2, u_3) + \rho v_{u_{1}}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3} \Delta u_{2} \Delta u_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \left( - \rho v_{u_{2}}(u_1, u_2 + \Delta u_{2}, u_3) + \rho v_{u_{2}}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3} \Delta u_{1} \Delta u_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \left( - \rho v_{u_{3}} (u_1, u_2, u_3 + \Delta u_{3}) + \rho v_{u_{3}} (u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2} \Delta u_{1} \Delta u_{2} \right) \\ \frac{\partial \rho }{\partial t} &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \frac{ (- \rho v_{u_{1}}(u_1 + \Delta u_{1}, u_2, u_3) + \rho v_{u_{1}}(u_1, u_2, u_3) ) h_{2}h_{3} }{ \Delta u_{1}} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \frac{ (- \rho v_{u_{2}}(u_1, u_2 + \Delta u_{2}, u_3) + \rho v_{u_{2}}(u_1, u_2, u_3) ) h_{1}h_{3} }{ \Delta u_{2}} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\Delta V \to 0}\left( \frac{ (- \rho v_{u_{3}} (u_1, u_2, u_3 + \Delta u_{3}) + \rho v_{u_{3}} (u_1, u_2, u_3) ) h_{1}h_{2} }{ \Delta u_{3}} \right) \\ \frac{\partial \rho }{\partial t} &= -\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial (\rho v_{u_{1}} h_{2}h_{3} )}{ \partial u_{1}} - \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial (\rho v_{u_{2}} h_{1}h_{3})}{ \partial u_{2}} - \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial (\rho v_{u_{3}} h_{1}h_{2})}{ \partial u_{3}} \\ \frac{\partial \rho }{\partial t} &= -\nabla \cdot (\rho \vec{v}) \\ 0 &= \frac{\partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) \end{align*} }$$
En términos de la derivada material
$${\large \begin{align*} 0 &= \frac{\partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) \\ 0 &= \frac{\partial \rho }{\partial t} + \rho \nabla \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \nabla \rho \\ 0 &= \frac{D \rho }{D t} + \rho \nabla \cdot \vec{v} \end{align*}}$$
Teorema de Liouville (Mecánica Clásica)
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| Hipervolumen del espacio de fases en la mecánica hamiltoniana. |
Partiendo de la ecuación de continuidad para la mecánica de fluidos, con la observación de que las partículas presentes viajan con una velocidad ${\large \vec{v_{i}} = (\dot{q_{i}}, \dot{p_{i}}) }$ en el espacio de fases.
$${\large \begin{align*} 0 &= \frac{\partial \rho }{\partial t} + \sum_{i=1}^{3N} \left[ \nabla \cdot (\rho \vec{v_{i}}) \right] \\ 0 &= \frac{\partial \rho }{\partial t} + \sum_{i=1}^{3N} \left[ \frac{ \partial (\rho \dot{q_{i}}) }{\partial q_{i}} + \frac{ \partial (\rho \dot{p_{i}}) }{\partial p_{i}} \right] \\ 0 &= \frac{\partial \rho }{\partial t} + \sum_{i=1}^{3N} \left[ \dot{q_{i}} \frac{ \partial \rho }{\partial q_{i}} + \rho \frac{ \partial \dot{q_{i}} }{\partial q_{i}} + \dot{p_{i}} \frac{ \partial \rho }{\partial p_{i}} + \rho \frac{ \partial \dot{p_{i}} }{\partial p_{i}} \right] \\ 0 &= \frac{\partial \rho }{\partial t} + \sum_{i=1}^{3N} \left[ \dot{q_{i}} \frac{ \partial \rho }{\partial q_{i}} + \dot{p_{i}} \frac{ \partial \rho }{\partial p_{i}} + \rho \left( \frac{ \partial \dot{p_{i}} }{\partial p_{i}} + \frac{ \partial \dot{q_{i}} }{\partial q_{i}} \right)\right] \end{align*} }$$
Usando las ecuaciones de Hamilton
$${\large \begin{align*} 0 &= \frac{\partial \rho }{\partial t} + \sum_{i=1}^{3N} \left[ \dot{q_{i}} \frac{ \partial \rho }{\partial q_{i}} + \dot{p_{i}} \frac{ \partial \rho }{\partial p_{i}} + \rho \left( \frac{ \partial \dot{p_{i}} }{\partial p_{i}} + \frac{ \partial \dot{q_{i}} }{\partial q_{i}} \right)\right] \\ 0 &= \frac{\partial \rho }{\partial t} + \sum_{i=1}^{3N} \left[ \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{ \partial \rho }{\partial q_{i}} - \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{ \partial \rho }{\partial p_{i}} + \rho \left( \frac{ \partial }{\partial p_{i}} \left( - \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) + \frac{ \partial }{\partial q_{i}} \left( \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \right)\right)\right] \\ 0 &= \frac{\partial \rho }{\partial t} + \sum_{i=1}^{3N} \left[ \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{ \partial \rho }{\partial q_{i}} - \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{ \partial \rho }{\partial p_{i}} + \rho \left( - \frac{\partial^2 H}{\partial q_{i} \partial p_{i}} + \frac{\partial^2 H}{\partial p_{i} \partial q_{i}} \right)\right] \\ 0 &= \frac{\partial \rho }{\partial t} + \sum_{i=1}^{3N} \left[ \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{ \partial \rho }{\partial q_{i}} - \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{ \partial \rho }{\partial p_{i}} \right] \\ 0 &= \frac{\partial \rho }{\partial t} - \{ H, \rho \} \end{align*} }$$
Donde un resultado importante es que el hipervolumen del espacio de fases bajo evolución hamiltoniana se conserva, es decir, ${\large \nabla \cdot \vec{v_{i}} = 0 }$
Teorema de Liouville (Mecánica Cuántica)
El teorema de Liouville también esta presente en la mecánica cuántica. Para deducirla se parte desde el operador densidad de la mecánica cuántica. Partiendo de la definición de ecuación de schrodinger para un vector de estado
$${\large \begin{align*} i\hbar \frac{\partial \ket{\Psi_{j}}}{\partial t} &= \hat{H} \ket{\Psi_{j}} \\ -i\hbar \frac{\partial \bra{\Psi_{j}}}{\partial t} &= \bra{\Psi_{j}} \hat{H} \end{align*}}$$
Por operador densidad
$${\large \begin{align*} \hat{\rho} &= \sum_{j}^{N} \left[ \rho_{j} \ket{\Psi_{j}}\bra{\Psi_{j}} \right] \end{align*}}$$
Ahora procedemos a derivar con respecto al tiempo el operador densidad
$${\large \begin{align*} \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} &= \sum_{j}^{N} \left[ \rho_{j} \frac{\partial}{\partial t} \left( \ket{\Psi_{j}}\bra{\Psi_{j}} \right) \right] \\ \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} &= \sum_{j}^{N} \left[ \rho_{j} \left( \frac{\partial \ket{\Psi_{j}} }{\partial t} \bra{\Psi_{j}} + \ket{\Psi_{j}} \frac{\partial \bra{\Psi_{j}}}{\partial t} \right) \right] \\ i\hbar \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} &= \sum_{j}^{N} \left[ \rho_{j} \left( i\hbar \frac{\partial \ket{\Psi_{j}} }{\partial t} \bra{\Psi_{j}} + i\hbar \ket{\Psi_{j}} \frac{\partial \bra{\Psi_{j}}}{\partial t} \right) \right] \\ i\hbar \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} &= \sum_{j}^{N} \left[ \rho_{j} \left( \hat{H} \ket{\Psi_{j}} \bra{\Psi_{j}} - \ket{\Psi_{j}} \bra{\Psi_{j}} \hat{H} \right) \right] \\ i\hbar \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} &= \sum_{j}^{N} \left[ \hat{H} \rho_{j} \ket{\Psi_{j}} \bra{\Psi_{j}} - \rho_{j} \ket{\Psi_{j}} \bra{\Psi_{j}} \hat{H} \right] \\ i\hbar \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} &= \hat{H} \sum_{j}^{N} \left[ \rho_{j} \ket{\Psi_{j}} \bra{\Psi_{j}} \right] - \sum_{j}^{N} \left[ \rho_{j} \ket{\Psi_{j}} \bra{\Psi_{j}} \right] \hat{H} \\ i\hbar \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} &= \hat{H} \hat{\rho} - \hat{\rho} \hat{H} \\ i\hbar \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} &= [\hat{H}, \hat{\rho}] \\ 0 &= i\hbar \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} - [\hat{H}, \hat{\rho}] \end{align*} }$$
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