Teorema de Liouville (Mecánica Clásica y Mecánica Cuántica)

El Teorema de Liouville es un resultado importante de la mecánica hamiltoniana, en el cual el hipervolumen del espacio de fases se mantiene constante. Este teorema también aparece en la mecánica cuántica para entender los estados mixtos.

Representación de las líneas del mundo en la mecánica hamiltoniana y representación del vector de estado en la esfera de Bloch. 

Para su demostración en el teorema de Liouville se necesita de la ecuación de continuidad de la mecánica de fluidos. A continuación deduciremos la ecuación de continuidad de la mecánica de fluidos en distintas coordenadas curvilíneas ortogonales, etc.

Ecuación de Continuidad

Grafico guía de Flujo de Masa Entrante y Flujo de Masa Saliente

Para deducir la ecuación de continuidad se hace un balance entre la velocidad de acumulación de masa con el flujo de masa entrante y el flujo de masa saliente respectivamente. Por ello se utilizara un diferencial de volumen constante.

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial m}{\partial t}& =\dot{m}\\ \frac{\partial m}{\partial t}& ={\int }_S\rho \overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S}\end{array}$$

La velocidad de acumulación de masa viene definida de la siguiente forma

$$\begin{array}{rl}m& =\rho \mathrm{\Delta }{u}_1{h}_1\mathrm{\Delta }{u}_2{h}_2\mathrm{\Delta }{u}_3{h}_3\\ \frac{\partial m}{\partial t}& =\frac{\partial (\rho \mathrm{\Delta }{u}_1{h}_1\mathrm{\Delta }{u}_2{h}_2\mathrm{\Delta }{u}_3{h}_3)}{\partial t}\\ \frac{\partial m}{\partial t}& =\mathrm{\Delta }{u}_1{h}_1\mathrm{\Delta }{u}_2{h}_2\mathrm{\Delta }{u}_3{h}_3\frac{\partial \rho }{\partial t}\end{array}$$

El flujo de masa entrante y el flujo de masa saliente con velocidad $\overrightarrow{v}=v_{u_1}\widehat{u_1}+v_{u_2}\widehat{u_2}+v_{u_3}\widehat{u_3}$ viene dada por la siguiente ecuación

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}\dot{m}& =\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left({\int }_S(-\overrightarrow{\rho v_{u_1}}(u_1+\mathrm{\Delta }{u}_1,u_2,u_3)\cdot \widehat{u_1}+\overrightarrow{\rho v_{u_1}}(u_1,u_2,u_3)\cdot \widehat{u_1})h_2{h}_{3}d{u}_{2}d{u}_3\right)\\ & +\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left({\int }_S(-\overrightarrow{\rho v_{u_2}}(u_1,u_2+\mathrm{\Delta }{u}_2,u_3)\cdot \widehat{u_2}+\overrightarrow{\rho v_{u_2}}(u_1,u_2,u_3)\cdot \widehat{u_2})h_1{h}_{3}d{u}_{1}d{u}_3\right)\\ & +\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left({\int }_S(-\overrightarrow{\rho v_{u_3}}(u_1,u_2,u_3+\mathrm{\Delta }{u}_3)\cdot \widehat{u_3}+\overrightarrow{\rho v_{u_3}}(u_1,u_2,u_3)\cdot \widehat{u_3})h_1{h}_{2}d{u}_{1}d{u}_2\right)\end{array}\end{array}$$

Como la velocidad y el vector normal son ortogonales entonces su producto punto es igual a 1

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}\dot{m}& =\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left({\int }_S(-\rho v_{u_1}(u_1+\mathrm{\Delta }{u}_1,u_2,u_3)+\rho v_{u_1}(u_1,u_2,u_3))h_2{h}_{3}d{u}_{2}d{u}_3\right)\\ & +\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left({\int }_S(-\rho v_{u_2}(u_1,u_2+\mathrm{\Delta }{u}_2,u_3)+\rho v_{u_2}(u_1,u_2,u_3))h_1{h}_{3}d{u}_{1}d{u}_3\right)\\ & +\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left({\int }_S(-\rho v_{u_3}(u_1,u_2,u_3+\mathrm{\Delta }{u}_3)+\rho v_{u_3}(u_1,u_2,u_3))h_1{h}_{2}d{u}_{1}d{u}_2\right)\end{array}\end{array}$$

Si escribimos $dS=d{u}_i{h}_{i}d{u}_j{h}_j$ en su forma explicita $\mathrm{\Delta }S=\mathrm{\Delta }{u}_i{h}_i\mathrm{\Delta }{u}_j{h}_j$ para el flujo de masa.

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}\dot{m}& =\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left((-\rho v_{u_1}(u_1+\mathrm{\Delta }{u}_1,u_2,u_3)+\rho v_{u_1}(u_1,u_2,u_3))h_2{h}_3\mathrm{\Delta }{u}_2\mathrm{\Delta }{u}_3\right)\\ & +\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left((-\rho v_{u_2}(u_1,u_2+\mathrm{\Delta }{u}_2,u_3)+\rho v_{u_2}(u_1,u_2,u_3))h_1{h}_3\mathrm{\Delta }{u}_1\mathrm{\Delta }{u}_3\right)\\ & +\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left((-\rho v_{u_3}(u_1,u_2,u_3+\mathrm{\Delta }{u}_3)+\rho v_{u_3}(u_1,u_2,u_3))h_1{h}_2\mathrm{\Delta }{u}_1\mathrm{\Delta }{u}_2\right)\end{array}\end{array}$$

Igualando la velocidad de acumulación de masa y el flujo másico

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{u}_1{h}_1\mathrm{\Delta }{u}_2{h}_2\mathrm{\Delta }{u}_3{h}_3\frac{\partial \rho }{\partial t}& =\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left((-\rho v_{u_1}(u_1+\mathrm{\Delta }{u}_1,u_2,u_3)+\rho v_{u_1}(u_1,u_2,u_3))h_2{h}_3\mathrm{\Delta }{u}_2\mathrm{\Delta }{u}_3\right)\\ & +\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left((-\rho v_{u_2}(u_1,u_2+\mathrm{\Delta }{u}_2,u_3)+\rho v_{u_2}(u_1,u_2,u_3))h_1{h}_3\mathrm{\Delta }{u}_1\mathrm{\Delta }{u}_3\right)\\ & +\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left((-\rho v_{u_3}(u_1,u_2,u_3+\mathrm{\Delta }{u}_3)+\rho v_{u_3}(u_1,u_2,u_3))h_1{h}_2\mathrm{\Delta }{u}_1\mathrm{\Delta }{u}_2\right)\\ \frac{\partial \rho }{\partial t}& =\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left(\frac{(-\rho v_{u_1}(u_1+\mathrm{\Delta }{u}_1,u_2,u_3)+\rho v_{u_1}(u_1,u_2,u_3))h_2{h}_3}{\mathrm{\Delta }{u}_1}\right)\\ & +\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left(\frac{(-\rho v_{u_2}(u_1,u_2+\mathrm{\Delta }{u}_2,u_3)+\rho v_{u_2}(u_1,u_2,u_3))h_1{h}_3}{\mathrm{\Delta }{u}_2}\right)\\ & +\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\left(\frac{(-\rho v_{u_3}(u_1,u_2,u_3+\mathrm{\Delta }{u}_3)+\rho v_{u_3}(u_1,u_2,u_3))h_1{h}_2}{\mathrm{\Delta }{u}_3}\right)\\ \frac{\partial \rho }{\partial t}& =-\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\frac{\partial (\rho v_{u_1}{h}_2{h}_3)}{\partial u_1}-\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\frac{\partial (\rho v_{u_2}{h}_1{h}_3)}{\partial u_2}-\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\frac{\partial (\rho v_{u_3}{h}_1{h}_2)}{\partial u_3}\\ \frac{\partial \rho }{\partial t}& =-\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{v})\\ 0& =\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{v})\end{array}$$

En términos de la derivada material 

$$\begin{array}{rl}0& =\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{v})\\ 0& =\frac{\partial \rho }{\partial t}+\rho \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }\rho \\ 0& =\frac{D\rho }{Dt}+\rho \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v}\end{array}$$

Teorema de Liouville (Mecánica Clásica)

Hipervolumen del espacio de fases en la mecánica hamiltoniana.

Partiendo de la ecuación de continuidad para la mecánica de fluidos, con la observación de que las partículas presentes viajan con una velocidad $\overrightarrow{v_i}=(\dot{q_i},\dot{p_i})$ en el espacio de fases. 

$$\begin{array}{rl}0& =\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^{3N}[\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{v_i})]\\ 0& =\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^{3N}[\frac{\partial (\rho \dot{q_i})}{\partial q_i}+\frac{\partial (\rho \dot{p_i})}{\partial p_i}]\\ 0& =\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^{3N}[\dot{q_i}\frac{\partial \rho }{\partial q_i}+\rho \frac{\partial \dot{q_i}}{\partial q_i}+\dot{p_i}\frac{\partial \rho }{\partial p_i}+\rho \frac{\partial \dot{p_i}}{\partial p_i}]\\ 0& =\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^{3N}[\dot{q_i}\frac{\partial \rho }{\partial q_i}+\dot{p_i}\frac{\partial \rho }{\partial p_i}+\rho (\frac{\partial \dot{p_i}}{\partial p_i}+\frac{\partial \dot{q_i}}{\partial q_i})]\end{array}$$

Usando las ecuaciones de Hamilton

$$\begin{array}{rl}0& =\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^{3N}[\dot{q_i}\frac{\partial \rho }{\partial q_i}+\dot{p_i}\frac{\partial \rho }{\partial p_i}+\rho (\frac{\partial \dot{p_i}}{\partial p_i}+\frac{\partial \dot{q_i}}{\partial q_i})]\\ 0& =\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^{3N}[\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial \rho }{\partial q_i}-\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial \rho }{\partial p_i}+\rho (\frac{\partial }{\partial p_i}(-\frac{\partial H}{\partial q_i})+\frac{\partial }{\partial q_i}\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\right))]\\ 0& =\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^{3N}[\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial \rho }{\partial q_i}-\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial \rho }{\partial p_i}+\rho (-\frac{{\partial }^{2}H}{\partial q_i\partial p_i}+\frac{{\partial }^{2}H}{\partial p_i\partial q_i})]\\ 0& =\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^{3N}[\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial \rho }{\partial q_i}-\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial \rho }{\partial p_i}]\\ 0& =\frac{\partial \rho }{\partial t}-\{H,\rho \}\end{array}$$

Donde un resultado importante es que el hipervolumen del espacio de fases bajo evolución hamiltoniana se conserva, es decir, $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v_i}=0$

Teorema de Liouville (Mecánica Cuántica)

El teorema de Liouville también esta presente en la mecánica cuántica. Para deducirla se parte desde el operador densidad de la mecánica cuántica. Partiendo de la definición de ecuación de schrodinger para un vector de estado

$$\begin{array}{rl}i\hslash \frac{\partial \text{ket}{\mathrm{\Psi }}_j}{\partial t}& =\hat{H}\text{ket}{\mathrm{\Psi }}_j\\ -i\hslash \frac{\partial \text{bra}{\mathrm{\Psi }}_j}{\partial t}& =\text{bra}{\mathrm{\Psi }}_j\hat{H}\end{array}$$

Por operador densidad

$$\begin{array}{rl}\hat{\rho }& =\sum _j^N\left[{\rho }_j\text{ket}{\mathrm{\Psi }}_j\text{bra}{\mathrm{\Psi }}_j\right]\end{array}$$

Ahora procedemos a derivar con respecto al tiempo el operador densidad

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \hat{\rho }}{\partial t}& =\sum _j^N\left[{\rho }_j\frac{\partial }{\partial t}\left(\text{ket}{\mathrm{\Psi }}_j\text{bra}{\mathrm{\Psi }}_j\right)\right]\\ \frac{\partial \hat{\rho }}{\partial t}& =\sum _j^N\left[{\rho }_j(\frac{\partial \text{ket}{\mathrm{\Psi }}_j}{\partial t}\text{bra}{\mathrm{\Psi }}_j+\text{ket}{\mathrm{\Psi }}_j\frac{\partial \text{bra}{\mathrm{\Psi }}_j}{\partial t})\right]\\ i\hslash \frac{\partial \hat{\rho }}{\partial t}& =\sum _j^N\left[{\rho }_j(i\hslash \frac{\partial \text{ket}{\mathrm{\Psi }}_j}{\partial t}\text{bra}{\mathrm{\Psi }}_j+i\hslash \text{ket}{\mathrm{\Psi }}_j\frac{\partial \text{bra}{\mathrm{\Psi }}_j}{\partial t})\right]\\ i\hslash \frac{\partial \hat{\rho }}{\partial t}& =\sum _j^N\left[{\rho }_j(\hat{H}\text{ket}{\mathrm{\Psi }}_j\text{bra}{\mathrm{\Psi }}_j-\text{ket}{\mathrm{\Psi }}_j\text{bra}{\mathrm{\Psi }}_j\hat{H})\right]\\ i\hslash \frac{\partial \hat{\rho }}{\partial t}& =\sum _j^N[\hat{H}{\rho }_j\text{ket}{\mathrm{\Psi }}_j\text{bra}{\mathrm{\Psi }}_j-{\rho }_j\text{ket}{\mathrm{\Psi }}_j\text{bra}{\mathrm{\Psi }}_j\hat{H}]\\ i\hslash \frac{\partial \hat{\rho }}{\partial t}& =\hat{H}\sum _j^N\left[{\rho }_j\text{ket}{\mathrm{\Psi }}_j\text{bra}{\mathrm{\Psi }}_j\right]-\sum _j^N\left[{\rho }_j\text{ket}{\mathrm{\Psi }}_j\text{bra}{\mathrm{\Psi }}_j\right]\hat{H}\\ i\hslash \frac{\partial \hat{\rho }}{\partial t}& =\hat{H}\hat{\rho }-\hat{\rho }\hat{H}\\ i\hslash \frac{\partial \hat{\rho }}{\partial t}& =[\hat{H},\hat{\rho }]\\ 0& =i\hslash \frac{\partial \hat{\rho }}{\partial t}-[\hat{H},\hat{\rho }]\end{array}$$