Serie de Fourier en MatLab

La serie de Fourier es una serie infinita convergente que converge a una función periódica de periodo T en un determinado intervalo. La serie de Fourier es utilizada para resolver ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación de calor y analizar el espectro de frecuencias de una función periódica. La serie de Fourier puede también extenderse al espacio de los números complejos. 

Coeficientes de la serie de Fourier:

• $$\begin{equation*} a_0 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \left ( f(x) \right) \mathrm{d}x \end{equation*}$$
• $$\begin{equation*} a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \left( f(x)\cos\left( \frac{2n\pi x}{T} \right) \right) \mathrm{d}x \end{equation*}$$
• $$\begin{equation*} b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \left( f(x) \sin\left( \frac{2n\pi x}{T} \right) \right) \mathrm{d}x \end{equation*}$$

La serie de fourier de f(x) es igual a :

\begin{equation*} f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left( \frac{2n\pi x}{T} \right) + b_n \sin\left( \frac{2n\pi x}{T} \right) \right] \end{equation*}

Código fuente de la serie de Fourier en Matlab

clear all

clc

syms x n

T = input(' Ingrese el periodo de f(x): ')

g = input(' Ingrese la función f(x): ')

%Coeficentes de Fourier

a_0 = (2/T).*int(g,x,-T/2,T/2);

a_m = (2/T).*int(g.*cos((2.*n.*pi.*x)./T),x,-T/2,T/2);

b_m = (2/T).*int(g.*sin((2.*n.*pi.*x)./T),x,-T/2,T/2);

F = (a_m).*(cos((2.*n.*pi.*x)./T)) + (b_m).*(sin((2.*n.*pi.*x)./T));

Cn = symsum(F,n,1,10);

Fourier = Cn + (a_0)/2;

t = linspace(-T/2,T/2,100);

f = input('Ingrese f(x) en función de t: ');

fplot(Fourier, [-T/2 T/2], 'b', 'linewidth', 3);

hold on

plot(t, f, 'k', 'linewidth', 2);

grid on

xlim([-T/2 T/2])

ylim([min(f) max(f)])

xlabel('Eje X')

ylabel('Eje Y')

title('Serie de Fourier de f(x) para n = 10')

legend('Fourier', 'f(x)')

Aplicación del código fuente

• Función Onda Cuadrada: 

$$\begin{equation*} f(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} -1 &  si & -\pi < x < 0 \\  1 &  si &  0 < x < \pi \\ \end{array} \right. \end{equation*}$$

• Función Onda Triangular:

$$ \begin{equation*} f(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} -x &  si & -\pi < x < 0 \\  x &  si &  0 < x < \pi \\ \end{array} \right. \end{equation*}$$

• Función Onda Diente de Sierra

$$ \begin{equation*} f(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} x & si & -\pi < x < \pi  \end{array}\right. \end{equation*} $$

• Función de Onda Tren de Impulsos

\begin{equation*} f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 0 &  si  &  0 < x < \pi - 1 \\ 1 &  si  &  \pi - 1 < x < \pi + 1 \\ 0 &  si  &  \pi + 1 < x < 2\pi \end{array} \right. \end{equation*}

• Función Media Onda Rectificada

$$ \begin{equation*} f(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} \sin{x} &  si  &  0 < x < \pi \\ 0 &  si  &  \pi < x < 2\pi \end{array} \right. \end{equation*} $$

• Función Onda Rectificada (Onda Completa)

$$ \begin{equation*} f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \|\sin{x}\| &  si  &  0 < x < \pi \\ 0 &  si  &  \pi < x < 2\pi \end{array} \right. \end{equation*}$$