Se sabe que el campo eléctrico de un punto $Q(r\cos{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, r\sin{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, r\cos{\theta_{0}})$, donde $r \in [0, R] $ en una superficie esférica de radio R y densidad superficial $\sigma$ constante es igual a cero.
$${\large \begin{align*} \vec{E} &= (0,0,0) \\ || \vec{E}|| &= 0 \end{align*}}$$
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| Representación del vector campo eléctrico en un punto rojo Q dentro de la superficie esférica de radio $R$ con densidad superficial $\sigma$ |
Esta proposición se puede demostrar mediante una de las leyes de Maxwell, siendo esta la ley de Gauss para el campo eléctrico en el cual utilizan la simetría radial que tiene la esfera de radio R.
$${\large \begin{align*}\frac{q}{\epsilon_{0}} &= \oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S} \end{align*} }$$
Ya que al no haber carga eléctrica dentro de la esfera conductora para $r < R$ entonces la ecuación del flujo eléctrico se transforma en la siguiente ecuación.
$${\large \begin{align*}0 &= \oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S} \end{align*} }$$
Por consiguiente, el valor de la intensidad del campo eléctrico es cero. No obstante, para el cálculo del campo eléctrico de un casquete esférico esto se vuelve muy difícil de calcular mediante las integrales correspondientes.
$${\large \begin{align*} E_{x} &= K \int_{0}^{\alpha} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{\sigma R^2 \sin{\theta} (r\cos{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}} - R\cos{\varphi}\sin{\theta})}{ (r^2 + R^2 - 2rR(\sin{\theta_{0}} \sin{\theta} \cos{(\varphi - \varphi_{0})} + \cos{\theta_{0}} \cos{\theta}))^{3/2} } \right) d\varphi d\theta \\ E_{y} &= K \int_{0}^{\alpha} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{\sigma R^2 \sin{\theta} (r\sin{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}} - R\sin{\varphi}\sin{\theta})}{(r^2 + R^2 - 2rR(\sin{\theta_{0}} \sin{\theta} \cos{(\varphi - \varphi_{0})} + \cos{\theta_{0}} \cos{\theta}))^{3/2}} \right) d\varphi d\theta \\ E_{z} &= K \int_{0}^{\alpha} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{\sigma R^2 \sin{\theta} (r\cos{\theta_{0}} - R\cos{\theta})}{(r^2 + R^2 - 2rR(\sin{\theta_{0}} \sin{\theta} \cos{(\varphi - \varphi_{0})} + \cos{\theta_{0}} \cos{\theta}))^{3/2}} \right) d\varphi d\theta \end{align*}}$$
Por consiguiente, es importante hallar otra manera de resolver este tipo de integrales. Para ello trataremos de rotar los ejes coordenados $\{\hat{x}, \hat{y}, \hat{z} \}$ con el fin de simplificar estas integrales del campo eléctrico, ya que incluso si usamos la ecuación de potencial eléctrico la integral sigue teniendo una gran complejidad.
$${\large \begin{align*} V &= K \int_{0}^{\alpha} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{\sigma R^2 \sin{\theta}}{(r^2 + R^2 - 2rR(\sin{\theta_{0}} \sin{\theta} \cos{(\varphi - \varphi_{0})} + \cos{\theta_{0}} \cos{\theta}))^{1/2}} \right) d\varphi d\theta \end{align*}}$$
La parametrización de una superficie esférica de radio R esta dada por la siguiente ecuación:
$${\large \begin{equation*} S(\varphi, \theta) = R\cos{\varphi}\sin{\theta} \hat{x} + R\sin{\varphi}\sin{\theta} \hat{y} + R\cos{\theta} \hat{z} \hspace{2cm},\hspace{0.5cm} (\varphi, \theta) = [0, 2\pi] \times [0, \pi] \end{equation*}}$$
Si el punto $P(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ esta en la superficie de la esfera de radio R, puede escribirse de la siguiente forma $P(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = P(R\cos{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, R\sin{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, R\cos{\theta_{0}})$ donde $\varphi_{0}$ y $\theta_{0}$ son ángulos constantes.
Asimismo se puede crear el vector unitario $\hat{c}$.
$${\large \begin{align*} \hat{c} &= (\cos{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, \sin{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, \cos{\theta_{0}}) \end{align*}}$$
Los otros vectores ortonormales al vector unitario $\hat{c}$ son los siguientes:
$${\large \begin{align*} \hat{b} &= (-\sin{\varphi_{0}}, \cos{\varphi_{0}}, 0) \\ \hat{a} &= (\cos{\varphi_{0}}\cos{\theta_{0}}, \sin{\varphi_{0}}\cos{\theta_{0}}, -\sin{\theta_{0}}) \end{align*} }$$
Por lo tanto, se puede parametrizar una superficie esférica de radio R con centro en el origen de coordenadas y en función del nuevo sistema coordenado.
$${\large \begin{equation*} S(\varphi, \theta) = R\cos{\varphi}\sin{\theta} \hat{a} + R\sin{\varphi}\sin{\theta} \hat{b} + R\cos{\theta} \hat{c} \hspace{2cm},\hspace{0.5cm} (\varphi, \theta) = [0, 2\pi] \times [0, \pi] \end{equation*} }$$
Si tenemos el punto $Q(r\cos{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, r\sin{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, r\cos{\theta_{0}})$ en la dirección de $P(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ entonces el calculo del campo eléctrico en el sistema $\{\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}\}$ resulta más sencillo, ya que el punto $Q(r\cos{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, r\sin{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, r\cos{\theta_{0}})$ en el sistema $\{\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}\}$ se transforma en $Q(0,0,r)$ en el sistema $\{\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}\}$.
El campo eléctrico en el nuevo sistema de coordenadas están dadas por la siguientes ecuaciones:
$${\large \begin{align*} E_{a} &= -K \int_{0}^{\alpha} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{\sigma (R\cos{\varphi}\sin{\theta}) R^2 \sin{\theta}}{ (r^2 + R^2 - 2rR\cos{\theta})^{3/2} } \right) d\varphi d\theta \\ E_{b} &= -K \int_{0}^{\alpha} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{\sigma (R\sin{\varphi}\sin{\theta}) R^2 \sin{\theta} }{(r^2 + R^2 - 2rR\cos{\theta})^{3/2}} \right) d\varphi d\theta \\ E_{c} &= K \int_{0}^{\alpha} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{\sigma R^2 \sin{\theta} (r - R\cos{\theta})}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\theta})^{3/2}} \right) d\varphi d\theta \end{align*} }$$
Simplificando las integrales del campo eléctrico.
$${\large \begin{align*} E_{a} &= -K\sigma R^3 \int_{0}^{\alpha} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{\cos{\varphi}\sin^2{\theta}}{ (r^2 + R^2 - 2rR\cos{\theta})^{3/2} } \right) d\varphi d\theta \\ E_{b} &= -K\sigma R^3 \int_{0}^{\alpha} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{\sin{\varphi}\sin^2{\theta}}{(r^2 + R^2 - 2rR\cos{\theta})^{3/2}} \right) d\varphi d\theta \\ E_{c} &= K\sigma R^2 \int_{0}^{\alpha} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{\sin{\theta} (r - R\cos{\theta})}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\theta})^{3/2}} \right) d\varphi d\theta \end{align*} }$$
Las integrales $\{ E_{a}, E_{b} \}$ son iguales a cero, esto se comprueba fácilmente cuando se realiza la integración con respecto a $\varphi$. Por lo cuál, solo hay contribución en el eje $\hat{c}$.
$${ \large \begin{align*} E_{c} &= K\sigma R^2 \int_{0}^{\alpha} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{\sin{\theta} (r - R\cos{\theta})}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\theta})^{3/2}} \right) d\varphi d\theta \\ E_{c} &= 2\pi K\sigma R^2 \int_{0}^{\alpha} \left( \frac{\sin{\theta} (r - R\cos{\theta})}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\theta})^{3/2}} \right) d\theta \\ E_{c} &= \frac{\sigma R^2}{2 \epsilon_{0}} \int_{0}^{\alpha} \left( \frac{\sin{\theta} (r - R\cos{\theta})}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\theta})^{3/2}} \right) d\theta \end{align*} }$$
Ahora resolvemos la integral $E_{c}$ con respecto a $\theta$
$${\large \begin{align*} E_{c} &= \frac{\sigma R^2}{2 \epsilon_{0}} \int_{0}^{\alpha} \left( \frac{\sin{\theta} (r - R\cos{\theta})}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\theta})^{3/2}} \right) d\theta \\ E_{c} &= \frac{\sigma R^2}{2 \epsilon_{0}} \left( \left. \frac{1}{r^2}\frac{ (R - r\cos{\theta})}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\theta})^{1/2}} \right|_{0}^{\alpha} \right) \\ E_{c} &= \frac{\sigma R^2}{2 \epsilon_{0} r^2} \left( \frac{ (R - r\cos{\alpha})}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2}} - 1 \right) \end{align*} }$$
Por lo tanto, el vector campo eléctrico del casquete esférico en el sistema $\{\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}\}$ esta dado por la siguiente ecuación.
$${\large \begin{align*} \vec{E} &= (E_{a}, E_{b}, E_{c}) \\ \vec{E} &= \frac{\sigma R^2}{2 \epsilon_{0} r^2} \left( \frac{ (R - r\cos{\alpha})}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2}} - 1 \right) (0, 0, 1) \end{align*} }$$
Ahora si pasamos al sistema $\{\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}\}$ el vector campo eléctrico del casquete esférico esta dado por la siguiente ecuación.
$${\large \begin{align*} \vec{E} &= \frac{\sigma R^2}{2 \epsilon_{0} r^2} \left( \frac{ (R - r\cos{\alpha})}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2}} - 1 \right) (0, 0, 1) \\ \vec{E} &= \frac{\sigma R^2}{2 \epsilon_{0} r^2} \left( \frac{ (R - r\cos{\alpha})}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2}} - 1 \right) (\cos{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, \sin{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, \cos{\theta_{0}}) \end{align*} }$$
Si $\alpha = \pi$ el vector campo eléctrico es igual a cero. Por lo tanto, se demuestra que el vector campo eléctrico en los puntos interiores dentro de una superficie esférica de radio R es igual a cero.
$${\large \begin{align*} \vec{E} &= (0, 0, 0) \\ || \vec{E} || &= 0 \end{align*} }$$
Asimismo También se puede calcular el potencial eléctrico del casquete esférico.
$${\large \begin{align*} V &= K \int_{0}^{\alpha} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{\sigma R^2 \sin{\theta} }{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\theta})^{1/2}} \right) d\varphi d\theta \\ V &= \frac{\sigma R^2}{2 \epsilon_{0}} \int_{0}^{\alpha} \left( \frac{\sin{\theta}}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\theta})^{1/2}} \right) d\theta \\ V &= \frac{\sigma R^2}{2 \epsilon_{0}} \left( \left. \frac{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\theta})^{1/2}}{rR} \right|_{0}^{\alpha} \right) \\ V &= \frac{\sigma R}{2 \epsilon_{0} r} \left( (r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2} - (R - r) \right) \end{align*} }$$
Si $\alpha = \pi$ el potencial eléctrico tiene el siguiente valor.
$${\large \begin{align*} V &= \frac{\sigma R}{2 \epsilon_{0} r} \left( (r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2} - (R - r) \right) \\ V &= \frac{\sigma R}{\epsilon_{0}} \end{align*} }$$
También se puede probar la relación entre el vector campo eléctrico y el potencial eléctrico $\vec{E} = - \nabla V $. No obstante, solo hay contribución en el eje $\hat{c}$ con la variable r. Por consiguiente
$${\large \begin{align*} \vec{E} &= - \nabla V \\ \vec{E} &= - \left(0, 0, \frac{\partial V}{\partial r} \right) \\ \vec{E} &= - \left(0, 0, \frac{\partial }{\partial r} \left( \frac{\sigma R}{2 \epsilon_{0}} \left( \frac{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2}}{r} - \frac{(R - r)}{r} \right) \right) \right) \\ \vec{E} &= - \left(0, 0, \frac{\sigma R}{2 \epsilon_{0}} \frac{\partial }{\partial r} \left( \frac{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2}}{r} - \frac{(R - r)}{r} \right) \right) \\ \vec{E} &= - \frac{\sigma R}{2 \epsilon_{0}} \left( \frac{1}{r^2} \left( \frac{r^2 - Rr\cos{\alpha}}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2}} - (r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2} \right) + \frac{R}{r^2} \right)(0,0,1) \\ \vec{E} &= - \frac{\sigma R}{2 \epsilon_{0} r^2} \left( \frac{Rr\cos{\alpha} - R^2}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2}} + R \right)(0,0,1) \\ \vec{E} &= - \frac{\sigma R^2}{2 \epsilon_{0} r^2} \left( \frac{r\cos{\alpha} - R}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2}} + 1 \right)(0,0,1) \\ \vec{E} &= \frac{\sigma R^2}{2 \epsilon_{0} r^2} \left( \frac{R - r\cos{\alpha}}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2}} - 1 \right)(0,0,1) \\ \vec{E} &= \frac{\sigma R^2}{2 \epsilon_{0} r^2} \left( \frac{R - r\cos{\alpha}}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2}} - 1 \right) \hat{c} \\ \vec{E} &= \frac{\sigma R^2}{2 \epsilon_{0} r^2} \left( \frac{ (R - r\cos{\alpha})}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2}} - 1 \right) (\cos{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, \sin{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, \cos{\theta_{0}}) \end{align*} }$$
Por lo tanto, se confirma la relación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico para el casquete esférico. Cabe resaltar que este procedimiento puede usarse para calcular el campo gravitatorio y potencial gravitatorio de un casquete esférico.
$${\large \begin{align*} \vec{g} &= \frac{2 \pi G\sigma R^2}{r^2} \left( \frac{ (R - r\cos{\alpha})}{(r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2}} - 1 \right) (\cos{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, \sin{\varphi_{0}}\sin{\theta_{0}}, \cos{\theta_{0}}) \\ \phi &= \frac{2 \pi G \sigma R}{r} \left( (r^2 + R^2 - 2rR \cos{\alpha})^{1/2} - (R - r) \right) \end{align*}}$$
Cuando $\alpha = \pi$ se obtienen los siguientes resultados
$${\large \begin{align*} \vec{g} &= (0,0,0) \\ \phi &= 4 \pi G \sigma R \end{align*}}$$
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