Potencial Eléctrico de una Superficie Esférica de Radio R con Densidad Superficial $\delta = \delta_{0} \cos{\theta}$

La solución se obtendra a partir de la expansión multipolar en términos de polinomios de legendre.

Superficie Esferica de Radio R con Dnesidad Superficial igual a $\delta = \delta_{0} \cos{\theta}$

Para resolver este problema tenemos que hacer uso de la ecuación de laplace en coordenadas esféricas independiente de la variable azimutal $\varphi$ para las variables $\rho$ y $\theta$. Por consiguiente:

$${\large \begin{align*} 0 &= \triangledown^2 \phi (\rho, \theta) \\ 0 &= \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho^2\frac{\partial \phi}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2 \sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin{\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \theta} \right) \end{align*} }$$

La solución general de la ecuación de laplace para el potencial eléctrico $\phi(\rho,\theta)$ tanto en el interior como para el exterior de la esfera es la siguiente: 

$${\large \begin{equation*} \phi(\rho, \theta) = \left\{ \begin{array}{lcc} \phi_{int}(\rho,\theta) = \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ \left( A_l \rho^l + \frac{B_l}{\rho^{l + 1}} \right)P_l(\cos{\theta})\right] &  si  &  0 \leq r \leq R \hspace{0.5cm}...\hspace{0.2cm}(1) \\ \\ \phi_{ext}(\rho,\theta) = \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ \left( C_l \rho^l + \frac{D_l}{\rho^{l + 1}} \right)P_l(\cos{\theta}) \right] &  si  & R \leq x < \infty \hspace{0.5cm}...\hspace{0.2cm}(2) \end{array} \right. \end{equation*} }$$

No obstante, el potencial eléctrico $\phi(\rho,\theta)$ debe cumplir las siguientes condiciones de frontera respectivas: 

• ${\large \phi_{ext}(\rho,\theta) = 0 }$ si y solo si $\rho \longrightarrow \infty$ 
• ${\large \phi_{int}(\rho,\theta)}$ es finito en $0 \leq \rho \leq R $ 
• ${\large \phi_{ext}(R,\theta) = \phi_{int}(R,\theta) }$
• ${\large (\vec{E}_{ext}(R,\theta) - \vec{E}_{int}(R,\theta)) \cdot \vec{n} = \delta / \varepsilon_{0} }$ 

Si aplicamos las condiciones de frontera al potencial eléctrico $\phi(\rho,\theta)$ tenemos lo siguiente:

Primera Condición

En la primera condición de frontera $\phi_{ext}(\rho, \theta) = 0$ si y solo si $\rho \longrightarrow \infty$. La constante C para el potencial eléctrico exterior es igual a cero debido a que diverge hacia el infinito. Por lo cual la ecuación (2) queda de la siguiente forma:

$${\large \begin{align*} \phi_{ext}(\rho,\theta) =& \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ \left( C_l \rho^l + \frac{D_l}{\rho^{l + 1}} \right)P_l(\cos{\theta}) \right] \\ \phi_{ext}(\rho,\theta) =& \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ \frac{D_l}{\rho^{l + 1}} P_l(\cos{\theta})\right]  \end{align*} }$$

Segunda Condición

En la segunda condición de frontera $\phi_{int}(\rho,\theta) $ es finito en $\rho < R$. La constante B es igual a cero debido a que como el radio se encuentra en el intervalo $0 \leq \rho < R$ no puede tomar términos negativos. Por lo cual la ecuación (1) queda de la siguiente forma:

$${\large \begin{align*} \phi_{int}(\rho,\theta) =& \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ \left( A_l \rho^l + \frac{B_l}{\rho^{l + 1}} \right)P_l(\cos{\theta})\right] \\ \phi_{int}(\rho,\theta) =& \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ A_l \rho^l P_l(\cos{\theta})\right] \end{align*}}$$

Tercera Condición

Como la esfera tiene una densidad de carga superficial entonces el potencial eléctrico es el mismo en la superficie de la esfera de radio R tanto para el potencial eléctrico interior como el potencial eléctrico exterior. 

$${\large \begin{align*} \phi_{int}(R,\theta) =& \hspace{0.1cm} \phi_{ext}(R,\theta) \\ \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ A_l R^l P_l(\cos{\theta}) \right] =& \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ \frac{D_l}{R^{l + 1}} P_l(\cos{\theta}) \right] \\ A_lR^l =& \frac{D_l}{R^{l + 1}} \\ D_l =& A_lR^{2l + 1} \end{align*} }$$

Por lo tanto, las ecuaciones para el potencial eléctrico quedan de la siguiente forma: 

$${\large \begin{align*} \phi_{int}(\rho,\theta) =& \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ A_l \rho^l P_l(\cos{\theta}) \right] \\ \phi_{ext}(\rho,\theta) =& \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ \frac{A_lR^{2l + 1}}{\rho^{l + 1}} P_l(\cos{\theta}) \right] \end{align*}}$$

Cuarta Condición

Como la esfera de radio R solo tiene una distribución de carga continua en su superficie entonces la diferencia entre sus campos eléctricos interior y exterior cuando $\rho = R$ es igual a $\delta  / \varepsilon_{0}$.

$${\large \begin{align*} (\vec{E}_{ext}(R,\theta) - \vec{E}_{int}(R,\theta)) \cdot \vec{n} =& \frac{\delta_0 \cos{\theta}}{\varepsilon_0} \\ \frac{\partial \phi_{int}(R,\theta)}{\partial \rho} - \frac{\partial \phi_{ext}(R,\theta)}{\partial \rho} =& \frac{\delta_0 \cos{\theta}}{\varepsilon_0} \\ \sum_{l = 0}^{\infty} \left[l A_l \rho^{l-1} P_l(\cos{\theta}) \right] -  \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ -(l + 1)A_lR^{2l + 1}\rho^{-(l + 2)} P_l(\cos{\theta}) \right] =& \frac{\delta_0 \cos{\theta}}{\varepsilon_0} \\ \sum_{l = 0}^{\infty} \left[l A_l \rho^{l-1} + (l + 1)A_lR^{2l + 1} \rho^{-(l + 2)} P_l(\cos{\theta}) \right] =& \frac{\delta_0 \cos{\theta}}{\varepsilon_0} \hspace{0.5cm}...\hspace{0.2cm}(3) \end{align*}} $$

Ahora aplicamos lo siguiente $\rho = R$ en la ecuación (3)

$${\large \begin{align*} \sum_{l = 0}^{\infty} \left[l A_l \rho^{l-1} + (l + 1)A_lR^{2l + 1} \rho^{-(l + 2)} P_l(\cos{\theta}) \right] =& \frac{\delta_0 \cos{\theta}}{\varepsilon_0} \\ \sum_{l = 0}^{\infty} \left[l A_l R^{l-1} + (l + 1)A_lR^{l - 1} P_l(\cos{\theta}) \right] =& \frac{\delta_0 \cos{\theta}}{\varepsilon_0} \\ \sum_{l = 0}^{\infty} \left[(2l + 1)A_lR^{l - 1} P_l(\cos{\theta}) \right] =& \frac{\delta_0 \cos{\theta}}{\varepsilon_0} \hspace{0.5cm}...\hspace{0.2cm}(4) \end{align*}}$$

Si multiplicamos a ambos lados de la ecuación (4) por $P_k(\cos{\theta})\sin{\theta}$ tenemos lo siguiente:

$${\large \begin{align*} \sum_{l = 0}^{\infty} \left[(2l + 1)A_lR^{l - 1} P_l(\cos{\theta})\right] =& \frac{\delta_0 \cos{\theta}}{\varepsilon_0} \\ \sum_{l = 0}^{\infty} \left[(2l + 1)A_lR^{l - 1} P_l(\cos{\theta})P_k(\cos{\theta})\sin{\theta}\right] =& \hspace{0.1cm} \frac{\delta_0 P_k(\cos{\theta})\cos{\theta}\sin{\theta} }{\varepsilon_0} \\ \sum_{l = 0}^{\infty} \left[(2l + 1)A_lR^{l - 1} P_l(\cos{\theta})P_k(\cos{\theta})\sin{\theta}\right] =& \hspace{0.1cm} \frac{\delta_0 P_k(\cos{\theta})P_1(\cos{\theta})\sin{\theta} }{\varepsilon_0} \hspace{0.5cm}...\hspace{0.2cm}(5) \end{align*}}$$

Ahora integramos ambos lados de la ecuación (5) con respecto a $\theta$ de 0 a $\pi$

$${\large \begin{align*} \sum_{l = 0}^{\infty} \left[(2l + 1)A_lR^{l - 1} P_l(\cos{\theta})P_k(\cos{\theta})\sin{\theta} \right] =& \hspace{0.1cm} \frac{\delta_0 P_k(\cos{\theta})P_1(\cos{\theta})\sin{\theta} }{\varepsilon_0} \\ \sum_{l = 0}^{\infty} \left[(2l + 1)A_lR^{l - 1} \int_{0}^{\pi}\left( P_l(\cos{\theta})P_k(\cos{\theta})\sin{\theta} \right) \mathrm{d}\theta \right] =& \hspace{0.1cm} \frac{\delta_0}{\varepsilon_0} \int_{0}^{\pi}\left[ P_1(\cos{\theta})P_k(\cos{\theta})\sin{\theta} \right] \mathrm{d}\theta \hspace{0.5cm}...\hspace{0.2cm}(6) \end{align*}}$$

Por la propiedad de ortogonalidad de los polinomios de Legendre en coordenadas polares ${\large \int_{0}^{\pi}\left( P_l(\cos{\theta})P_k(\cos{\theta})\sin{\theta} \right) \mathrm{d}\theta = \left(\frac{2}{2k + 1}\right)\delta_{lk} }$ la ecuación (6) se reduce a:

$${\large \begin{align*} \sum_{l = 0}^{\infty} \left[(2l + 1)A_lR^{l - 1} \int_{0}^{\pi}\left( P_l(\cos{\theta})P_k(\cos{\theta})\sin{\theta} \right) \mathrm{d}\theta \right] =& \hspace{0.1cm} \frac{\delta_0}{\varepsilon_0} \int_{0}^{\pi}\left( P_1(\cos{\theta})P_k(\cos{\theta})\sin{\theta} \right) \mathrm{d}\theta  \\ \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ \frac{2(2l + 1)A_lR^{l - 1}\delta_{lk} }{2k + 1} \right] =& \hspace{0.1cm} \frac{\delta_0}{\varepsilon_0} \left( \frac{2\delta_{1k}}{2k + 1} \right) \hspace{0.5cm}...\hspace{0.2cm}(7) \end{align*}}$$

Si reemplazamos la siguiente igualdad l = k en la ecuación (7)

$${\large \begin{align*} \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ \frac{2(2l + 1)A_lR^{l - 1}\delta_{lk} }{2k + 1} \right] =& \hspace{0.1cm} \frac{\delta_0}{\varepsilon_0} \left( \frac{2\delta_{1k}}{2k + 1} \right) \\ \sum_{k = 0}^{\infty} \left[ \frac{2(2k + 1)A_kR^{l - 1}\delta_{kk} }{2k + 1} \right] =& \hspace{0.1cm} \frac{\delta_0}{\varepsilon_0} \left( \frac{2\delta_{1k}}{2k + 1} \right) \\ \sum_{k = 0}^{\infty} \left[ 2A_kR^{k - 1} \right] =& \hspace{0.1cm} \frac{\delta_0}{\varepsilon_0} \left( \frac{2\delta_{1k}}{2k + 1} \right) \hspace{0.5cm}...\hspace{0.2cm}(8) \end{align*}}$$

Para valores distintos de K = 1 la constante $A_k$ toma el valor de cero. Por lo tanto el único valor accesible es cuando K = 1. Por consiguiente la ecuación (8) toma la siguiente forma:

$${\large \begin{align*} \sum_{k = 0}^{\infty} \left[ 2A_kR^{k - 1} \right] =& \hspace{0.1cm} \frac{\delta_0}{\varepsilon_0} \left( \frac{2\delta_{1k}}{2k + 1} \right) \\ 2A_1 =& \hspace{0.1cm} \frac{\delta_0}{\varepsilon_0} \left( \frac{2\delta_{11}}{3} \right) \\ A_1 =& \frac{\delta_0}{3\varepsilon_0} \end{align*}}$$

Por lo tanto, la ecuación del potencial eléctrico $\phi(\rho,\theta)$ al reemplazar todos los valores de frontera respectivos queda de la siguiente forma:

$${\large \begin{align*} \phi(\rho, \theta) =& \left\{ \begin{array}{lcc}  \phi_{int}(\rho,\theta) = \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ \left( A_l \rho^l + \frac{B_l}{\rho^{l + 1}} \right)P_l(\cos{\theta})\right] &  si  &  0 \leq \rho \leq R \\ \\ \phi_{ext}(\rho,\theta) = \sum_{l = 0}^{\infty} \left[ \left( C_l \rho^l + \frac{D_l}{\rho^{l + 1}} \right)P_l(\cos{\theta}) \right] &  si  & R \leq \rho < \infty \end{array} \right. \\ \\ \phi(\rho, \theta) =& \left\{ \begin{array}{lcc} \phi_{int}(\rho,\theta) =  \frac{\delta_0 \rho \cos{\theta}}{3\varepsilon_0} &  si  &  0 \leq \rho \leq R \\ \\ \phi_{ext}(\rho,\theta) =  \frac{\delta_0 R^3 \cos{\theta}}{3\varepsilon_0 \rho^2} &  si  & R \leq \rho < \infty \end{array} \right. \end{align*}}$$