La ecuación de onda es una EDP de tipo hiperbólica y que es muy importante en la física para describir diversos fenómenos físicos tales como la luz, el sonido, la mecánica cuántica, etc. Su correspondiente ecuación diferencial parcial es la siguiente.
$${\large \begin{align*} \nabla^2 \Psi(x,y,z,t) &= \frac{1}{v_{p}^2} \frac{\partial \Psi(x,y,z,t)}{\partial t} \\ \frac{\partial^2 \Psi(x,y,z,t)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi(x,y,z,t)}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Psi(x,y,z,t)}{\partial z^2} &= \frac{1}{v_{p}^2} \frac{\partial \Psi(x,y,z,t)}{\partial t} \end{align*}}$$
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| Representación de ondas viajeras $\Psi(x,t)$ |
Ahora deduciremos la ecuación de onda a partir de distintos fenómenos físicos tales como el de la onda transversal en una cuerda vibrante, la onda longitudinal de una barra elástica
Onda Transversal en una Cuerda Vibrante
Las ondas transversales son las ondas en las cuales la perturbación oscila perpendicularmente a la dirección de la propagación. Un ejemplo clásico en una dimensión de este tipo de ondas son las ondas que se propagan en una cuerda vibrante.
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| Diagrama de cuerpo libre para un diferencial de longitud de la cuerda. |
Aplicando la segunda de Newton para un diferencial de longitud de densidad lineal $\mu$ constante.
$${\large \begin{align*} F &= ma \\ \lim_{\Delta \theta \to 0} ( T\sin{(\theta + \Delta \theta)} - T\sin{(\theta)} ) &= m \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \\ T \lim_{\Delta \theta \to 0} (\sin{(\theta + \Delta \theta)} - \sin{(\theta)}) &= \mu \Delta x \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \end{align*}}$$
Como se trata de un diferencial de longitud entonces se puede aproximar la función seno con la función tangente.
$${\large \begin{align*} T \lim_{\Delta \theta \to 0} (\sin{(\theta + \Delta \theta)} - \sin{(\theta)}) &= \mu \Delta x \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \\ T \lim_{\Delta \theta \to 0} (\tan{(\theta + \Delta \theta)} - \tan{(\theta)}) &= \mu \Delta x \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \end{align*}}$$
De igual manera la tangente se puede aproximar a una derivada en función de x al tratar de un diferencial de longitud.
$${\large \begin{align*} T \lim_{\Delta \theta \to 0} (\tan{(\theta + \Delta \theta)} - \tan{(\theta)}) &= \mu \Delta x \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \\ T \lim_{\Delta x \to 0} (\Psi^{'}{(x + \Delta x)} - \Psi^{'}{(x)}) &= \mu \Delta x \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \\ T \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{\Psi^{'}{(x + \Delta x)} - \Psi^{'}{(x)}}{\Delta x} \right) &= \mu \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \\ T \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{\Psi^{'}{(x + \Delta x)} - \Psi^{'}{(x)}}{\Delta x} \right) &= \mu \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \\ T \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} &= \mu \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} &= \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \end{align*}}$$
Para obtener la rapidez de la onda transversal en una cuerda vibrante se realiza una semejanza con la ecuación de onda unidimensional.
$${\large \begin{equation*} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \hspace{1cm},\hspace{1cm} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v_{p}^2} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \end{equation*}}$$
Por consiguiente, la velocidad de propagación de la onda transversal de la cuerda vibrante es igual a:
$${\large \begin{align*} \frac{1}{v_{p}^2} &= \frac{\mu}{T} \\ v_{p}^2 &= \frac{T}{\mu} \\ v_{p} &= \sqrt{\frac{T}{\mu}} \end{align*}}$$
Las funciones de energía correspondientes de la onda transversal de cuerda vibrante tales como energía cinética instantánea, energía potencial instantánea y potencia instantánea respectivamente.
$${\large \begin{align*} E_{c} &= \mu \Psi_{0}^{2} w^2 \Delta x\left( \frac{1 - \cos{(2kx \pm 2wt)}}{4} \right) \\ U &= T \Psi_{0}^{2} K^2 \Delta x\left( \frac{1 - \cos{(2kx \pm 2wt)}}{4} \right) \\ E_{T} &= \mu \Psi_{0}^{2} w^2 \Delta x\left( \frac{1 - \cos{(2kx \pm 2wt)}}{2} \right) \\ P &= -\sqrt{T\mu} \Psi_{0}^{2} w^2 \left( \frac{1 - \cos{(2kx \pm 2wt)}}{2} \right) \end{align*}}$$
Los valores promedios de las funciones de energía son iguales a:
$${\large \begin{align*} \overline{E_{c}} &= \frac{\mu \Psi_{0}^{2} w^2 \Delta x}{4} \\ \overline{U} &= \frac{T \Psi_{0}^{2} K^2 \Delta x}{4} \\ \overline{E_{T}} &= \frac{\mu \Psi_{0}^{2} w^2 \Delta x}{2} \\ \overline{P} &= \frac{-\sqrt{T\mu} \Psi_{0}^{2} w^2}{2} \end{align*}}$$
Onda Longitudinal en una Barra Elástica
Las ondas longitudinales son las ondas en las cuales la perturbación oscila paralelamente a la dirección de la propagación. Un ejemplo clásico en una dimensión de este tipo de ondas son las ondas que se propagan en una barra elástica.
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| Diagrama de cuerpo libre para un diferencial de volumen de una barra. |
Aplicando la segunda de Newton para un diferencial de volumen de densidad volumétrico $\rho$ constante y de modulo de Young E.
$$ {\large \begin{align*} \sum F &= ma \\ T^{'} - T &= m \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \\ EA \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{\partial \Psi(x + \Delta x)}{\partial x} - \frac{\partial \Psi(x)}{\partial x} \right) &= \rho A \Delta x \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \\ E \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{ \Psi^{'}(x + \Delta x) - \Psi^{'}(x) }{\Delta x}\right) &= \rho \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \\ E \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} &= \rho \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} &= \frac{\rho}{E} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \\ \end{align*}}$$
Para obtener la rapidez de la onda longitudinal en una barra elástica se realiza una semejanza con la ecuación de onda unidimensional.
$${\large \begin{equation*} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{\rho}{E} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \hspace{1cm},\hspace{1cm} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v_{p}^2} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \end{equation*}}$$
Por consiguiente, la velocidad de propagación de la onda longitudinal de la barra elástica es igual a:
$${\large \begin{align*} \frac{1}{v_{p}^2} &= \frac{\rho}{E} \\ v_{p}^2 &= \frac{E}{\rho} \\ v_{p} &= \sqrt{\frac{E}{\rho}} \end{align*}}$$
Las funciones de energía correspondientes de la onda transversal de cuerda vibrante tales como energía cinética, energía potencial y potencia respectivamente.
$${\large \begin{align*} E_{c} &= \rho A \Psi_{0}^{2} w^2 \Delta x\left( \frac{1 - \cos{(2kx \pm 2wt)}}{4} \right) \\ U &= E A \Psi_{0}^{2} K^2 \Delta x\left( \frac{1 - \cos{(2kx \pm 2wt)}}{4} \right) \\ E_{T} &= \rho A \Psi_{0}^{2} w^2 \Delta x\left( \frac{1 - \cos{(2kx \pm 2wt)}}{2} \right) \\ P &= -\sqrt{E\rho} A \Psi_{0}^{2} w^2 \left( \frac{1 - \cos{(2kx \pm 2wt)}}{2} \right) \end{align*}}$$
Los valores promedios de las funciones de energía son iguales a:
$${\large \begin{align*} \overline{E_{c}} &= \frac{\rho A \Psi_{0}^{2} w^2 \Delta x}{4} \\ \overline{U} &= \frac{E A \Psi_{0}^{2} K^2 \Delta x}{4} \\ \overline{E_{T}} &= \frac{\rho A \Psi_{0}^{2} w^2 \Delta x}{2} \\ \overline{P} &= \frac{-\sqrt{E\rho} A \Psi_{0}^{2} w^2}{2} \end{align*}}$$
Ondas Longitudinales 3D (Ondas Esféricas)
La ecuación de una onda esférica se puede deducir a partir de la ecuación de onda usando el laplaciano en coordenadas esféricas. Es una onda del tipo longitudinal y que solo depende del parámetro radial.
$${\large \begin{align*} \nabla^2 \Psi(x,y,z,t) &= \frac{1}{v_{p}^2} \frac{\partial \Psi(x,y,z,t)}{\partial t} \\ \frac{\partial^2 \Psi(x,y,z,t)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi(x,y,z,t)}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Psi(x,y,z,t)}{\partial z^2} &= \frac{1}{v_{p}^2} \frac{\partial \Psi(x,y,z,t)}{\partial t} \\ \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho^2 \frac{\partial \Psi(\rho, t)}{\partial \rho}\right) &= \frac{1}{v_{p}^2} \frac{\partial \Psi(\rho, t)}{\partial t} \end{align*}}$$
La solución de esta EDP tiene la siguiente forma
$${\large \begin{align*} \Psi(\rho, t) &= \frac{\Psi_{0}}{\rho}\sin{(k\rho + wt)} \end{align*}} $$
Donde se observa que la amplitud de la solución de la ecuación de onda depende inversamente del radio de la esfera. Por consiguiente, cumple las siguientes propiedades
$${\large \begin{align*} \overline{E_{T}}\rho &= cte \\ \overline{I}\rho^2 &= cte \end{align*}} $$
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