Curva geodésica de una superficie esférica

Una curva geodésica es una curva que tiene como propiedad minimizar la longitud de la curva entre dos puntos que pertenecen a una superficie. En el caso particular de un plano, la curva geodésica es cualquier recta. No obstante, en otras superficies no necesariamente la recta es la curva que minimiza la longitud de arco Por ejemplo, en una superficie esférica la curva geodésica es un circulo máximo, curva que es la intersección de una esfera con un plano que pasa por el centro de dicha esfera.

Intersección entre una esfera y un plano.

Sea una Superficie esférica de radio r en ${\large R^3 }$ entonces una parametrización en coordenadas esféricas tiene la siguiente forma:

$$ {\large \begin{equation*} S(\varphi,\theta) = \left\{ \begin{array}{lcc} X(\varphi, \theta) = r\cos{\varphi}\sin{\theta} \\ \\ Y(\varphi, \theta) = r\sin{\varphi}\sin{\theta} \\ \\ Z(\varphi, \theta) = r\cos{\theta} \end{array} \right. \end{equation*}}$$

Donde: 

${\large [\varphi, \theta] = [0, 2\pi] \times [0, \pi] }$ 

La primera forma fundamental de la esfera de radio r en coordenadas esféricas es la siguiente:

$$ {\large \begin{equation*} I(\varphi, \theta) = \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r^2\sin{\theta} & 0 \\ 0 & r^2 \end{bmatrix} \end{equation*}} $$

Usando la ecuación de longitud de arco para una curva que se encuentra en una superficie ${\large S(\varphi,\theta)}$ desde el punto A hasta el punto B.

$$ {\large \begin{align*} s &= \int_{A}^{B} \| \gamma'(t) \| dt \\ s &= \int_{A}^{B} \sqrt{E\left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2 + 2F\left( \frac{d\varphi}{dt}\frac{d\theta}{dt} \right) + G\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2}dt \\ s &= \int_{A}^{B} \sqrt{r^2\sin^2{\theta}\left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2 + r^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2}dt \\ s &= r\int_{A}^{B} \sqrt{\sin^2{\theta}\left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2 + \left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2}dt \end{align*}} $$

 Si el parámetro ${\large \theta }$ esta en función del parámetro ${\large \varphi }$ entonces

$$ {\large\begin{align*} s &= r\int_{A}^{B} \sqrt{\sin^2{\theta}\left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2 + \left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2}dt \\ s &= r\int_{A}^{B} \sqrt{\sin^2{\theta}\left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2 + \left(\frac{d\theta}{d\varphi}\right)^2\left(\frac{d\varphi}{dt} \right)^2}dt \\ s &= r\int_{A}^{B} \sqrt{\sin^2{\theta} + \left(\frac{d\theta}{d\varphi}\right)^2}d\varphi \end{align*}} $$

Siendo el lagrangiano de la ecuación ${\large L = \sqrt{\sin^2{\theta} + \left(\frac{d\theta}{d\varphi}\right)^2} }$ entonces usando las ecuaciones de Euler - Lagrange.

$$ {\large \begin{equation*} \frac{\partial L}{\partial \varphi} - \frac{\partial}{\partial \varphi} \left( L - \frac{\partial L}{\partial \theta'} \theta' \right) \end{equation*}}$$

Por consiguiente:

$$ {\large \begin{align*} K &= L - \frac{\partial L}{\partial \theta'} \theta' \\ K &= \sqrt{\sin^2{\theta} + \left(\frac{d\theta}{d\varphi}\right)^2} - \frac{\left(\frac{d\theta}{d\varphi}\right)^2}{\sqrt{\sin^2{\theta} + \left(\frac{d\theta}{d\varphi}\right)^2}} \\ K &= \frac{\sin^2{\theta}}{ \sqrt{\sin^2{\theta} + \left(\frac{d\theta}{d\varphi}\right)^2}} \\ \frac{d\theta}{d\varphi} &=  \frac{\sqrt{\sin^2{\theta}-K^2}}{K} \sin{\theta} \\ \int d\varphi &= K \int \left( \frac{\csc{\theta}}{\sqrt{\sin^2{\theta} - K^2}}  \right)d\theta \\ \int d\varphi &= K \int \left( \frac{\csc^2{\theta}}{\sqrt{1 - K^2\csc^2{\theta} }} \right)d\theta \end{align*}} $$

Si realizamos un cambio de variable.

$$ {\large \begin{align*} u &= \cot{\theta} \\ u^2 &= \csc^2{\theta} - 1 \\ du &= -\csc^2{\theta}d\theta \end{align*}}$$

Reemplazando las relaciones anteriores en la ecuación integral.

$${\large \begin{align*} \int d\varphi &= -K \int \left( \frac{\csc^2{\theta}}{\sqrt{1 - K^2\csc^2{\theta} }} \right)d\theta \\ \int d\varphi &= -K \int \left( \frac{1}{\sqrt{1 - K^2(u^2 + 1) }} \right)du \\ \int d\varphi &= \int \left( \frac{-1}{\sqrt{ \frac{1-K^2}{K^2}  - u^2 }} \right)du \\ \int d\varphi &= \int \left( \frac{-\frac{\sqrt{1-K^2}}{K} }{\sqrt{ 1 - \left(\frac{\sqrt{1-K^2}u}{K}\right)^2 }} \right)du \\ \varphi - \beta &= \arccos{\left( \frac{\sqrt{1-K^2}u}{K} \right)} \\ \varphi - \beta &= \arccos{\left( \frac{\sqrt{1-K^2}\cot{\theta}}{K} \right)} \end{align*} }$$

El termino ${\large \beta}$ es diferente de cero, ya que de ser cero entonces la curva seria paralela al plano XZ. Ahora despejamos la variable ${\large \cos{\theta} }$

$${\large \begin{align*} \varphi - \beta &= \arccos{\left( \frac{\sqrt{1-K^2}\cot{\theta}}{K} \right)} \\ \varphi - \beta &= \arccos{\left( \frac{\sqrt{1-K^2}\cot{\theta}}{K} \right)}  \\ \cos{(\varphi - \beta)} &= \frac{\sqrt{1-K^2}\cot{\theta}}{K} \\ \cot{\theta} &= \frac{K\cos{(\varphi - \beta)}}{\sqrt{1-K^2}} \\ \cos{\theta} &= \frac{K\sin{\theta}\cos{(\varphi - \beta)}}{\sqrt{1-K^2}} \\ \cos{\theta} &= \frac{K(\sin{\theta}\cos{\varphi}\cos{\beta} + \sin{\theta}\sin{\varphi}\sin{\beta}) }{\sqrt{1-K^2}} \end{align*}}$$

 Recordando las coordenadas esféricas tenemos lo siguiente:

$${\large \begin{align*} \cos{\theta} &= \frac{K\sin{\theta}(\cos{\varphi}\cos{\beta} + \sin{\varphi}\sin{\beta}) }{\sqrt{1-K^2}} \\ r\cos{\theta} &= \frac{Kr\cos{\varphi}\sin{\theta}\cos{\beta} + Kr\sin{\varphi}\sin{\theta}\sin{\beta}) }{\sqrt{1-K^2}} \\ z &= \frac{K(x\cos{\beta} + y\sin{\beta})}{\sqrt{1-K^2}} \\ 0 &= x\cos{\beta} + y\sin{\beta} - z\frac{\sqrt{1-K^2}}{K}\end{align*} }$$

Si definimos ${\large K = \cos{\alpha}}$

$${\large \begin{align*} 0 &= x\cos{\beta} + y\sin{\beta} - z\tan{\alpha} \\ 0 &= ax + by - cz \end{align*} }$$

Donde la ecuación anterior representa un plano que pasa por el origen y las constantes a, b y c están definidas de la siguiente forma:

$${\large \begin{equation*} a = \cos{\beta} \hspace{1cm},\hspace{1cm} b = \sin{\beta} \hspace{1cm},\hspace{1cm} c = -\tan{\alpha} \end{equation*}}$$

Por consiguiente la curva geodésica de una superficie esférica es un circulo máximo, ya que la intersección de un plano que pasa por el origen con una esfera de radio r que tiene su centro en el origen es una circunferencia de radio r, siendo su ecuación paramétrica de esta curva la siguiente.

$$ {\large \begin{equation*} \gamma(\varphi) = \left\{ \begin{array}{lcc} X(\varphi) = r\cos{(\varphi)}\sin{\left( \pi/2 - \arctan{\left( \frac{\cos{(\varphi - \beta)}}{\tan{\alpha}} \right)} \right)} \\ \\ Y(\varphi) = r\sin{(\varphi)}\sin{\left( \pi/2 - \arctan{\left( \frac{\cos{(\varphi - \beta)}}{\tan{\alpha}} \right)} \right)} \\ \\ Z(\varphi) = r\cos{\left( \pi/2 - \arctan{\left( \frac{\cos{(\varphi - \beta)}}{\tan{\alpha}} \right)} \right)} \end{array} \right. \end{equation*}}$$

Donde: ${\large \varphi = [0, 2\pi] }$