Leyes de Kepler

Las leyes de Kepler son las leyes físicas usadas para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Por consiguiente, es un problema en el cual se tratan 2 cuerpos. Para deducir las leyes de Kepler se utilizara la mecánica Newtoniana en coordenadas polares en vez de coordenadas cartesianas, ya que es más sencillo usar ese sistema de coordenadas.

Las Leyes de Kepler

Primera Ley de Kepler: 

"Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse."

Partiendo de la segunda ley de Newton para una fuerza de dirección radial y que a su vez es inversamente proporcional al cuadrado de la posición para dos cuerpos.

$$ {\large \begin{align*} \vec{F}_{\rho} &= M\vec{a_{\rho}} \\ -\frac{\mu}{\rho ^2} &= \frac{d^2\rho}{dt^2} -\rho \left(\frac{d\theta}{dt} \right)^2 \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm}(0) \end{align*}} $$

Para que la ecuación (0) sea de la forma $\rho = f(\theta)$ se usan las relaciones que se obtienen al usar las derivadas de la composición de funciones.

$${\Large \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{d \rho}{dt} = \frac{d\rho}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} &  \\ \frac{d^2 \rho}{dt^2} = \frac{d^2 \rho}{d\theta^2}\left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 + \frac{d\rho}{d\theta}\frac{d^2\theta}{dt^2} & \\ \end{array} \right. \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm}(1) \end{equation*}}$$

Reemplazando las ecuaciones diferenciales de (1) en (0) obtenemos lo siguiente.

$$ {\large \begin{align*} -\frac{\mu}{\rho ^2} &= \frac{d^2\rho}{dt^2} - \rho \left(\frac{d\theta}{dt} \right)^2 \\ -\frac{\mu}{\rho ^2} &= \frac{d^2 \rho}{d\theta^2}\left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 + \frac{d\rho}{d\theta}\frac{d^2\theta}{dt^2} - \rho \left(\frac{d\theta}{dt} \right)^2 \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm}(2) \end{align*}} $$

A partir del momento angular se obtienen las siguientes relaciones.

$$ {\Large \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{d \theta}{dt} = \frac{H}{\rho^2} &  \\   \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -\frac{2H^2}{\rho^5}\frac{d\rho}{d\theta} & \\ \end{array} \right. \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm}(3) \end{equation*}} $$

Reemplazando las ecuaciones diferenciales de (3) en (2)

$$ {\large \begin{align*} -\frac{\mu}{\rho ^2} &= \frac{d^2 \rho}{d\theta^2} \left(\frac{d\theta}{dt} \right)^2 + \frac{d\rho}{d\theta}\frac{d^2\theta}{dt^2} - \rho \left(\frac{d\theta}{dt} \right)^2 \\ -\frac{\mu}{\rho ^2} &= \frac{d^2 \rho}{d\theta^2} \left( \frac{H}{\rho^2} \right)^2 + \frac{d\rho}{d\theta} \left( -\frac{2H^2}{\rho^5}\frac{d\rho}{d\theta} \right) - \rho \left( \frac{H}{\rho^2} \right)^2 \\ -\frac{\mu}{\rho ^2} &= \frac{H^2}{\rho^4} \left( \frac{d^2 \rho}{d\theta^2} - \frac{2}{\rho} \left( \frac{d\rho}{d\theta} \right)^2 - \rho \right) \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm}(4) \end{align*}} $$

Realizando un cambio de variable $\rho = 1/v $ obtenemos por la regla de la cadena lo siguiente.

$$ {\Large \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{d\rho}{d\theta} = -\frac{1}{v^2}\frac{dv}{d\theta} &  \\ \frac{d^2\rho}{d\theta} = \frac{2}{v^3}\left(\frac{dv}{d\theta}\right)^2 - \frac{1}{v^2}\frac{d^2v}{d\theta^2} & \\ \end{array} \right. \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm}(5)   \end{equation*}} $$

Reemplazando las ecuaciones diferenciales de (5) en (4)

$${\large \begin{align*} -\frac{\mu}{\rho ^2} &= \frac{H^2}{\rho^4} \left( \frac{d^2 \rho}{d\theta^2} - \frac{2}{\rho} \left( \frac{d\rho}{d\theta} \right)^2 - \rho \right) \\ - v^2 \mu &= v^4 H^2 \left( \frac{2}{v^3}\left(\frac{dv}{d\theta}\right)^2 - \frac{1}{v^2}\frac{d^2v}{d\theta^2} - 2v \left( \frac{1}{v^2}\frac{d v}{d \theta} \right)^2 - \frac{1}{v} \right) \\ - \mu &= v^2 H^2 \left(- \frac{1}{v^2}\frac{d^2v}{d\theta^2} - \frac{1}{v} \right) \\ \frac{\mu}{H^2} &= \frac{d^2v}{d\theta^2} + v \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm}(6) \end{align*} }$$

La ecuación diferencial (6) es una EDO de segundo orden no homogénea. Su solución respectiva es la siguiente.

$${\large \begin{align*} v &= C\cos{(\theta - \alpha)} + \frac{\mu}{H^2} \\ \frac{1}{\rho} &= \frac{H^2C\cos{(\theta - \alpha)} + \mu}{H^2} \\ \rho &= \frac{H^2}{H^2C\cos{(\theta - \alpha)} + \mu} \\ \rho &= \frac{H^2/\mu}{ 1 + (CH^2/\mu)\cos{(\theta - \alpha)} } \end{align*} }$$

Si consideramos que el Sol se encuentra en el origen, entonces $\alpha = 0$.

$${\large \begin{align*} \rho &= \frac{H^2/\mu}{ 1 + (CH^2/\mu)\cos{\theta}} \\ \rho &= \frac{a(1 - e^2)}{ 1 + e \cos{\theta}}  \end{align*} }$$

Donde:

a es el semieje mayor de la cónica

e es la excentricidad de la cónica

H es el momento angular especifico

Trayectorias posibles para una fuerza central.

Segunda Ley de Kepler: 

"El radio vector que une un planeta y el Sol recorre áreas iguales en tiempos iguales."

Partiendo de la ecuación de la aceleración en coordenadas polares.

$$ {\large \begin{align*}\vec{a} = \left( \frac{d^2\rho}{d t^2} - \rho\left( \frac{d \theta}{d t} \right)^2 \right) \hat{\rho} + \left(2\frac{d \rho}{d t}\frac{d \theta}{d t}  + \rho \frac{d^2 \theta}{d t^2}\right)\hat{\theta} \end{align*}} $$

Como solo hay aceleración en la parte radial del movimiento entonces la parte polar de la aceleración es igual a cero.

$$ {\large \begin{align*} 0 &= \left(2\frac{d \rho}{d t}\frac{d \theta}{d t}  + \rho \frac{d^2 \theta}{d t^2}\right)\hat{\theta} \\ 0 &= 2\frac{d \rho}{d t}\frac{d \theta}{d t}  + \rho \frac{d^2 \theta}{d t^2} \\ 0 &= \frac{1}{\rho}\frac{d}{d t}\left( \rho^2 \frac{d \theta}{d t} \right) \hspace{2cm}...\hspace{0.2cm} (7) \end{align*}} $$

De la ecuación (7) se obtiene.

$$ {\large \begin{align*} \rho^2 \frac{d \theta}{d t} &= H \\ H d t &= \rho ^2 d \theta \\ \int (H) dt &= \int \left( \rho^2\right) d\theta \\ \frac{H \Delta t}{2} &= \frac{1}{2} \int \left( \rho ^2 \right) d \theta \hspace{2cm}...\hspace{0.2cm} (8) \end{align*}} $$

Recordando la ecuación del área en coordenadas polares.

$$ {\large \begin{equation*} A = \frac{1}{2}\int \left( \rho^2 \right) d\theta \end{equation*}} $$

Reemplazando el área en la ecuación (8)

$$ {\large \begin{align*}\frac{H \Delta t}{2} &= \frac{1}{2} \int \left( \rho ^2 \right) d \theta \\ \frac{H \Delta t}{2} &= A \\ \Delta t &= \frac{2A}{H} \end{align*}} $$

Segunda Ley de Kepler

Tercera Ley de Kepler: 

"Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica.."

Como la derivada del área es constante.

$${\large \begin{align*} \frac{dA}{dt} &= \frac{A}{T} \\ \frac{H}{2} &= \frac{\pi a b}{T} \\ \frac{H^2}{4} &= \frac{\pi^2 a^2 b^2}{T^2} \hspace{2cm}...\hspace{0.2cm} (9) \end{align*}}$$

Donde:

$${\large \begin{align*} b &= a\sqrt{1 - e^2}  \\   H^2 &= a\mu (1 - e^2) \end{align*} }$$

Reemplazando b y $H^2$ en la ecuación (9)

$${\large \begin{align*} \frac{H^2}{4} &= \frac{\pi^2 a^2 b^2}{T^2} \\ \frac{a\mu (1 - e^2)}{4} &= \frac{\pi^2 a^4 (1- e^2)}{T^2} \\ \frac{T^2}{a^3} &= \frac{4 \pi^2}{\mu} \end{align*} }$$

Las distancias promedios al Sol y el periodo de revolución de los planetas del sistema solar se aprecian en la siguiente tabla.

 

Planeta	Periodo (s)	Distancia (m)
Mercurio	7.6 x $10^6$	5.8 x $10^{10}$
Venus	1.9 x $10^7$	1.1 x $10^{11}$
Tierra	3.15 x $10^6$	1.5 x $10^{11}$
Marte	5.9 x $10^7$	2.3 x $10^{11}$
Júpiter	3.7 x $10^8$	7.8 x $10^{11}$
Saturno	9.2 x $10^8$	1.4 x $10^{12}$
Urano	2.6 x $10^9$	2.9 x $10^{12}$
Neptuno	5.2 x $10^9$	4.5 x $10^{12}$