La regresión no lineal es un ajuste estadístico hecho haciendo una optimización para distintas curvas tales como la función exponencial, la función logarítmica, la función polinomial, las funciones trigonométrica, etc. Algunas de estas regresiones tienen la particularidad de que pueden linealizarse tales como la regresión exponencial y la regresión logarítmica. Por consiguiente se puede usar la regresión lineal respectivamente. No obstante hay algunas regresiones que no pueden linealizarse tales como la regresión polinómica. En el siguiente articulo trataremos algunas regresiones no lineales.
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| Regresión no Lineal de un Conjunto de Puntos (X, Y) |
Regresión Exponencial
La regresión exponencial es una regresión no lineal no obstante esta regresión puede linealizarse. Comúnmente esta regresión es usada para los modelos de crecimiento y decrecimiento respectivamente.
$${\large \begin{align*} Y &= ae^{bX} \\ \ln{Y} &= \ln{ae^{bX}} \\ \ln{Y} &= \ln{a} + bX \\ \ln{Y} &= bX + \ln{a} \end{align*}}$$
Por consiguiente se puede hacer uso de los mínimos cuadrados para calcular los valores correspondientes a y b respectivamente.
$${\large \begin{align*} b &= \frac{\sum X \sum \ln{Y} - N\sum (X \cdot \ln{Y})}{(\sum X )^2 - N\sum X^2} \\ \\ \ln{a} &= \frac{\sum X \sum (X \cdot \ln{Y}) - \sum \ln{Y} \sum X^2}{(\sum X )^2 - N\sum X^2} \end{align*} }$$
Ahora trataremos la regresión exponencial por medio de la siguiente data que se muestra a continuación:
| N de Datos | Datos $X$ | Datos $Y$ | Datos $X^2$ | Datos $X \cdot \ln{Y}$ |
| Dato 1 | 0 | 4.75 | 0 | 0 |
| Dato 2 | 1 | 12.6 | 1 | 2.53 |
| Dato 3 | 3 | 24.4 | 9 | 9.58 |
| Dato 4 | 4 | 54.0 | 16 | 15.96 |
| Dato 5 | 6 | 78.85 | 36 | 26.21 |
| Dato 6 | 7 | 103.5 | 49 | 32.48 |
| Dato 7 | 8 | 163.1 | 64 | 40.75 |
| Dato 8 | 9 | 223 | 81 | 48.66 |
| Dato 9 | 10 | 322.5 | 100 | 57.76 |
| Dato 10 | 11 | 543.4 | 121 | 69.28 |
| $\sum$ | 59 | 1530.1 | 477 | 303.21 |
Código Fuente de la Regresión Exponencial
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
fig=plt.figure(figsize=(12,6))
X = np.array([0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11])
Y = np.array([4.75, 12.6, 24.4, 54.0, 78.85, 103.5, 163.1, 223, 322.5, 543.4])
N = len(X)
prom_X= np.mean(X)
prom_Y= np.mean(np.log(Y))
sum_X = np.sum(X)
pot_X = np.sum(X*X)
sum_Y = np.sum(np.log(Y))
prod_XY = np.sum(X*np.log(Y))
VarX = np.sqrt(np.sum( (X - prom_X)**2 ))
VarY = np.sqrt(np.sum( (np.log(Y) - prom_Y)**2 ))
Cov_X_Y = np.sum( (X-prom_X)*(np.log(Y)-prom_Y) )
b = (sum_X*sum_Y - N*prod_XY)/((sum_X)**2 - N*pot_X)
lg = (sum_X*prod_XY - pot_X*sum_Y)/((sum_X)**2 - N*pot_X)
a = np.exp(lg)
Z = a*np.exp(X*b)
print("La magnitud es igual a {}".format(a))
print("La tasa de crecimiento es igual a {}".format(b))
plt.title("Regresión Exponencial", fontsize=20)
plt.xlabel("Eje X", fontsize=20)
plt.ylabel("Eje Y", fontsize=20)
plt.plot(X,Y, 'ro', markersize=10)
plt.plot(X,Z, color='k', lw=2, label="$Y = {:.3f} \cdot exp({:.3f} \cdot X) $".format(a,b))
plt.legend(loc='best', fontsize=15)
plt.show()
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| Regresión Exponencial para la Data |
Regresión Logarítmica
La regresión logarítmica también es una regresión no lineal no obstante esta regresión puede linealizarse. Comúnmente esta regresión es usada para determinar la antigüedad de materiales como también la medición de sismos.
$${\large \begin{align*} Y = a\ln{X} + b \end{align*} } $$
Aunque se trate de logaritmos el termino $\ln{X}$ se puede tratar como una X. Por consiguiente usando el método de los mínimos cuadrados podemos calcular los valores correspondientes a y b respectivamente.
$${\large \begin{align*} a &= \frac{\sum \ln{X} \sum Y - N\sum (\ln{X} \cdot Y)}{(\sum \ln{X} )^2 - N\sum \ln^2{X}} \\ \\ b &= \frac{\sum \ln{X} \sum (\ln{X} \cdot Y) - \sum Y \sum \ln^2{X}}{(\sum \ln{X} )^2 - N\sum \ln^2{X}} \end{align*} }$$
Ahora trataremos la regresión logarítmica por medio de la siguiente data que se muestra a continuación:
| N de Datos | Datos $X$ | Datos $Y$ | Datos $\ln^2{X}$ | Datos $Y \cdot \ln{X}$ |
| Dato 1 | 1 | 0.5 | 0 | 0 |
| Dato 2 | 2 | 0.7 | 0.477 | 0.483 |
| Dato 3 | 3 | 0.8 | 1.21 | 0.88 |
| Dato 4 | 4 | 0.9 | 1.93 | 1.251 |
| Dato 5 | 6 | 0.95 | 3.20 | 1.701 |
| Dato 6 | 8 | 1.2 | 4.33 | 2.50 |
| Dato 7 | 9 | 1.25 | 4.84 | 2.75 |
| Dato 8 | 10 | 1.27 | 5.29 | 2.921 |
| Dato 9 | 12 | 1.30 | 6.15 | 3.224 |
| Dato 10 | 15 | 1.37 | 7.34 | 3.713 |
| $\sum$ | 70 | 10.24 | 34.767 | 19.423 |
Código Fuente de la Regresión Logarítmica
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
fig=plt.figure(figsize=(12,6))
X = np.array([1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15])
Y = np.array([0.5, 0.7, 0.8, 0.9, 0.95, 1.2, 1.25, 1.27, 1.30, 1.37])
N = len(X)
prom_X= np.mean(np.log(X))
prom_Y= np.mean(Y)
sum_X = np.sum(np.log(X))
pot_X = np.sum(np.log(X)*np.log(X))
sum_Y = np.sum(Y)
prod_XY = np.sum(np.log(X)*Y)
VarX = np.sqrt(np.sum( (np.log(X) - prom_X)**2 ))
VarY = np.sqrt(np.sum( (Y - prom_Y)**2 ))
Cov_X_Y = np.sum( (np.log(X)-prom_X)*(Y-prom_Y) )
a = (sum_X*sum_Y - N*prod_XY)/((sum_X)**2 - N*pot_X)
b = (sum_X*prod_XY - pot_X*sum_Y)/((sum_X)**2 - N*pot_X)
Z = a*np.log(X) + b
print("La pendiente es igual a {}".format(a))
print("El intercepto es igual a {}".format(b))
plt.title("Regresión Logaritmica", fontsize=20)
plt.xlabel("Eje X", fontsize=20)
plt.ylabel("Eje Y", fontsize=20)
plt.plot(X,Y, 'ro', markersize=10)
plt.plot(X,Z, color='k', lw=2, label="$Y = {:.3f} \cdot \ln(X) + {:.3f} $".format(a,b))
plt.legend(loc='best', fontsize=15)
plt.show()
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| Regresión Logarítmica para la Data |
Regresión Polinómica
La regresión polinomial es un caso mucho más general que el de la regresión lineal.
$${\large \begin{align*} Y = \beta_{0} + X_{i}\beta_{1} + X^{2}_{i}\beta_{2} + \cdots + X^{m}_{i}\beta_{m}\hspace{1cm},\hspace{0.2cm} i =1,2,3,\cdots,n \end{align*}}$$
Esta regresión necesariamente se resuelve usando la matriz de Vandermonde.
$${\large \begin{align*} Y &= M \cdot C \\ \begin{bmatrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ Y_{3} \\ \vdots \\ Y_{n} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}1 & X_{1} & X^{2}_{1} & \cdots & X^{m}_{1} \\ 1 & X_{2} & X^{2}_{2} & \cdots & X^{m}_{2} \\ 1 & X_{3} & X^{2}_{3} & \cdots & X^{m}_{3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & X_{n} & X^{2}_{n} & \cdots &X^{m}_{n} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \beta_{0} \\ \beta_{1} \\ \beta_{2} \\ \vdots \\ \beta_{m} \end{bmatrix} \end{align*}}$$
Para obtener los parámetros de la regresión lineal se hace uso del algebra lineal.
$${\large \begin{align*} Y &= M \cdot C \\ M^{t} \cdot Y &= M^{t} \cdot M \cdot C \\ C &= (M^{t} \cdot M)^{-1} \cdot M^{t} \cdot Y \end{align*} }$$
Ahora trataremos la regresión logarítmica por medio de la siguiente data que se muestra a continuación:
| N de Datos | Datos X | Datos Y |
| Dato 1 | 0 | -1.05 |
| Dato 2 | 1 | 5.0 |
| Dato 3 | 2 | 9.5 |
| Dato 4 | -3 | 16 |
| Dato 5 | 4 | 6.7 |
| Dato 6 | -1 | 3.5 |
| Dato 7 | 7 | 56.1 |
| Dato 8 | 5 | 30.0 |
| Dato 9 | -4 | 32.5 |
| Dato 10 | -9 | 120.0 |
Código Fuente de la Regresión Polinómica
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.linalg import inv
import sympy as sp
fig=plt.figure(figsize=(12,6))
x = sp.Symbol('x')
X = np.array([0, 1, 2, -3, 4, -1, 7, 5, -4, -9])
Y = np.array([-1.05, 5, 9.5, 16, 6.7, 3.5, 56.1, 30, 32.5, 120])
n = 2 # Representa el Grado del Polinomio
M = np.vander(X, n+1, increasing=True)
Mt = np.transpose(M)
I = inv(np.dot(Mt, M))
t = np.linspace(min(X), max(X), 10**3)
C = np.dot(np.dot(I , Mt), Y)
h = 0
for i in range(0,n+1,1):
print('beta_{} = {}'.format(i, C[i]))
h += round(C[i], 3)*x**i
print(h)
Z = 0
for i in range(0,n+1,1):
Z += C[i]*(t**i)
plt.plot(t,Z, color='k', lw=2, label=" Y = {}".format(h))
plt.title("Regresión Lineal por el Método Matricial", fontsize=20)
plt.xlabel("Eje X", fontsize=20)
plt.ylabel("Eje Y", fontsize=20)
plt.plot(X,Y, 'ro', markersize=10)
plt.legend(loc='best', fontsize=15)
plt.show()
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| Regresión Parabólica para la Data |
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