La geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático y del álgebra multilineal. Teniendo muchas aplicaciones en la fisica al analizar el movimiento en las variedades diferenciales respectivamente.
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| Superficies en el Espacio. |
1.- Teorema de Lancret: Si en una curva la torsión y la curvatura son proporcionales entonces tal curva es una hélice.
Sea la curva espacial parametrizada en función de su longitud de arco igual a:
$${\large \begin{equation*} \gamma (s) = (x(s), y(s), z(s)) \end{equation*}}$$
Toda curva en $\mathbb{R}^3$ cumple la siguiente ecuación matricial respectivamente.
$${\large \begin{align*} {\large \begin{bmatrix} T'(s) \\ \\ N'(s) \\ \\ B'(s) \end{bmatrix}} = {\large \begin{bmatrix} 0 & k & 0 \\ \\ -k & 0 & \tau \\ \\ 0 & -\tau & 0 \end{bmatrix}} \cdot {\large \begin{bmatrix} T(s) \\ \\ N(s) \\ \\ B(s) \end{bmatrix}} \end{align*} }$$
Una curva es una hélice si y solo si su vector tangente unitario $T(s)$ y un vector unitario fijo $\hat{v}$ forman un ángulo constante $\alpha$.
$$ {\large \begin{equation*} \left< T(s), \hat{v} \right> = \cos{\alpha} \end{equation*}}$$
Partiendo de la definición de hélice
$${\large \begin{align*} \cos{\alpha} &= \left< T(s), \hat{v} \right> \\ 0 &= \left< T'(s), \hat{v} \right> \\ 0 &= \left< k(s)N(s), \hat{v} \right> \\ 0 &= \left< N(s), \hat{v} \right> \\ 0 &= \left< N '(s), \hat{v} \right> \\ 0 &= \left< -k(s)T(s) + \tau(s)B(s), \hat{v} \right> \\ \left< k(s)T(s), \hat{v} \right> &= \left< \tau(s)B(s), \hat{v} \right> \\ k(s)\left< T(s), \hat{v} \right> &= \tau(s)\left< B(s), \hat{v} \right> \\ \frac{k(s)}{\tau(s)} &= \frac{\left< B(s), \hat{v} \right>}{\left< T(s), \hat{v} \right>} \end{align*}}$$
Como el vector unitario fijo $\hat{v}$ es ortogonal al vector normal unitario entonces el vector unitario fijo $\hat{v}$ es una suma vectorial del vector tangente unitario y del vector binormal unitario.
Por consiguiente
$${\large \begin{align*} \frac{k(s)}{\tau(s)} &= \frac{\left< B(s), \hat{v} \right>}{\left< T(s), \hat{v} \right>} \\ \frac{k(s)}{\tau(s)} &= \frac{\cos{(\pi/2 - \alpha)}}{\cos{\alpha}} \\ \frac{k(s)}{\tau(s)} &= \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \\ \frac{k(s)}{\tau(s)} &= \tan{\alpha} \end{align*}}$$
Por lo tanto la curva ${\large \gamma(s) = (x(s), y(s), z(s)) }$ es una hélice.
2.- Curva Plana: Toda Curva plana tiene torsión igual a cero.
Sea la curva plana parametrizada en función de su longitud de arco igual a ${\large \gamma (s) = (x(s), y(s), z(s)) }$ entonces cumple la siguiente ecuación:
$$ {\large \begin{align*} d &= ax + by + cz \\ d &= ax(s) + by(s) + cz(s) \\ 0 &= a\frac{dx(s)}{ds} + b\frac{dy(s)}{ds} + c\frac{dz(s)}{ds} \\ 0 &= \left< (a,b,c) , \left( \frac{dx(s)}{ds}, \frac{dy(s)}{ds}, \frac{dz(s)}{ds} \right)\right> \\ 0 &= \left< (a,b,c) , T(s) \right> \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm}(1) \end{align*}} $$
Derivando con respecto a la longitud de arco la ecuación (1) obtenemos.
$$ {\large \begin{align*} 0 &= \left< (a,b,c) , T(s) \right> \\ 0 &= \left< (a,b,c) , \frac{dT(s)}{ds} \right> \\ 0 &= \left< (a,b,c) , k N(s) \right> \\ 0 &= \left< (a,b,c) , N(s) \right> \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm}(2) \end{align*}}$$
En $\mathbb{R}^3$ un vector es solo perpendicular a dos vectores. Si analizamos las ecuaciones (1) y (2) el único vector que es perpendicular tanto al vector tangente unitario y al vector normal unitario es el vector binormal unitario.
$$ {\large \begin{align*} B(s) = \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right) \end{align*}}$$
Partiendo del teorema fundamental de las curvas en $\mathbb{R}^3$
$$ {\large \begin{align*} \begin{bmatrix} T^{´}(s) \\ \\ N^{´}(s) \\ \\ B^{´}(s) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & k & 0 \\ \\ -k & 0 & \tau \\ \\ 0 & -\tau & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} T(s) \\ \\ N(s) \\ \\ B(s) \end{bmatrix} \end{align*}} $$
Usamos la ecuación de la derivada del vector binormal unitario con respecto a la longitud de arco.
$${\large \begin{align*} -\tau N(s) &= \frac{dB(s)}{ds} \\ -\tau N(s) &= \frac{d}{ds}\left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right) \\ -\tau N(s) &= (0,0,0) \end{align*} }$$
Como el vector normal unitario no es un vector nulo entonces:
$${\large \begin{align*} -\tau N(s) &= (0,0,0) \\ -\tau < N(s), N(s) > &= < (0,0,0), N(s) > \\ \tau &= 0 \end{align*} }$$
3.- Superficie Umbilicales: Las únicas superficies abiertas, orientables y totalmente umbilicales son abiertos de planos y de esferas.
Si una superficie S(u,v) es conexa y orientable donde todos sus puntos son umbilicales entonces se cumple la siguiente relación entre la primera forma fundamental y la segunda forma fundamental.
$${\large \begin{equation*} \frac{L}{E} = \frac{M}{F} = \frac{N}{G} = \beta \hspace{2cm},\hspace{2cm} Det(II) = \beta Det(I) \end{equation*}}$$
Partiendo de las ecuaciones de Weingarten
$$ {\large \begin{align*} \begin{bmatrix} \hat{n}_{u} \\ \hat{n}_{v} \end{bmatrix} &= \frac{1}{EG-F^2} \begin{bmatrix} FM - GL & FL - EM \\ FN - GM & FM - EN \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} S_{u} \\ S_{v} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \hat{n}_{u} \\ \hat{n}_{v} \end{bmatrix} &= -\beta \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} S_{u} \\ S_{v} \end{bmatrix} \end{align*}} $$
Al ser la superficie continua aplicamos el Teorema de Clairaut para las derivadas parciales.
$${\large \begin{align*} \frac{\partial \hat{n}_{u}}{\partial v} &= \frac{\partial \hat{n}_{v}}{\partial u} \\ -\beta_{v}\hat{n}_{u} -\beta \hat{n}_{uv} &= -\beta_{u}\hat{n}_{v} -\beta \hat{n}_{vu} \\ \beta_{v}\hat{n}_{u} &= \beta_{u}\hat{n}_{v} \end{align*}}$$
Como $r_{u}$ y $r_{v}$ son linealmente independientes entonces por algebra lineal ${\large \beta }$ debe ser una constante para todo punto de la superficie S(u, v).
- ${\large \beta = 0 }$
Si $\beta$ es igual a cero entonces la segunda forma fundamental de la superficie S(u, v) es igual a:
$$ {\large \begin{align*} L &= \left< \hat{n}, r_{uu} \right> = 0 \\ M &= \left< \hat{n}, r_{uv} \right> = 0 \\ N &= \left< \hat{n}, r_{vv} \right> = 0 \end{align*}} $$
Como el vector normal no puede ser cero entonces las segundas derivadas parciales son iguales al vector nulo, es decir, se cumple lo siguiente:
$$ {\large \begin{align*} r_{uu} &= (0,0,0) \\ r_{vv} &= (0,0,0) \end{align*}} $$
Por consiguiente:
$$ {\large \begin{align*} r_{u} &= (c_{1},c_{2},c_{3}) \\ r_{v} &= (d_{1},d_{2},d_{3}) \end{align*}} $$
Y como $r_{u}$ y $r_{v}$ son linealmente independientes entonces la superficie S(u,v) tiene la siguiente forma
$${\large \begin{equation*} S(u,v) = P_{0} + u (c_{1},c_{2},c_{3}) + v(d_{1},d_{2},d_{3}) \end{equation*}}$$
Por lo tanto la superficie conexa y orientable y totalmente umbilical cuando $\beta = 0$ es un abierto de un plano.
- ${\large \beta = Constante }$
Partiendo de los resultados de las ecuaciones de weingarten
$${\large \begin{align*} \hat{n}_{u} &= -\beta r_{u} \\ 0 &= \hat{n}_{u} + \beta r_{u} \\ 0 &= r_{u} + \hat{n}_{u} / \beta \\ \frac{\partial \vec{c}}{\partial u} &= \frac{\partial (S + \hat{n} / \beta )}{\partial u} \\ \\ \hat{n}_{v} &= -\beta r_{v} \\ 0 &= \hat{n}_{v} + \beta r_{v} \\ 0 &= r_{v} + \hat{n}_{v} / \beta \\ \frac{\partial \vec{c}}{\partial v} &= \frac{\partial (S + \hat{n} / \beta)}{\partial v} \end{align*} }$$
Obteniendo la siguiente relación correspondiente
$$ {\large \begin{align*} \vec{c} &= S + \vec{n} / \beta \\ \vec{n} / \beta &= \vec{c} - S \end{align*} } $$
Donde se puede apreciar que la superficie es equidistante a un vector constante $\vec{c}$. Por consiguiente la superficie conexa y orientable S(u, v) se trata de una esfera de radio igual a $1 / \beta$
$$ {\large \begin{equation*} S(u,v) = \left( \frac{\cos{u}\sin{v}}{\beta}, \frac{\sin{u}\sin{v}}{\beta}, \frac{\cos{v}}{\beta} \right) \end{equation*}} $$
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