Gas de Fotones y Radiación de Cuerpo Negro

El gas de fotones es un caso particular del gas de Bose-Einstein cuando el potencial químico es nulo. Esto es debido a que el gas de fotones se encuentra en equilibrio respectivamente. 

Termodinámica de un Gas de Fotones

La función partición y el numero medio de ocupación de un gas de fotones están dadas por las siguientes ecuaciones: 

$${\large \begin{align*} \ln(\Xi) &= - 2\sum_{j}\ln{(1-e^{-\beta \epsilon_{j}})} \\ < n_{j} > &= \frac{2}{e^{\beta \epsilon_{j}} - 1} \end{align*} }$$   

La razón por la cual se multiplica por 2 las ecuaciones anteriores es debido a la polaridad del gas de fotones. Para analizar el gas de fotones se necesitara hacer uso de la transformada integral de Mellin

$${\large \begin{align*} \mathcal{M}\left\lbrace f(t) \right\rbrace(s) &= F(s) = \int_{0}^{\infty} t^{s-1}f(t)dt \\ \mathcal{M}^{-1}\left\lbrace F(s) \right\rbrace(t) &= f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{c - i\infty}^{c + i\infty} t^{-s}F(s)ds  \end{align*} }$$

Un resultado importante de la transformada de Mellin para el gas de fotones es la siguiente:

$${\large \begin{align*} \mathcal{M}\left\lbrace \frac{1}{e^t - 1} \right\rbrace(s) = \Gamma(s) \varsigma(s) \end{align*} }$$

Donde: 

${\large \varsigma(s) }$ es la función zeta de Riemann 

${\large \Gamma(s) }$ es la función gamma

Energía Interna

Por Energía Interna

$${\large \begin{align*} U &= - \frac{\partial \ln(\Xi) }{\partial \beta} \\ U &= 2\sum_{j} \left( \frac{\epsilon_{j} e^{-\beta e_{j}}}{1 - e^{-\beta \epsilon_{j}}} \right) \\ U &= 2\sum_{j} \left( \frac{\epsilon_{j} }{e^{\beta \epsilon_{j}} - 1} \right)  \end{align*} }$$  

Reemplazando ${\large\epsilon}$ en la energía interna

$${\large \begin{align*} U &= 2\hbar c\sum_{k} \left( \frac{k}{e^{\beta \hbar ck} - 1} \right)      \end{align*} }$$

Pasando al limite termodinámico la energía interna

$${\large \begin{align*} U &= \frac{2V\hbar c}{(2\pi)^3} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{k }{e^{\beta \hbar ck} - 1} \right)dV_{k} \\ U &= \frac{2V\hbar c}{(2\pi)^3} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{4\pi k^3 }{e^{\beta \hbar ck} - 1} \right)dk \\ U &= \frac{V\hbar c}{\pi^2} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{ k^3 }{e^{\beta \hbar ck} - 1} \right)dk \end{align*} }$$

Realizando un cambio de variable 

$${\large \begin{equation*} t = \beta \hbar ck \hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} dt = \beta \hbar cdk    \end{equation*} }$$

Reemplazando la nueva variable

$${\large \begin{align*} U &= \frac{V\hbar c}{\pi^2} \left(\frac{1}{\beta \hbar c}\right)^4 \int_{0}^{\infty} \left( \frac{ t^3 }{e^{t} - 1} \right)dt \end{align*}}$$

Haciendo uso de la transformada de Mellin

$${\large \begin{align*} U &= \frac{V\hbar c}{\pi^2} \left(\frac{1}{\beta \hbar c}\right)^4 \mathcal{M}\left\lbrace \frac{1}{e^t - 1} \right\rbrace(4) \\ U &= \frac{V\varsigma(4)\Gamma(4)}{\pi^2 \beta^4 \hbar^3 c^3} \\ U &= \frac{V \pi^2 k_{B}^4 T^4}{ 15 \hbar^3 c^3} \end{align*}}$$

Numero de Partículas

Por Número de Ocupación

$${\large \begin{align*} N &= \sum_{j} <n_{j} > \\ N &= 2\sum_{j} \left( \frac{1}{e^{\beta \epsilon_{j}} - 1} \right) \end{align*}}$$

Reemplazando ${\large \epsilon }$ en el Número de Ocupación

$${\large \begin{align*} N &= 2\sum_{k} \left( \frac{1}{e^{\beta \hbar ck} - 1} \right)   \end{align*} }$$

Pasando al limite termodinámico el número de ocupación

$${\large \begin{align*} N &= \frac{2V}{(2\pi)^3} \int_{0}^{\infty}\left( \frac{1}{e^{\beta \hbar ck} - 1} \right) dV_{k} \\ N &= \frac{2V}{(2\pi)^3} \int_{0}^{\infty}\left( \frac{4\pi k^2}{e^{\beta \hbar ck} - 1} \right) dk \\ N &= \frac{V}{\pi^2} \int_{0}^{\infty}\left( \frac{k^2}{e^{\beta \hbar ck} - 1} \right) dk  \end{align*} }$$

Realizando un cambio de variable 

$${\large \begin{equation*} t = \beta \hbar ck \hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} dt = \beta \hbar cdk    \end{equation*} }$$

Reemplazando la nueva variable

$${\large \begin{align*} N &= \frac{V}{\pi^2} \left(\frac{1}{\beta \hbar c}\right)^3 \int_{0}^{\infty}\left( \frac{t^2}{e^{t} - 1} \right) dt \end{align*}}$$

Haciendo uso de la transformada de Mellin

$${\large \begin{align*} N &= \frac{V}{\pi^2} \left(\frac{1}{\beta \hbar c}\right)^3 \mathcal{M}\left\lbrace \frac{1}{e^t - 1} \right\rbrace(3) \\ N &= \frac{V}{\pi^2} \left(\frac{1}{\beta \hbar c}\right)^3 \varsigma(3) \Gamma(3) \\ N &= \frac{2Vk_{B}^{3} T^3 \varsigma(3) }{\pi^2 \hbar^3 c^3} \\ N &= \frac{\varsigma(3)\beta}{3\varsigma(4)}U \end{align*}}$$

Ecuación de Estado Macro Canónica

Por ecuación de Estado

$${\large \begin{align*} PV &= k_{B}T\ln{(\Xi)} \\ PV &= -2k_{B}T \sum_{j}\ln{(1-e^{-\beta \epsilon_{j}})} \end{align*} }$$

Reemplazando $\epsilon$ en la ecuación de estado

$${\large \begin{align*} PV &= -2k_{B}T \sum_{k}\ln{(1-e^{-\beta \hbar ck})} \end{align*}}$$

Pasando al limite termodinámico la ecuación de estado

$${\large \begin{align*} PV &= \frac{-2k_{B}TV}{(2\pi)^3}\int_{0}^{\infty}\left( \ln{(1-e^{-\beta \hbar ck})}  \right)dV_{k} \\ PV &= \frac{-k_{B}TV}{\pi^2}\int_{0}^{\infty}\left( k^2 \ln{(1-e^{-\beta \hbar ck})}  \right)dk  \end{align*}}$$

Realizando una integración por partes 

$${\large \begin{align*} \alpha &= \ln{(1-e^{-\beta \hbar ck})} & d\gamma &= k^2 dk \\ d\alpha &= \frac{\beta \hbar c e^{-\beta \hbar ck}dk}{1 - e^{-\beta \hbar ck}} & \gamma &= \frac{k^3}{3} \end{align*}}$$

  

Obtenemos

$${\large \begin{align*} PV &= \frac{-k_{B}TV}{\pi^2}\left[ \left. \frac{k^3 \ln{(1-e^{-\beta \hbar ck})} }{3}\right|_{0}^{\infty} - \frac{\beta \hbar c}{3}\int_{0}^{\infty} \left( \frac{k^3e^{-\beta \hbar ck}}{1 - e^{-\beta \hbar ck}} \right) dk \right] \\ PV &= \frac{k_{B}\beta \hbar c T V}{3\pi^2}\int_{0}^{\infty} \left( \frac{k^3}{e^{\beta \hbar ck} - 1} \right) dk \end{align*} }$$

Realizando un cambio de variable 

$${\large \begin{equation*} t = \beta \hbar ck \hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} dt = \beta \hbar cdk    \end{equation*} }$$

Reemplazando la nueva variable

$${\large \begin{align*} PV &= \frac{k_{B}\beta \hbar c T V}{3\pi^2} \left(\frac{1}{\beta \hbar c}\right)^4 \int_{0}^{\infty} \left( \frac{t^3}{e^{t} - 1} \right) dt  \end{align*} }$$

Haciendo uso de la transformada de Mellin

$${\large \begin{align*} PV &= \frac{k_{B}\beta \hbar c T V}{3\pi^2} \left(\frac{1}{\beta \hbar c}\right)^4 \mathcal{M}\left\lbrace \frac{1}{e^t - 1} \right\rbrace(4) \\ PV &= \frac{k_{B}\varsigma(4) \Gamma(4)} {3\pi^2 \beta^3 \hbar^3 c^3} \\ PV &= \frac{\pi^2 V k_{B}^4 T^4 } {45 \hbar^3 c^3} \\ PV &= \frac{1}{3}U \end{align*} }$$

Otras Funciones de Estado Termodinámicas

Las otras funciones de estado termodinámicas que describen al gas de fotones están en función de la energía interna, número de partículas, temperatura y volumen respectivamente.

• Entalpía 

$${\large \begin{align*} H &= U + PV \\ H &= U + \frac{1}{3}U \\ H &= \frac{4}{3}U \end{align*} }$$

• Energía de Gibbs

$${\large \begin{align*} G &= \ln{(z)} \\ G &= \ln{(e^{\beta \mu})} \\ G &= \ln{(e^{\beta (0)})} \\ G &= \ln{1} \\ G &= 0 \end{align*} }$$

• Entropía 

$${\large \begin{align*} G &= U + PV - TS \\ 0 &= U + \frac{1}{3}U - TS \\ TS &= \frac{4}{3}U \\ S &= \frac{4U}{3T} \end{align*} }$$

• Ecuación de Estado

$${\large \begin{align*} PV &= \frac{1}{3}U \\ PV &= \frac{\varsigma(4)}{\varsigma(3)}Nk_{B}T \end{align*} }$$

• Fugacidad

$${\large \begin{align*} z &= e^{\beta \mu} \\ z &= e^{\beta (0)} \\ z &= 1 \end{align*} }$$

• Energía de Helmholtz

$${\large \begin{align*} F &= U - TS \\ F &= U - T\left( \frac{4U}{3T} \right) \\ F &= U - \frac{4}{3}U \\ F &= -\frac{1}{3}U \end{align*} }$$

• Potencial Macro Canónico

$${\large \begin{align*} \Phi &= U - TS - \sum_{i}\mu_{i}N_{i} \\ \Phi &= U - TS - \sum_{i}(0)N_{i} \\ \Phi &= U - TS  \\ \Phi &= U - T\left( \frac{4U}{3T} \right) \\ \Phi &= U - \frac{4}{3}U \\ \Phi &= -\frac{1}{3}U \end{align*} }$$

• Capacidad Calorífica a Volumen Constante

$${\large \begin{align*} C_{V} &= \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V} \\ C_{V} &= \left(\frac{\partial }{\partial T} \left( \frac{V \pi^2 k_{B}^4 T^4}{ 15 \hbar^3 c^3} \right) \right)_{V} \\ C_{V} &= \frac{4 V \pi^2 k_{B}^4 T^3}{ 15 \hbar^3 c^3} \end{align*} }$$

Radiación de Cuerpo Negro

Una aplicación del gas de fotones es la radiación de cuerpo negro la cual es analizada con la ley de Planck, la cual es deducida a partir de la energía interna del gas de fotones respectivamente.

Ley de Planck

Para obtener la ley de Planck se tiene que partir de la energía interna del gas de fotones respectivamente

• Deducción en función de su frecuencia

Partiendo de la densidad volumétrica de energía interna

$${\large \begin{align*} \frac{U}{V} &= \frac{\hbar c}{\pi^2} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{ k^3 }{e^{\beta \hbar ck} - 1} \right)dk \end{align*} }$$

Realizando un cambio de variable.

$${\large \begin{equation*} k = \frac{2\pi \nu}{c} \hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} dk = \frac{2\pi d\nu}{c} \end{equation*}}$$

Reemplazando la nueva variable

$${\large \begin{align*}\frac{U}{V} = \frac{8h\pi}{c^3} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{ \nu^3 }{e^{\frac{h\nu}{k_{B}T}} - 1} \right)d\nu \\ u_{\nu}(T, \nu) = \frac{8h\pi}{c^3}\left( \frac{\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{k_{B}T}} - 1} \right) \end{align*} }$$

• Deducción en función de su longitud de onda

Partiendo de la densidad volumétrica de energía interna

$${\large \begin{align*} \frac{U}{V} &= \frac{\hbar c}{\pi^2} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{ k^3 }{e^{\beta \hbar ck} - 1} \right)dk \end{align*}}$$

Realizando un cambio de variable.

$${\large \begin{equation*} k = \frac{2\pi}{\lambda} \hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} dk = -\frac{2\pi d\lambda}{\lambda^2} \end{equation*} }$$

Reemplazando la nueva variable

$${\large \begin{align*} \frac{U}{V} = 8hc\pi \int_{\infty}^{0} \left( \frac{ \lambda^{-5} }{e^{\frac{hc}{\lambda k_{B}T}} - 1} \right)d\lambda \\ u_{\lambda}(T, \lambda) = \frac{8hc\pi}{\lambda^5}\left( \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_{B}T}} - 1} \right) \end{align*}}$$

Ley de Stefan Boltzmann

Partiendo de la ley de Planck e integrando desde 0 hasta infinito se obtiene la famosa ley de Stefan Boltzmann

• Integrando en función de su frecuencia

Integrando la ley de Planck

$${\large \begin{align*} P &= \int_{0}^{\infty}(u_{\nu}(T, \nu))d\nu \\ P &=  \frac{8h\pi}{c^3}\int_{0}^{\infty} \left( \frac{\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{k_{B}T}} - 1} \right)d\nu \end{align*}}$$

Realizando un cambio de variable

$${\large \begin{equation*} t = \frac{h\nu}{k_{B}T}  \hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} dt = \frac{hd\nu}{k_{B}T} \end{equation*} }$$

Reemplazando la nueva variable

$${\large \begin{align*} P &=  \frac{8\pi k_{B}^4T^4}{h^3c^3}\int_{0}^{\infty} \left( \frac{t^3}{e^t - 1} \right)dt \end{align*} }$$

Haciendo uso de la transformada de Mellin

$${\large \begin{align*} P &=  \frac{8\pi k_{B}^4T^4}{h^3c^3}\mathcal{M}\left\lbrace \frac{1}{e^t - 1} \right\rbrace(4) \\ P &= \frac{8\pi k_{B}^4T^4}{h^3c^3} \Gamma(4)\varsigma(4) \\ P &= \frac{8\pi^5 k_{B}^4T^4}{15h^3c^3} \end{align*} }$$

• Integrando en función de su longitud de onda

Integrando la ley de Planck 

$${\large \begin{align*} P &= \int_{0}^{\infty}(u_{\lambda}(T, \nu))d\lambda \\ P &= 8hc\pi  \int_{0}^{\infty} \left( \frac{\lambda^{-5}}{e^{\frac{hc}{\lambda k_{B}T}} - 1} \right)d\lambda \end{align*}}$$

Realizando un cambio de variable

$${\large \begin{equation*} t = \frac{hc}{\lambda k_{B}T} \hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} dt = -\frac{hcd\lambda}{\lambda^{2} k_{B}T} \end{equation*} }$$

Reemplazando la nueva variable

$${\large \begin{align*} P &=  \frac{8\pi k_{B}^4T^4}{h^3c^3}\int_{0}^{\infty} \left( \frac{t^3}{e^t - 1} \right)dt \end{align*} }$$

Haciendo uso de la transformada de Mellin

$${\large \begin{align*} P &=  \frac{8\pi k_{B}^4T^4}{h^3c^3}\mathcal{M}\left\lbrace \frac{1}{e^t - 1} \right\rbrace(4) \\ P &= \frac{8\pi k_{B}^4T^4}{h^3c^3} \Gamma(4)\varsigma(4) \\ P &= \frac{8\pi^5 k_{B}^4T^4}{15h^3c^3} \end{align*} }$$

Ley del Desplazamiento de Wien

La ley del desplazamiento de Wien busca encontrar el máximo de la ley de Planck ya sea en función de su longitud de onda y su frecuencia respectivamente.

• Longitud de onda máxima

Usando el criterio de máximo para la ley de Planck

$${\large \begin{align*} 0 &= \frac{\partial u_{\lambda, T}}{\partial \lambda} \\ 0 &= \frac{\partial}{\partial \lambda}\left( u_{\lambda}(T, \lambda) = \frac{8hc\pi}{\lambda^5}\left( \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_{B}T}} - 1} \right) \right) \\ 0 &= 8hc\pi\left[ \frac{\lambda^{-7} e^{\frac{hc}{Tk_{B}\lambda}} - 5\lambda^{-6}(e^{\frac{hc}{Tk_{B}\lambda} }-1)}{(e^{\frac{hc}{Tk_{B}\lambda}}-1)^2} \right]  \\ 0 &= \lambda^{-1} e^{\frac{hc}{Tk_{B}\lambda}} - 5(e^{\frac{hc}{Tk_{B}\lambda} }-1) \\ \frac{hc}{Tk_{B}\lambda} &= 5(e^{\frac{hc}{Tk_{B}\lambda} }-1) \end{align*}}$$

Si definimos ${\large x = \frac{hc}{Tk_{B}\lambda}}$. Por consiguiente

$${\large \begin{align*} x &= 5(1 - e^{-x}) \end{align*}}$$

Como el valor de x no se puede calcular de forma directa entonces hacemos una aproximación a ${\large x \approx 4.9651 }$

Por lo tanto la longitud de onda máxima es:

$$ {\large \begin{align*} x &= \frac{hc}{Tk_{B}\lambda} \\ \lambda &= \frac{hc}{Tk_{B}x} \\ \lambda_{max} &= \frac{2.89 \times 10^{-3} m K}{T} \end{align*}} $$