Consideremos a continuación una barrera de potencial mostrada en la figura, donde V(x) es el potencial
- Condición de Frontera 1
$${\large \begin{align*} \Psi_{I}(0) =& \Psi_{II}(0) \\ \frac{d\Psi_{I}(0)}{dx} =& \frac{d\Psi_{II}(0)}{dx} \end{align*} }$$
- Condición de Frontera 2
$${\large \begin{align*} \Psi_{II}(a) =& \Psi_{III}(a) \\ \frac{d\Psi_{II}(a)}{dx} =& \frac{d\Psi_{III}(a)}{dx} \end{align*} }$$
Después de analizar las condiciones de frontera de la ecuación de Schrondinger tenemos las siguientes ecuaciones siguientes:
$${\large \begin{align*} 2iK_1A =& (q + iK_1)F - (q - iK_1)G \\ Ce^{ik_1a} =& \frac{2q}{q - ik_1}Ge^{-qa} \\ F =& \frac{q + ik_1}{q - ik_1}Ge^{-2qa} \end{align*} }$$
De las ecuaciones anteriores obtenemos las constantes A, G y F en función de la constante C:
$${\large \begin{align*} A =& \frac{1}{2}\left[ \left( 1 - \frac{qi}{K_1} \right)F + \left( 1 + \frac{qi}{K_1} \right)G \right] \\ G =& \frac{\left( 1 + \frac{qi}{K_1} \right)Ce^{iK_1a}e^{qa}}{\frac{2qi}{K_1}} \\ F =& -\frac{\left( 1 - \frac{qi}{K_1} \right)Ce^{iK_1a}e^{-qa}}{\frac{2qi}{K_1}} \end{align*} }$$
Ahora reemplazando G y F en A
$${\large \begin{align*} A =& \frac{1}{2}\left[ \left( 1 - \frac{qi}{K_1} \right)F + \left( 1 + \frac{qi}{K_1} \right)G \right] \\ A =& \frac{1}{2}\left[ - \frac{\left( 1 - \frac{qi}{K_1} \right)^2Ce^{iK_1a}e^{-qa} }{\frac{2qi}{K_1}} + \frac{\left( 1 + \frac{qi}{K_1} \right)^2Ce^{iK_1a}e^{qa}}{\frac{2qi}{K_1}} \right] \\ A =& \frac{Ce^{iK_1a} \left[ \left( 1 + \frac{qi}{K_1} \right)^2e^{qa} - \left( 1 - \frac{qi}{K_1} \right)^2e^{-qa}\right]}{\frac{4qi}{K_1}} \\ A =& \frac{Ce^{iK_1a} \left[ \left( 1 - \frac{q^2}{{K_1}^2} \right) (e^{qa} - e^{-qa}) + \frac{2qi}{K_1}(e^{qa} + e^{-qa}) \right ]}{\frac{4qi}{K_1}} \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm}(1) \end{align*} }$$
Recordando las funciones hiperbólicas:
$${\large \begin{align} \frac{e^{qa} - e^{-qa}}{2} = \sinh{(qa)} \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm} (2) \\ \frac{e^{qa} + e^{-qa}}{2} =\cosh{(qa)} \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm} (3)\end{align}}$$
Ahora reemplazamos (2) y (3) en la ecuación (1)
$${\large \begin{align*} A =& \frac{Ce^{iK_1a} \left[ \left( 1 - \frac{q^2}{{K_1}^2} \right) (e^{qa} - e^{-qa}) + \frac{2qi}{K_1}(e^{qa} + e^{-qa}) \right ]}{\frac{4qi}{K_1}} \\ A =& \frac{-Ce^{iK_1a} \left[ \left( 1 - \frac{q^2}{{K_1}^2} \right) \sinh{(qa)} + \frac{2qi}{K_1}\cosh{(qa)} \right ]i}{\frac{2q}{K_1}} \\ |A| =& \frac{|C| \left[ \left( 1 - \frac{q^2}{{K_1}^2} \right) \sinh{(qa)} + \left(\frac{2q}{K_1}\right)\cosh{(qa)} \right ]}{\frac{2q}{K_1}} \\ |A|^2 =& \frac{|C|^2 \left[ \left( 1 - \frac{q^2}{{K_1}^2} \right)^2 \sinh^2{(qa)} + \left(\frac{2q}{K_1}\right)^2\cosh^2{(qa)} \right ]}{\frac{4q^2}{{K_1}^2}} \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm}(4) \end{align*}}$$
Recordando la ecuación fundamental de las funciones hiperbólicas
$${\large \begin{equation} \cosh^2{(qa)} - \sinh^2{(qa)} = 1 \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm}(5) \end{equation}}$$
Por consiguiente reemplazando (5) en la ecuación (4) tenemos:
$${\large \begin{align*} |A|^2 =& \frac{|C|^2 \left[ \left( 1 - \frac{q^2}{{K_1}^2} \right)^2 \sinh^2{(qa)} + \left(\frac{2q}{K_1}\right)^2\cosh^2{(qa)} \right ]}{\frac{4q^2}{{K_1}^2}} \\ |A|^2 =& \frac{|C|^2 \left[ \left( 1 - \frac{q^2}{{K_1}^2} \right)^2 \sinh^2{(qa)} + \left(\frac{2q}{K_1}\right)^2(1 + \sinh^2{(qa)}) \right ]}{\frac{4q^2}{{K_1}^2}} \\ |A|^2 =& \frac{|C|^2 \left[ \left( 1 + \frac{q^2}{{K_1}^2} \right)^2 \sinh^2{(qa)} + \left(\frac{2q}{K_1}\right)^2 \right ]}{\frac{4q^2}{{K_1}^2}} \\ |A|^2 =& |C|^2 \left[\left(\frac{K_1}{2q}\right)^2 \left( 1 + \frac{q^2}{{K_1}^2} \right)^2 \sinh^2{(qa)} + 1\right ] \\ \frac{|C|^2}{|A|^2} =& \frac{1}{1 + \left(\frac{K_1}{2q}\right)^2 \left( 1 + \frac{q^2}{{K_1}^2} \right)^2 \sinh^2{(qa)}} \\ \end{align*}}$$
- Coeficiente de Transmisión
$${\large \begin{equation*} T = \frac{|C|^2}{|A|^2} = \frac{1}{1 + \left(\frac{K_1}{2q}\right)^2 \left( 1 + \frac{q^2}{{K_1}^2} \right)^2 \sinh^2{(qa)}} \end{equation*} }$$
Como $K_1 = \sqrt{\frac{2mE}{h^2}}$ y $q = \sqrt{\frac{2m(V_0 - E)}{h^2}}$ entonces reemplazando en la ecuación de T tenemos lo siguiente
$${\large \begin{align*} T =& \frac{1}{1 + \left(\frac{K_1}{2q}\right)^2 \left( 1 + \frac{q^2}{{K_1}^2} \right)^2 \sinh^2{(qa)}} \\ T =& \frac{1}{1 + \frac{{V_0}^2}{4E(V_0 - E)}\sinh^2{\left(\sqrt{\frac{2m(V_0 - E)}{h^2}}a\right)} } \end{align*}}$$
- Coeficiente de Reflexión
$${\large \begin{equation*} R = 1 - T = \frac{1}{1 + \left(\frac{2q}{{K_1}}\right)^2\left( \frac{{K_1}^2}{{K_1}^2 + q^2} \right)^2 \frac{1}{\sinh^2{(qa)}}} \end{equation*} }$$
Como $K_1 = \sqrt{\frac{2mE}{h^2}}$ y $q = \sqrt{\frac{2m(V_0 - E)}{h^2}}$ entonces reemplazando en la ecuación de R tenemos lo siguiente
$${\large \begin{align*} R =& \frac{1}{1 + \left(\frac{2q}{{K_1}}\right)^2\left( \frac{{K_1}^2}{{K_1}^2 + q^2} \right)^2 \frac{1}{\sinh^2{(qa)}}} \\ R =& \frac{1}{ 1 + \frac{4(V_0 - E)E}{{V_0}^2} \frac{1}{\sinh^2{\left(\sqrt{\frac{2m(V_0 - E)}{h^2}}a\right)}}} \end{align*} }$$
Comentarios
Publicar un comentario