Las series p son un tipo de serie que tienen la siguiente ecuación:
$${\large \begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \frac{1}{4^p} + \frac{1}{5^p} + \cdots + \frac{1}{n^p} \right) \end{equation} }$$
El criterio de convergencia de la serie p esta dada en función de p
- p $\leq$1 es divergente
- p > 1 es convergente
La convergencia y divergencia de las series p puede demostrarse usando limites y el teorema fundamental del calculo respectivamente.
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| Series p para algunos valores de p |
Serie P = 2
La serie p = 2 es también conocido el problema de Basilea fue un problema famoso del siglo XVIII que consistía en encontrar la suma exacta de los inversos de los cuadrados de los enteros positivos, esto es, la suma exacta de la serie infinita:
$${\large \begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots + \frac{1}{n^2} \right) = \frac{\pi^2}{6} \end{equation} }$$
Una demostración de este problema es posible usando la serie de Fourier. Por consiguiente procedemos a encontrar los coeficientes de la serie de Fourier para la función periódica f(x) = $x^2$ $\hspace{0.2cm},\hspace{0.2cm}$ $-\pi < x < \pi$ con periodo igual a T = $2\pi$
- Coeficiente $a_{0}$ de Fourier
$${\large \begin{align*} a_{0} &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}(f(x))dx \\ a_{0} &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left( x^2 \right)dx \\ a_{0} &= \frac{1}{\pi}\left( \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-\pi}^{\pi} \right) \\ a_{0} &= \frac{2\pi^2}{3} \end{align*} }$$
- Coeficiente $a_{n}$ de Fourier
$${\large \begin{align*} a_{n} &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\left( f(x)\cdot \cos{\left( \frac{2n\pi x}{T} \right)} \right)dx \\ a_{n} &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left( x^2 \cdot \cos{\left( nx \right)} \right) dx \\ a_{n} &= \left. \frac{1}{\pi} \left( \frac{2x\cos{(nx)}}{n^2} + \frac{(n^2 x^2 - 2)\sin{(nx)}}{n^3} \right) \right|_{-\pi}^{\pi} \\ a_{n} &= \frac{4(-1)^n}{n^2} \end{align*} }$$
- Coeficiente $b_{n}$ de Fourier
$${\large \begin{align*} b_{n} &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\left( f(x)\cdot \sin{\left( \frac{2n\pi x}{T} \right)} \right)dx \\ b_{n} &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left( x^2 \cdot \sin{\left( nx \right)} \right) dx \\ b_{n} &= \left. \frac{1}{\pi} \left( \frac{2x\sin{(nx)}}{n^2} + \frac{(2 - n^2 x^2 )\cos{(nx)}}{n^3} \right) \right|_{-\pi}^{\pi} \\ b_{n} &= 0 \end{align*}}$$
Por consiguiente la serie de fourier de la función periódica f(x) es la siguiente ecuación respectiva.
$${\large \begin{align*} f(x) &= \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_{n}\cos{\left( \frac{2n\pi x}{T}\right)} + b_{n}\sin{\left( \frac{2n\pi x}{T} \right)} \right] \\ f(x) &= \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{4(-1)^n \cos{\left( nx \right)} }{n^2} \right] \\ f(x) &= \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n \cos{\left( nx \right)}}{n^2} \right] \end{align*} }$$
Si analizamos la función f(x) en el punto $x = \pi$
$${\large \begin{align*} f(\pi) &= \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n \cos{\left( n\pi \right)}}{n^2} \right] \\ \pi^2 &= \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n (-1)^n}{n^2} \right] \\ \frac{\pi^2}{6} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{1}{n^2} \right] \\ \frac{\pi^2}{6} &= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots + \frac{1}{n^2} \right) \end{align*} }$$
Serie P = 4
La serie p = 4 es usada para demostrar la ley de Stefan - Boltzmann. No obstante su demostración parte de la serie de Fourier de la parábola respectivamente, esto es la suma exacta de la serie infinita:
$${\large \begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{81} + \frac{1}{256} + \frac{1}{625} + \cdots + \frac{1}{n^4} \right) = \frac{\pi^4}{90} \end{equation} }$$
Por consiguiente:
$${\large \begin{align*} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}|f(x)|^2 dx &= \frac{a_{0}^{2}}{4} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}^{2} + b_{n}^{2} \right] \\ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4 dx &= \frac{\pi^4}{9} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{16}{n^4} \right] \\ \frac{\pi^4}{5} &= \frac{\pi^4}{9} + 8\sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{1}{n^4} \right] \\ \frac{\pi^4}{90} &= \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{1}{n^4} \right] \\ \frac{\pi^4}{90} &= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{81} + \frac{1}{256} + \frac{1}{625} + \cdots + \frac{1}{n^4} \right) \end{align*} }$$
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