Una curva loxodrómica es una curva espacial que tiene la propiedad de que forma un angulo constante con los meridianos de la superficie de revolución en cuestión.
$$ {\large \begin{equation*} S(u, v) = (f(u)\cos{v}, f(u)\sin{v}, h(u)) \end{equation*}} $$
Donde:
${\large [u, v]} = {\large \mathbb{R}} \times {\large [0, 2\pi]}$
 |
| Curva Loxodrómica de una Esfera de Radio 1 |
Un meridiano de una superficie de revolución es la curva en la cual la variable v es igual a una constante respectivamente. Por consiguiente sean las ecuaciones de la curva loxodrómica ${\large \gamma(t)}$ y el meridiano ${\large \alpha(t)}$ presente en la superficie de revolución son las siguientes:
$$ {\large \begin{align*} \gamma(t) &= S(u_{\gamma}(t), v_{\gamma}(t)) \\ \alpha(t) &= S(u_{\alpha}(t), v_{\alpha}(t)) \end{align*}} $$
Partiendo de la formula del ángulo entre curvas en una superficie.
$${\large \begin{align*} \cos{\phi} = \frac{E\left(\frac{du_{\gamma}}{dt}\frac{du_{\alpha}}{dt}\right) + F\left(\frac{di_{\gamma}}{dt}\frac{dv_{\alpha}}{dt} + \frac{du_{\alpha}}{dt}\frac{dv_{\gamma}}{dt}\right) + G\left(\frac{dv_{\gamma}}{dt}\frac{dv_{\alpha}}{dt}\right)}{\sqrt{E\left( \frac{du_{\gamma}}{dt} \right)^2 + F \left( \frac{du_{\gamma}}{dt}\frac{dv_{\gamma}}{dt} \right) + G\left( \frac{dv_{\gamma}}{dt} \right)^2 } \cdot \sqrt{E\left( \frac{du_{\alpha}}{dt} \right)^2 + F \left( \frac{du_{\alpha}}{dt}\frac{dv_{\alpha}}{dt} \right) + G\left( \frac{dv_{\alpha}}{dt} \right)^2}}\end{align*}}$$
Donde:
$$ {\large \begin{align*} \frac{du_{\alpha}}{dt} &= \frac{du_{m}}{dt} & \frac{du_{\gamma}}{dt} &= \frac{du}{dt} \\ \frac{dv_{\alpha}}{dt} &= 0 & \frac{dv_{\gamma}}{dt} &= \frac{dv}{dt} \end{align*}} $$
Reemplazando las ecuaciones anteriores en la ecuación del ${\large \cos{\phi}}$ obtenemos:
$${\large \begin{align*} \cos{\phi} &= \frac{E\left(\frac{du_{\gamma}}{dt}\frac{du_{\alpha}}{dt}\right) + F\left(\frac{di_{\gamma}}{dt}\frac{dv_{\alpha}}{dt} + \frac{du_{\alpha}}{dt}\frac{dv_{\gamma}}{dt}\right) + G\left(\frac{dv_{\gamma}}{dt}\frac{dv_{\alpha}}{dt}\right)}{\sqrt{E\left( \frac{du_{\gamma}}{dt} \right)^2 + F \left( \frac{du_{\gamma}}{dt}\frac{dv_{\gamma}}{dt} \right) + G\left( \frac{dv_{\gamma}}{dt} \right)^2 } \cdot \sqrt{E\left( \frac{du_{\alpha}}{dt} \right)^2 + F \left( \frac{du_{\alpha}}{dt}\frac{dv_{\alpha}}{dt} \right) + G\left( \frac{dv_{\alpha}}{dt} \right)^2}} \\ \cos{\phi} &= \frac{E \frac{du}{dt} \frac{du_{m}}{dt}}{\sqrt{E}\frac{d_{m}}{dt}\sqrt{E\left( \frac{du}{dt} \right)^2 + G\left( \frac{dv}{dt} \right)^2} } \\ \cos{\phi} &= \frac{\sqrt{E}\frac{du}{dt}}{\sqrt{E\left( \frac{du}{dt} \right)^2 + G\left( \frac{dv}{dt} \right)^2}} \end{align*}}$$
Si definimos ${\large \beta = \cos{\phi}}$. Por consiguiente
$${\large \begin{align*} \beta &= \frac{\sqrt{E}\frac{du}{dt}}{\sqrt{E\left( \frac{du}{dt} \right)^2 + G\left( \frac{dv}{dt} \right)^2}} \\ \beta^2 &= \frac{E\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E\left( \frac{du}{dt} \right)^2 + G\left( \frac{dv}{dt} \right)^2} \\ E\left( \frac{du}{dt} \right)^2(1-\beta^2) &= \beta^2 G \left( \frac{dv}{dt}\right)^2 \\ \left(\frac{dv}{du}\right)^2 &= \frac{E(1-\beta^2)}{\beta^2 G} \\ \frac{dv}{du} &= \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta}\sqrt{\frac{E}{G}} \\ v &= \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta}\int \left( \sqrt{\frac{E}{G}} \right)du \\ v &= \tan{\phi} \int \left( \sqrt{\frac{E}{G}} \right)du \end{align*}}$$
- Cilindro Circular de Radio R
La ecuación de la superficie del cilindro circular de radio R es:
$${\large \begin{equation*} S(u,v) = (R\cos{v}, R\sin{v}, u) \end{equation*} }$$
La ecuación de su curva loxodrómica es:
$$ {\large \begin{equation*} \gamma(t)= \left\{ \begin{array}{lcc} x(t) = R\cos{(t \tan{\phi})} \\ y(t) = R\sin{(t \tan{\phi})} \\ z(t) = t \\ \end{array} \right. \end{equation*}} $$
 |
| Curva Loxodrómica del Cilindro con radio 1 |
- Cono Circular de Radio R
La ecuación de la superficie del cono circular de radio R es:
$${\large \begin{equation*} S(u,v) = (uR\cos{v}, uR\sin{v}, u) \end{equation*} }$$
La ecuación de su curva loxodrómica es:
$$ {\large \begin{equation*} \gamma(t)= \left\{ \begin{array}{lcc} x(t) = tR\cos{\left(\tan{\phi}\sqrt{R + 1/R}\ln{|t|}\right)} \\ y(t) = tR\sin{\left(\tan{\phi}\sqrt{R + 1/R}\ln{|t|}\right)} \\ z(t) = t \\ \end{array} \right. \end{equation*}} $$
 |
| Curva Loxodrómica de un Cono de radio 1 |
- Catenoide
La ecuación de la superficie del Catenoide es:
$${\large \begin{equation*} S(u,v) = (b\cosh{(u/b)}\cos{v}, b\cosh{(u/b)}\sin{v}, u) \end{equation*} }$$
La ecuación de su curva loxodrómica es:
$$ {\large \begin{equation*} \gamma(t)= \left\{ \begin{array}{lcc} x(t) = b\cosh{(t/b)}\cos{\left((t/b)\tan{\phi}\right)} \\ y(t) = b\cosh{(t/b)}\sin{\left((t/b)\tan{\phi}\right)} \\ z(t) = t \\ \end{array} \right. \end{equation*}} $$
 |
| Curva Loxodrómica en un Catenoide de ancho igual a 2.5 |
- Esfera de radio R
La ecuación de la superficie de la esfera de radio R es:
$${\large \begin{equation*} S(u,v) = (R\sin{u}\cos{v}, R\sin{u}\sin{v}, R\cos{u}) \end{equation*} }$$
La ecuación de su curva loxodrómica es:
$$ {\large \begin{align*} \gamma (t) &= \left\{ \begin{array}{lcc} x(t) = R\cos{\left( \tan{\phi} \ln{\left| \tan{\left( \frac{t}{2} \right)} \right|} \right)}\sin{t} \\ y(t) = R\sin{\left(\tan{\phi} \ln{\left| \tan{\left( \frac{t}{2} \right)} \right|} \right) } \sin{t} \\ z(t) = R\cos{t} \end{array} \right. \end{align*}} $$
 |
| Curva Loxodrómica de una Esfera de radio 1 |
- Pseudoesfera de radio R
La ecuación de la superficie de la esfera de radio R es:
$${\large \begin{equation*} S(u,v) = \left(\frac{R\cos{v}}{\cosh{u}}, \frac{R\sin{v}}{\cosh{u}}, R(u-\tanh{u}) \right) \end{equation*} }$$
La ecuación de su curva loxodrómica es:
$$ {\large \begin{equation*} \gamma(t)= \left\{ \begin{array}{lcc} x(t) = Rsech(t)\cos{(\tan{\phi}\cosh{t})} \\ y(t) = Rsech(t)\sin{(\tan{\phi}\cosh{t})} \\ z(t) = R(t-\tanh{t}) \\ \end{array} \right. \end{equation*}} $$
 |
| Curva Loxodrómica de una Pseudoesfera de radio 1 |
- Toroide de Sección Circular
La ecuación de la superficie del toroide es:
$${\large \begin{equation*} S(u,v) = \left( (R+r\cos{u})\cos{v}, (R+r\cos{u})\sin{v}, r\sin{u} \right) \end{equation*}} $$
La ecuación de la curva loxodrómica es:
$$ {\large \begin{equation*} \gamma(t)= \left\{ \begin{array}{lcc} x(t) = (R+r\cos{t})\cos{\left( \frac{2\tan{\phi}}{\sqrt{R^2 - r^2}} \arctan{\left( \sqrt{\frac{R-r}{R+r}}\tan{(t/2)} \right)} \right)} \\ y(t) = (R+r\cos{t})\sin{\left( \frac{2\tan{\phi}}{\sqrt{R^2 - r^2}} \arctan{\left( \sqrt{\frac{R-r}{R+r}}\tan{(t/2)} \right)} \right)} \\ z(t) = r\sin{t} \\ \end{array} \right. \end{equation*}} $$
 |
| Curva Loxodrómica de un Toroide de sección circular de radios r = 2 y R = 7 |
- Paraboloide Circular
La ecuación de la superficie del paraboloide circular es:
$${\large \begin{equation*} S(u,v) = (u\cos{v}, u\sin{v}, u^2) \end{equation*} }$$
La ecuación de su curva loxodrómica es:
$$ {\large \begin{equation*} \gamma(t)= \left\{ \begin{array}{lcc} x(t) = t\cos{\left(\tan{\phi}\sqrt{4t^2 + 1} + \frac{\tan{\phi}}{2}\ln{\left( \frac{\sqrt{4t^2 + 1} - 1}{\sqrt{4t^2 + 1} - 1}\right)} \right)} \\ y(t) = t\sin{\left(\tan{\phi} \sqrt{4t^2 + 1} + \frac{\tan{\phi}}{2}\ln{\left( \frac{\sqrt{4t^2 + 1} - 1}{\sqrt{4t^2 + 1} - 1}\right)} \right)} \\ z(t) = t^2 \\ \end{array} \right. \end{equation*}} $$
 |
| Curva Loxodrómica de un Paraboloide Circular |
Comentarios
Publicar un comentario