Deducción del Catenoide como Superficie Mínima de Revolución

Una superficie de revolución esta dada por la siguiente parametrización respectiva.

$$ {\large \begin{align*} S(u,v) &= (f(u)\cos{v}, f(u)\sin{v}, h(u)) \end{align*}} $$

Donde la primera forma fundamental y la segunda forma fundamental son las siguientes:

$$ {\Large \begin{align*} I(u,v) &= \begin{bmatrix} \left( \frac{df}{du} \right)^2 + \left( \frac{dh}{du} \right)^2 & 0 \\ 0 & f^2 \end{bmatrix} \\ \\ II(u,v) &= \begin{bmatrix} \frac{\frac{d^2h}{du^2}\frac{df}{du} - \frac{d^2f}{du^2}\frac{dh}{du}}{\sqrt{ \left( \frac{dh}{du} \right)^2 + \left( \frac{df}{du} \right)^2 }} & 0 \\ 0 & \frac{f\frac{dh}{du}}{\sqrt{ \left( \frac{dh}{du} \right)^2 + \left( \frac{df}{du} \right)^2}} \end{bmatrix} \end{align*}} $$

Por definición de curvatura media

$$ {\large \begin{align*} H(u,v) &= \frac{EN-2FM-GL}{2(EG-F^2)} \\ H(u,v) &= \frac{\frac{dh}{du}\left( \left( \frac{dh}{du} \right)^2 + \left( \frac{df}{du} \right)^2 \right) + f\left( \frac{d^2h}{du^2}\frac{df}{du} - \frac{d^2f}{du^2}\frac{dh}{du} \right)  }{2f\left( \left( \frac{dh}{du} \right)^2 + \left( \frac{df}{du} \right)^2 \right)^{3/2}} \end{align*}} $$

Una superficie es  mínima siempre y cuando su curvatura media sea igual a cero. Por lo cual. 

$$ {\large \begin{align*} 0 &= \frac{\frac{dh}{du}\left( \left( \frac{dh}{du} \right)^2 + \left( \frac{df}{du} \right)^2 \right) + f\left( \frac{d^2h}{du^2}\frac{df}{du} - \frac{d^2f}{du^2}\frac{dh}{du} \right)  }{2f\left( \left( \frac{dh}{du} \right)^2 + \left( \frac{df}{du} \right)^2 \right)^{3/2}} \\ 0 &= \frac{dh}{du}\left( \left( \frac{dh}{du} \right)^2 + \left( \frac{df}{du} \right)^2 \right) + f\left( \frac{d^2h}{du^2}\frac{df}{du} - \frac{d^2f}{du^2}\frac{dh}{du} \right) \hspace{2.5cm}...\hspace{0.2cm} (0) \end{align*}} $$

Si suponemos que la superficie de revolución es originada por una función f = h(u) entonces la ecuación (0) toma la siguiente forma:

$${\large \begin{align*} 0 &= \frac{dh}{du}\left( \left( \frac{dh}{du} \right)^2 + \left( \frac{df}{du} \right)^2 \right) + f\left( \frac{d^2h}{du^2}\frac{df}{du} - \frac{d^2f}{du^2}\frac{dh}{du} \right) \\ 0 &= 1 + \left( \frac{df}{du} \right)^2 - f\frac{d^2f}{du^2} \\ 1 &= f\frac{d^2f}{du^2} - \left( \frac{df}{du} \right)^2 \hspace{2.5cm}...\hspace{0.2cm} (1) \end{align*} }$$

Si derivamos la ecuación (1) obtenemos:

$$ {\large \begin{align*}  1 &= f\frac{d^2f}{du^2} - \left( \frac{df}{du} \right)^2 \\  0 &= \frac{df}{du}\frac{d^2f}{du^2} + f\frac{d^3f}{du^3} - 2\frac{df}{du}\frac{d^2f}{du^2} \\  f\frac{d^3f}{du^3} &= \frac{df}{du}\frac{d^2f}{du^2} \\  \frac{d^3f}{du^3}\left(\frac{df}{du}\right)^{-1} &= \frac{d^2f}{du^2}f^{-1} \hspace{2.5cm}...\hspace{0.2cm} (2) \end{align*}} $$

De la ecuación (2) podemos obtener las siguientes relaciones

$$ {\large \begin{equation*}  \frac{d^3f}{du^3} = K^2\frac{df}{du} \hspace{1cm}, \hspace{1cm} \frac{d^2f}{du^2} = K^2f \end{equation*}} $$

Reemplazando ${\large \frac{d^2f}{du^2} = K^2f}$ en la ecuación (1)

$$ {\large \begin{align*} 1 &= f\frac{d^2f}{du^2} - \left( \frac{df}{du} \right)^2 \\ 1 &= K^2f^2 - \left( \frac{df}{du} \right)^2 \\ \frac{df}{du} &= \sqrt{K^2f^2 -1} \\ u &= \int\left( \frac{1}{\sqrt{K^2f^2 -1}} \right)df  + C \end{align*}} $$

Realizando un cambio de variable

$$ {\large \begin{align*} Kf &= \sec{\theta} \\ kdf &= \sec{\theta}\tan{\theta}d\theta \end{align*}} $$

Por consiguiente:

$$ {\large \begin{align*} u &= \int\left( \frac{1}{\sqrt{K^2f^2 -1}} \right)df  + C \\ u &= \frac{1}{K}\int\left( \frac{\sec{\theta}\tan{\theta}}{\sqrt{\sec^2{\theta} - 1}} \right)d\theta  + C \\ u &= \frac{1}{K}\int\left( \frac{\sec{\theta}\tan{\theta}}{\tan{\theta}} \right)d\theta  + C \\ u &= \frac{1}{K}\int\left( \sec{\theta}\right)d\theta + C \\ u &= \frac{\ln{\left( \sec{\theta} + \tan{\theta} \right)}}{K} + C \\ u &= \frac{\ln{\left( Kf + \sqrt{K^2f^2 - 1} \right)}}{K} + C \\ K(u - C) &= \ln{\left( Kf + \sqrt{K^2f^2 - 1} \right)} \hspace{4cm}...\hspace{0.2cm} (3) \end{align*}} $$

Ahora despejamos la función f de la ecuación (3)

$$ {\large \begin{align*} K(u - C) &= \ln{\left( Kf + \sqrt{K^2f^2 - 1} \right)} \\ e^{K(u-C)} &= Kf + \sqrt{K^2f^2 - 1} \\ \sqrt{K^2f^2 - 1} &= e^{K(u-C)} - Kf \\ K^2f^2 - 1 &= e^{2K(u-C)} - 2Kfe^{K(u-C)} + K^2f^2 \\ 2Kfe^{K(u-C)} &= e^{2K(u-C)} + 1 \\ f(u) &= \frac{1}{K} \left( \frac{e^{K(u-C)} + e^{-K(u-C)}}{2} \right) \hspace{4cm}...\hspace{0.2cm} (4) \end{align*}} $$

Recordando las funciones hiperbólicas en función de las funciones exponenciales.

$$ {\large \begin{equation*} \sinh{y} = \frac{e^{y} - e^{-y}}{2} \hspace{1cm},\hspace{1cm}  \cosh{y} = \frac{e^{y} + e^{-y}}{2} \end{equation*}} $$

Por lo cual la ecuación (4) toma la siguiente forma:

$$ {\large \begin{align*} f(u) &= \frac{1}{K} \left( \frac{e^{K(u-C)} + e^{-K(u-C)}}{2} \right) \\  f(u) &= \frac{\cosh{(K(u-C))}}{K} \end{align*}} $$

Por lo tanto la superficie de revolución mínima es la "Catenoide". La Catenoide se genera al girar una catenaria alrededor de un eje fijo. La parametrización de la Catenoide esta dada por la siguiente ecuación:

$$ {\large \begin{align*} S(u,v) &= \left( \frac{\cosh{(K(u-C))} \cos{v}}{K},\hspace{0.2cm} \frac{\cosh{(K(u-C))} \sin{v}}{K},\hspace{0.2cm} u \right) \end{align*}} $$

Donde ${\large (u,v)}$ = ${\large \mathbb{R}^2}$ ${\large \times }$ ${\large [0, 2\pi]}$

Las curvaturas principales del Catenoide son las siguientes:

$$ {\large \begin{equation*} \lambda = \frac{\pm K}{1 + \sinh{(K(u-C))}} \end{equation*}} $$

La curvatura Gaussiana del Catenoide es solo la curvatura elevada al cuadrado

$$ {\large \begin{equation*} \lambda^2 = \frac{-K^2}{\left( 1 + \sinh{(K(u-C))}\right)^2} \end{equation*}} $$

Catenoide para valores de K = 1 y C =1

El Catenoide puede expresarse también como una función de dos variables, sin embargo esto solo es posible en las coordenadas cilíndricas.

$${\large \begin{align*} \rho(\theta, z) = \frac{\cosh(K(z-C)) }{K} \end{align*} }$$ 

Construcción de la Catenoide a partir de la Catenaria.