Una curva loxodrómica es una curva que forma un ángulo constante con los meridianos de la superficie correspondiente. En este caso la superficie es una esfera. Por consiguiente se busca la ecuación paramétrica de la curva loxodrómica esférica.
Como la superficie en la cual están la curva loxodrómica y el meridiano es una esfera entonces necesitamos parametrizar la superficie esférica.
$$ {\large \begin{equation*} S(\varphi, \theta) = (R\cos{\varphi}\sin{\theta}, R\sin{\varphi}\sin{\theta}, R\cos{\theta}) \end{equation*}} $$
Donde: ${\large [\varphi, \theta]}$ = ${\large[0, 2\pi]}$ $\times$ ${\large [0, \pi]}$
La primera forma fundamental de la esfera es la siguiente:
$$ {\large \begin{equation*} I(\varphi, \theta) = \begin{bmatrix} E(\varphi, \theta) & F(\varphi, \theta) \\ F(\varphi, \theta) & G(\varphi, \theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R^2\sin^2{\theta} & 0 \\ 0 & R^2 \end{bmatrix} \end{equation*}} $$
Sean las ecuaciones de la curva loxodrómica y el meridiano presentes en la superficie esférica son las siguientes:
$$ {\large \begin{align*} \gamma(t) &= (X(\varphi(t),\theta(t)), Y(\varphi(t),\theta(t)), Z(\varphi(t),\theta(t))) \\ \alpha(t) &= (Ra\sin{t}, R\sqrt{1-a^2}\sin{t}, R\cos{t}) \end{align*}} $$
Partiendo de la formula del ángulo entre curvas de una superficie.
$$ {\large \begin{align*} \cos{\phi} = \frac{E\left(\frac{d\varphi_{\gamma}}{dt}\frac{d\varphi_{\alpha}}{dt}\right) + F\left(\frac{d\varphi_{\gamma}}{dt}\frac{d\theta_{\alpha}}{dt} + \frac{d\varphi_{\alpha}}{dt}\frac{d\theta_{\gamma}}{dt}\right) + G\left(\frac{d\theta_{\gamma}}{dt}\frac{d\theta_{\alpha}}{dt}\right)} {\sqrt{E\left( \frac{d\varphi_{\gamma}}{dt} \right)^2 + F \left( \frac{d\varphi_{\gamma}}{dt}\frac{d\theta_{\gamma}}{dt} \right) + G\left( \frac{d\theta_{\gamma}}{dt} \right)^2 } \cdot \sqrt{E\left( \frac{d\varphi_{\alpha}}{dt} \right)^2 + F \left( \frac{d\varphi_{\alpha}}{dt}\frac{d\theta_{\alpha}}{dt} \right) + G\left( \frac{d\theta_{\alpha}}{dt} \right)^2}} \end{align*}} $$
Donde:
$$ {\large \begin{align*} \frac{d\varphi_{\alpha}}{dt} &= 0 \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \frac{d\varphi_{\gamma}}{dt} &= \frac{d\varphi}{dt} \\ \frac{d\theta_{\alpha}}{dt} &= 1 \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \frac{d\theta_{\gamma}}{dt} &= \frac{d\theta}{dt} \end{align*}} $$
Reemplazando las ecuaciones anteriores y la primera forma fundamental de la superficie esférica en coordenadas esféricas en la ecuación del $\cos{\phi}$ obtenemos:
$$ {\large \begin{align*} \cos{\phi} &= \frac{E\left(\frac{d\varphi_{\gamma}}{dt}\frac{d\varphi_{\alpha}}{dt}\right) + F\left(\frac{d\varphi_{\gamma}}{dt}\frac{d\theta_{\alpha}}{dt} + \frac{d\varphi_{\alpha}}{dt}\frac{d\theta_{\gamma}}{dt}\right) + G\left(\frac{d\theta_{\gamma}}{dt}\frac{d\theta_{\alpha}}{dt}\right)} {\sqrt{E\left( \frac{d\varphi_{\gamma}}{dt} \right)^2 + F \left( \frac{d\varphi_{\gamma}}{dt}\frac{d\theta_{\gamma}}{dt} \right) + G\left( \frac{d\theta_{\gamma}}{dt} \right)^2 } \cdot \sqrt{E\left( \frac{d\varphi_{\alpha}}{dt} \right)^2 + F \left( \frac{d\varphi_{\alpha}}{dt}\frac{d\theta_{\alpha}}{dt} \right) + G\left( \frac{d\theta_{\alpha}}{dt} \right)^2}} \\ \cos{\phi} &= \frac{R^2 \frac{d\theta}{dt} }{R\sqrt{R^2\sin^2{\theta} \left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2 + R^2 \left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2}} \\ \beta &= \frac{\frac{d\theta}{dt} }{\sqrt{\sin^2{\theta} \left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2 + \left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2}} \\ \left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2 &= \frac{(1-\beta^2)}{\beta^2 \sin^2{\theta}}\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 \\ \frac{d\varphi}{dt} &= \pm \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta \sin{\theta}}\frac{d\theta}{dt} \\ \end{align*}} $$
Resolviendo la ecuación diferencial obtenemos $\varphi$ en función de $\theta$ encontramos la ecuación paramétrica de la curva $\gamma (t)$ respectivamente.
$$ {\large \begin{align*} \frac{d\varphi}{dt} &= \pm \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta \sin{\theta}}\frac{d\theta}{dt} \\ \int \left( \frac{d\varphi}{dt} \right)dt &= \pm \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} \int \left( \frac{1}{\sin{\theta}} \frac{d\theta}{dt} \right)dt \\ \varphi(\theta) &= \pm \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} \int \left( \frac{1}{\sin{\theta}} \frac{d\theta}{dt} \right)dt + C \\ \varphi(\theta) &= \pm \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} \int \left( \frac{d\theta}{dt} \csc{\theta} \right)dt + C \end{align*}} $$
Realizando la integración por partes
$$ {\large \begin{align*} w &= \csc{\theta} & dz &= \frac{d\theta}{dt}dt \\ dw &= -\csc{\theta}\cot{\theta}\frac{d\theta}{dt} & z &= \theta \end{align*}} $$
Por consiguiente:
$$ {\large \begin{align*} \varphi(\theta) &= \pm \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} \int \left( \frac{d\theta}{dt} \csc{\theta} \right)dt + C \\ \varphi(\theta) &= \pm \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} \left( \theta \csc{\theta} + \int\left( \theta \csc{\theta}\cot{\theta} \right)d\theta \right) + C \end{align*}} $$
Realizando nuevamente una integración por partes
$$ {\large \begin{align*}p &= \theta & dq &= \csc{\theta}\cot{\theta} \\ dp &= d\theta & q &= -\csc{\theta} \end{align*}} $$
Por consiguiente:
$$ {\large \begin{align*} \varphi(\theta) &= \pm \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} \left( \theta \csc{\theta} + \int\left( \theta \csc{\theta}\cot{\theta} \right)d\theta \right) + C \\ \varphi(\theta) &= \pm \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} \left( \theta \csc{\theta} + \left( -\theta \csc{\theta} + \int\left( \csc{\theta} \right)d\theta \right) \right) + C \\ \varphi(\theta) &= \pm \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} \int \left( \csc{\theta} \right)d\theta + C \\ \varphi(\theta) &= \pm \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} \ln{\left| \tan{\left( \frac{\theta}{2} \right)} \right|} + C \end{align*}} $$
Si $\theta = t$. Por consiguiente la curva $\gamma(t)$ es igual a:
$$ {\large \begin{align*} \gamma (t) &= \left\{ \begin{array}{lcc} X(t) = R\cos{(\varphi(t))}\sin{(\theta(t))} \\ Y(t) = R\sin{(\varphi(t))}\sin{(\theta(t))} \\ Z(t) = R\cos{(\theta(t))} \end{array} \right. \\ \\ \gamma (t) &= \left\{ \begin{array}{lcc} X(t) = R\cos{\left(\pm \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} \ln{\left| \tan{\left( \frac{t}{2} \right)} \right|} + C \right)}\sin{t} \\ Y(t) = R\sin{\left(\pm \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} \ln{\left| \tan{\left( \frac{t}{2} \right)} \right|} + C \right) } \sin{t} \\ Z(t) = R\cos{t} \end{array} \right. \\ \\ \gamma (t) &= \left\{ \begin{array}{lcc} X(t) = R\cos{\left(\pm \tan{\phi} \ln{\left| \tan{\left( \frac{t}{2} \right)} \right|} + C \right)}\sin{t} \\ Y(t) = R\sin{\left(\pm \tan{\phi} \ln{\left| \tan{\left( \frac{t}{2} \right)} \right|} + C \right) } \sin{t} \\ Z(t) = R\cos{t} \end{array} \right. \end{align*}} $$
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| Curva Loxodrómica (negro) y El Meridiano (azul) en una Esfera de radio 1 |
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