Ecuación paramétrica de la curva de la intersección entre una esfera de radio r y un plano arbitrario en $\mathbb{R}^3$

Sea la curva plana $\gamma (t)$ la intersección entre una esfera de radio r y un plano arbitrario en $\mathbb{R}^3$:

$$ {\large \begin{equation*} \gamma (t) = \left\{ \begin{array}{lcc}             x^2 + y^2 +z^2 = r^2  \hspace{0.7cm} ;  \hspace{0.5cm} r \not= 0 \\ \\              ax + by + cz = d \hspace{0.7cm} ;  \hspace{0.5cm} a,b,c \not= 0 \\             \end{array}   \right.   \end{equation*}} $$

Despejando la variable z de la ecuación del plano la reemplazamos en la ecuación de la esfera.

$$ {\large \begin{align*} r^2 &= x^2 + y^2 + z^2 \\ r^2 &= x^2 + y^2 + \left( \frac{d - ax - by}{c} \right)^2 \\ c^2r^2 &= c^2 x^2 + c^2 y^2 + d^2 - 2d(ax+by) + (ax + by)^2 \\ c^2r^2  &= c^2 x^2 + c^2 y^2 + d^2 - 2dax - 2adby + a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2 \\ 0 &= (c^2 + a^2)x^2 + 2abxy + (c^2 + b^2)y^2 - 2dax - 2dby + d^2 -c^2r^2 \\ 0 &= \begin{bmatrix} x &  y  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c^2 + a^2 & ab \\ ab & c^2 + b^2  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y  \end{bmatrix} - 2d \cdot \begin{bmatrix} x &  y  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a \\  b \\ \end{bmatrix} + d^2 - c^2r^2  \end{align*}} $$

La forma bilineal de la parte cuadrática de la ecuación de la intersección es igual a la siguiente matriz:

$$ {\large \begin{align*} M = \begin{bmatrix} c^2 + a^2 & ab \\ ab & c^2 + b^2  \end{bmatrix}     \end{align*}} $$

Donde los valores propios y vectores propios de la matriz M son los siguientes : 

$$ {\large \begin{align*}  \lambda_{1} &= c^2 \\  \lambda_{2} &= a^2 + b^2 + c^2 \\   v_{1} &= \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \begin{bmatrix} b \\ -a \end{bmatrix} \\  v_{2} &= \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}    \end{align*}} $$

Si definimos a P como la matriz cambio de base es igual a la siguiente matriz ortogonal 

$$ {\large \begin{align*} P = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \begin{bmatrix} b & a \\ -a & b  \end{bmatrix}     \end{align*}} $$

Por consiguiente el cambio de base esta dada por la siguiente ecuación:

$$ {\large \begin{align*} B &= P\cdot B' \\ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} &= \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \begin{bmatrix} b & a \\ -a & b  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} &= \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \begin{bmatrix} bx' + ay' \\ by' - ax' \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x & y  \end{bmatrix} &= \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \begin{bmatrix} bx' + ay' & by' - ax'  \end{bmatrix}  \end{align*}} $$

Reemplazando lo anterior en la parte cuadrática obtenemos lo siguiente:

$$ {\large \begin{align*} (c^2 + a^2)x^2 + 2abxy + (c^2 + b^2)y^2 &= (c^2 + a^2)x^2 + 2abxy + (c^2 + b^2)y^2 \\ (c^2 + a^2)x^2 + 2abxy + (c^2 + b^2)y^2 &= \begin{bmatrix} x &  y  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c^2 + a^2 & ab \\ ab & c^2 + b^2  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y  \end{bmatrix} \\  (c^2 + a^2)x^2 + 2abxy + (c^2 + b^2)y^2 &= B^{T} \cdot \begin{bmatrix} c^2 + a^2 & ab \\ ab & c^2 + b^2  \end{bmatrix} \cdot B \\ (c^2 + a^2)x^2 + 2abxy + (c^2 + b^2)y^2 &= P^{T} \cdot {B'}^{T} \begin{bmatrix} c^2 + a^2 & ab \\ ab & c^2 + b^2  \end{bmatrix} \cdot P \cdot B' \\ (c^2 + a^2)x^2 + 2abxy + (c^2 + b^2)y^2 &= {B'}^{T} \cdot P^T \cdot \begin{bmatrix} c^2 + a^2 & ab \\ ab & c^2 + b^2  \end{bmatrix} \cdot P \cdot B' \\ (c^2 + a^2)x^2 + 2abxy + (c^2 + b^2)y^2 &= {B'}^{T} \cdot \begin{bmatrix} c^2 & 0 \\ 0 & a^2 + c^2 + b^2  \end{bmatrix} \cdot B' \\ (c^2 + a^2)x^2 + 2abxy + (c^2 + b^2)y^2 &= \begin{bmatrix} x' & y' \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c^2 & 0 \\ 0 & a^2 + c^2 + b^2  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} \\ (c^2 + a^2)x^2 + 2abxy + (c^2 + b^2)y^2 &= c^2 {x'}^2 + (a^2+c^2+b^2){y'}^2 \end{align*}} $$

Entonces la ecuación de la curva de intersección queda de la siguiente forma:

$$ {\large \begin{align*} 0 &= \begin{bmatrix} x &  y  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c^2 + a^2 & ab \\ ab & c^2 + b^2  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y  \end{bmatrix} - 2d \cdot \begin{bmatrix} x &  y  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} + d^2 - c^2r^2 \\ 0 &= c^2 {x'}^2 + (a^2+c^2+b^2){y'}^2 - \frac{2d\left[ a(bx' + ay') + b(by' - ax') \right]}{\sqrt{a^2 + b^2}} + d^2 - c^2r^2 \\ 0 &= c^2 {x'}^2 + (a^2+c^2+b^2){y'}^2 - \frac{2d(a^2 + b^2)y' }{\sqrt{a^2 + b^2}} + d^2 - c^2r^2 \\ 0 &= (cx')^2 + \left( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}y' - \frac{d\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{a^2 + b^2+ c^2}}  \right)^2 + \frac{c^2[d^2 - r^2(a^2 + c^2 + b^2)] }{a^2 + c^2 + b^2} \\ R^2 &= (cx')^2 + \left( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}y' - \frac{d\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{a^2 + b^2+ c^2}}  \right)^2  \end{align*}} $$

Si parametrizamos la elipse en función del parámetro t

$$ {\large \begin{align*} x' &= \frac{R\cos{t}}{c} \\ y' &= \frac{R\sqrt{a^2 + b^2+ c^2}\sin{t} + d\sqrt{a^2 + b^2}}{a^2 + b^2 + c^2} \end{align*}} $$

Volviendo a la base anterior obtenemos las coordenadas (x,y,z) en función de (x', y'). Por consiguiente:

$$ {\large \begin{align*} x &= \frac{bx' + ay'}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\ \\  y &= \frac{by' - ax'}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\ \\ z &= \frac{d - y'\sqrt{a^2 + b^2}}{c} \end{align*}} $$

Por lo tanto la curva $\large{ \gamma (t) }$ que es la intersección de una esfera de radio r y un plano arbitrario tiene la siguiente ecuación:

$$ {\Large \begin{equation*}  \gamma (t) = \left\{ \begin{array}{lcc}              x(t) = \frac{bR\cos{t}}{c\sqrt{a^2 +b^2}} + \frac{aR\sin{t}}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2 +c^2}} + \frac{ad}{a^2 + b^2 + c^2} \\ \\               y(t) = \frac{bR\sin{t}}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2 +c^2}} + \frac{bd}{a^2 + b^2 + c^2} - \frac{aR\cos{t}}{c\sqrt{a^2 +b^2}} \\ \\              z(t) = \frac{d}{c} - \frac{R\sqrt{a^2 + b^2}\sin{t}}{c\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} - \frac{d(a^2 + b^2)}{c(a^2 + b^2 +c^2)}              \end{array}    \right.    \end{equation*}} $$

Donde: 

R = c$\Large {\sqrt{\frac{(a^2 + b^2 + c^2) r^2 - d^2}{a^2 + b^2 + c^2}}}$

Hallando la curvatura de la curva $\large {\gamma (t)}$ respectivamente

$$ {\Large \begin{align*} k &= \frac{\| \frac{d\gamma (t)}{dt} \times \frac{d^2\gamma (t)}{dt^2} \|}{\| \frac{d\gamma (t)}{dt} \|^3}  \\ k &= \frac{\left\| \left( \frac{R^2}{c \sqrt{a^2+b^2+c^2} }, \frac{b R^2}{c^2 \sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{a R^2}{c^2 \sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right) \right\|}{\frac{R^3}{c^3}} \\  k &= \frac{c}{R} \end{align*}} $$

Como la curvatura es constante entonces la curva $\large {\gamma (t)}$ se trata de una circunferencia con radio igual a $R/c$  con centro en $\large {\gamma (t) + \gamma'' (t)}$

Gráfica en GeoGebra 3d de la curva de intersección entre el plano y la esfera