Ecuación Diferencial de Laguerre y Propiedades de los Polinomios de Laguerre

La ecuación diferencial de Laguerre de orden p esta dada por la siguiente Ecuación diferencial.

$${\large \begin{equation*} x \frac{d^2 y}{dx^2} + (1-x)\frac{dy}{dx} + py = 0 \end{equation*} } $$

Esta EDO se resuelve por el método de serie de potencias. Por consiguiente la función y(x) esta dada por las siguientes series infinitas:

$${\large \begin{align*} y &= \sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n} \\ \frac{dy}{dx} &= \sum_{n=1}^{\infty} [nC_{n}]x^{n-1} \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= \sum_{n=2}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-2} \end{align*}  }$$

Ahora reemplazamos las series anteriores en la ecuación diferencial de Laguerre de orden p.

$${\large \begin{align*} 0 &= x \frac{d^2 y}{dx^2} - (1-x)\frac{dy}{dx} + py \\ 0 &= x \left( \sum_{n=2}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-2}\right) + (1-x)\left( \sum_{n=1}^{\infty} [nC_{n}]x^{n-1} \right) + p\sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n} \\ 0 &= \sum_{n=2}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-1} + \sum_{n=1}^{\infty} [nC_{n}]x^{n-1} - \sum_{n=1}^{\infty} [nC_{n}]x^{n} + p\sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n} \\ 0 &= \sum_{n=1}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-1} + \sum_{n=1}^{\infty} [nC_{n}]x^{n-1} - \sum_{n=0}^{\infty} [nC_{n}]x^{n} + p\sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n} \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm}(0) \end{align*} }$$

Las series matemáticas tienen la siguiente propiedad respectiva.

$${\large \begin{equation*} \sum_{n=k}^{\infty} f(n) = \sum_{n=0}^{\infty} f(n+k) \hspace{2cm}...\hspace{0.2cm}(1) \end{equation*} }$$

Utilizando la propiedad de la ecuación (1) en la ecuación (0)

$${\large \begin{align*} 0 &= \sum_{n=1}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-1} + \sum_{n=1}^{\infty} [nC_{n}]x^{n-1} - \sum_{n=0}^{\infty} [nC_{n}]x^{n} + p\sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n} \\ 0 &= \sum_{n=0}^{\infty} [n(n+1)C_{n+1}]x^{n} + \sum_{n=0}^{\infty} [(n+1)C_{n+1}]x^{n} - \sum_{n=0}^{\infty} [nC_{n}]x^{n} + p\sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n} \\  0 &= \sum_{n=0}^{\infty} [ C_{n+1}(n+1)^2 - C_{n}(n-p) ]x^{n} \end{align*} }$$

La ecuación indicial es la siguiente

$${\large \begin{align*} 0 &= (n+1)^2C_{n+1} - (n-p)C_{n} \\ C_{n+1} &= \frac{(n-p)C_{n}}{(n+1)^2}\end{align*} }$$

Para los valores desde n=1 hasta n=7

$${\large \begin{align*} C_{1} &= (-p)C_{0} \\ C_{2} &= \frac{(1-p)(-p)}{1\cdot4}C_{0} \\ C_{3} &= \frac{(2-p)(1-p)(-p)}{1\cdot4\cdot9}C_{0} \\ C_{4} &= \frac{(3-p)(2-p)(1-p)(-p)}{1\cdot4\cdot9\cdot16}C_{0} \\ C_{5} &= \frac{(4-p)(3-p)(2-p)(1-p)(-p)}{1\cdot4\cdot9\cdot16\cdot25}C_{0} \\ C_{6} &= \frac{(5-p)(4-p)(3-p)(2-p)(1-p)(-p)}{1\cdot4\cdot9\cdot16\cdot25\cdot36}C_{0} \\ C_{7} &= \frac{(6-p)(5-p)(4-p)(3-p)(2-p)(1-p)(-p)}{1\cdot4\cdot9\cdot16\cdot25\cdot36\cdot49}C_{0} \end{align*} }$$

De los coeficientes anteriores podemos apreciar que dependen exclusivamente de la constante $C_{0}$

$${\large \begin{equation*} C_{n+1} = C_{0}\left( \frac{(-p)}{1^2} + \frac{(1-p)(-p)}{1^2 \cdot 2^2} + \frac{(2-p)(1-p)(-p)}{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2} + \cdots \right) \end{equation*} }$$

Por consiguiente la función y(x) viene dada de la siguiente forma:

$${\large \begin{equation*}y(x) = C_{0}y_{0}(x) \end{equation*} }$$

Donde la función $y_{0}$ esta dada por la siguiente serie matemática.

$${\large \begin{align*} y_{0}(x) &= \frac{(-p)}{1^2}x + \frac{(1-p)(-p)}{1^2 \cdot 2^2}x^2 + \frac{(2-p)(1-p)(-p)}{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2}x^3 + \cdots \\ y_{0}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-p)(1-p)(2-p)(3-p)\cdots(n-1-p)}{1\cdot4\cdot9\cdot16 \cdots n^2} \right]x^{n} \\ y_{0}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \prod_{m=0}^{n} \left( \frac{m -p }{(m + 1)^2} \right) \right]x^{n} \end{align*} }$$

Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial de Laguerre es igual a:

$${\large \begin{align*} y(x) &= C_{0}y_{0}(x) \\ y(x) &= C_{0}\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \prod_{m=0}^{n} \left( \frac{m -p }{(m + 1)^2} \right) \right]x^{n} \end{align*} }$$

Polinomios de Laguerre

Los polinomios de Laguerre son soluciones de la ecuación diferencial de Laguerre de grado p si y solo si cuando al ser evaluadas en x = 0 tiene el valor de 1

 

Orden p	Polinomio de grado p	$L_{p}(0)$
0	$C_{0}$	$C_{0}$
1	$C_{0}(-x + 1)$	$C_{0}$
2	$C_{0}(x^2 - 4x + 2)/2$	$C_{0}$
3	$C_{0}(-x^3 + 9x^2 - 18x + 6)/6$	$C_{0}$
4	$C_{0}(x^4 - 16x^3 + 72x^2 - 96x + 24)/24$	$C_{0}$
5	$C_{0}(-x^5 + 25x^4 - 200x^3 + 600x^2 - 600x + 120)/120$	$C_{0}$
6	$C_{0}(x^6 - 36x^5 + 450x^4 - 1920x^3 + 5400x^2 - 4320x +720)/720$	$C_{0}$
7	$C_{0}(-x^7 + 49x^6 - 882x^5 + 7350x^4 - 29400x^3 + 5400x^2 - 52920x + 5040)/5040$	$C_{0}$

Si el coeficiente $C_{0}$ es igual a 1 entonces obtenernos los polinomios de Laguerre respectivamente.

Orden p	Polinomio de Laguerre de grado p	$L_{p}(0)$
0	$1$	$L_{0}(0) = 1$
1	$-x + 1$	$L_{1}(0) =1$
2	$(x^2 - 4x + 2)/2$	$L_{2}(0) = 1$
3	$(-x^3 + 9x^2 - 18x + 6)/6$	$L_{3}(0) = 1$
4	$(x^4 - 16x^3 + 72x^2 - 96x + 24)/24$	$L_{4}(0) = 1$
5	$(-x^5 + 25x^4 - 200x^3 + 600x^2 - 600x + 120)/120$	$L_{5}(0) = 1$
6	$(x^6 - 36x^5 + 450x^4 - 1920x^3 + 5400x^2 - 4320x +720)/720$	$L_{6}(0) = 1$
7	$(-x^7 + 49x^6 - 882x^5 + 7350x^4 - 29400x^3 + 5400x^2 - 52920x + 5040)/5040$	$L_{7}(0) = 1$

Polinomios de Laguerre

Por lo tanto para que la solución de la ecuación diferencial de Laguerre tenga como solución a los polinomios de Laguerre debe tener la siguiente forma:

$${\large \begin{align*} y(x) &= C_{0}y_{0}(x) \\ y(x) &= C_{0}\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \prod_{m=0}^{n} \left( \frac{m -p }{(m + 1)^2} \right) \right]x^{n} \\ y(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \prod_{m=0}^{n} \left( \frac{m -p }{(m + 1)^2} \right) \right]x^{n} \end{align*} }$$ 

Propiedades de los Polinomios de Laguerre

Propiedad 1

$${\Large \begin{equation*} L_{p}(x) =  \sum_{v=0}^{p} \left[  \frac{(-1)^v p!}{(p-v)!v!v!}\right]x^{v} \end{equation*} }$$

Partiendo de la ecuación indicial de los polinomios de Laguerre

$${\large \begin{align*} C_{n+1} &= \frac{(n-p)C_{n}}{(n+1)^2} \end{align*} }$$

Haciendo un cambio de variable k = n + 1

$${\large \begin{align*} C_{n+1} &= \frac{(n-p)C_{n}}{(n+1)^2} \\ C_{k} &= \frac{(k-p-1)C_{k-1}}{k^2} \\ C_{k-1} &= \left(\frac{k^2}{k-p-1}\right)C_{k} \end{align*} }$$

Para los valores de k = p hasta k = v

$${\large \begin{align*} C_{p-1} &= -\left(\frac{p^2}{1}\right)C_{p} \\ C_{p-2} &= \left(\frac{p^2(p-1)^2}{1\cdot2}\right)C_{p} \\ C_{p-3} &= -\left(\frac{p^2(p-1)^2(p-2)^2}{1\cdot2\cdot3}\right)C_{p} \\ C_{p-4} &= \left(\frac{p^2(p-1)^2(p-2)^2(p-3)^2}{1\cdot2\cdot3\cdot4}\right)C_{p} \\ C_{p-5} &= -\left(\frac{p^2(p-1)^2(p-2)^2(p-3)^2(p-4)^2}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}\right)C_{p} \\ C_{p-6} &= \left(\frac{p^2(p-1)^2(p-2)^2(p-3)^2(p-4)^2(p-5)^2}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}\right)C_{p} \\ \hspace{0.45cm}\vdots\hspace{0.45cm} &= \hspace{2cm}\vdots \\ C_{p-v} &= \left( \frac{(-1)^v p!p!}{(p-v)!(p-v)!v!}\right) C_{p} \end{align*}  }$$

Por consiguiente los polinomios de Laguerre están dados por la siguiente ecuación

$${\large \begin{equation*} L_{p}(x) = \sum_{v=0}^{p} \left[ \frac{(-1)^v p!p! C_{p}}{(p-v)!(p-v)!v!} \right]x^{v} \end{equation*} }$$

No obstante para que $L_{p}(x)$ sean los polinomios de Laguerre de la segunda tabla el coeficiente $C_{p}$ esta en función de v y es igual a:

$${\large \begin{equation*} C_{p} = \frac{(p-v)!}{p!v!} \end{equation*}}$$

Por lo tanto los polinomios de Laguerre están dados de la siguiente forma:

$${\large \begin{equation*} L_{p}(x) = \sum_{v=0}^{p} \left[ \frac{(-1)^v p! }{(p-v)!v!v!} \right]x^{v} \end{equation*} }$$

Propiedad 2

$${\Large \begin{equation*} L_{p}(x) =  \frac{e^{x}}{p!}\frac{d^p (x^p e^{-x})}{dx^p} \end{equation*}} $$

Partiendo de la propiedad anterior 

$${\large \begin{align*} L_{p}(x) &=  \sum_{v=0}^{p} \left[ \frac{(-1)^v p!}{(p-v)!v!v!}\right]x^{v} \\ L_{p}(x) &=  \sum_{v=0}^{p} \left[ e^{x} \frac{d^v (e^{-x})}{dx^v} \frac{x^{v}p!}{(p-v)!v!v!}\right] \\ L_{p}(x) &=  \sum_{v=0}^{p} \left[ \binom{p}{v} e^{x} \frac{d^v (e^{-x})}{dx^v} \frac{x^{v}}{v!}\right] \\ L_{p}(x) &=  \sum_{v=0}^{p} \left[ \binom{p}{v} e^{x} \frac{d^v (e^{-x})}{dx^v} \frac{1}{p!}\frac{d^{p-v}(x^p)}{dx^{p-v}} \right] \\ L_{p}(x) &=  \frac{e^x}{p!}\sum_{v=0}^{p} \left[ \binom{p}{v}  \frac{d^v (e^{-x})}{dx^v} \frac{d^{p-v}(x^p)}{dx^{p-v}} \right] \\ L_{p}(x) &= \frac{e^x}{p!}\frac{d^p (e^{-x} x^p)}{dx^p} \\ L_{p}(x) &= \frac{e^x}{p!}\frac{d^p (x^p e^{-x})}{dx^p} \end{align*} }$$

Propiedad 3

La EDO de Laguerre puede transformarse en una ecuación de Sturm Liouville $${\Large \begin{equation*} \frac{1}{w} \left[ \frac{d}{dx} \left( g \frac{dy}{dx} \right) +  h y \right]  =  \lambda y  \hspace{1cm},\hspace{1cm}  \frac{1}{e^{-x}} \left( \frac{d}{dx}\left( xe^{-x} \frac{dy}{dx} \right) \right) =  -py \end{equation*}}$$

Partiendo de la ecuación diferencial de Laguerre

$${\large \begin{align*} 0 &= x\frac{d^2y}{dx^2} + (1-x)\frac{dy}{dx} + py \\ 0\cdot e^{-x} &= e^{-x} \left( x\frac{d^2y}{dx^2} + (1-x)\frac{dy}{dx} + py \right) \\ 0 &= e^{-x}\frac{d^2y}{dx^2} + e^{-x}(1-x)\frac{dy}{dx} + e^{-x}py \\ 0 &= \frac{d}{dx}\left( xe^{-x} \frac{dy}{dx} \right) + e^{-x}py \\ -py &= \frac{1}{e^{-x}} \left( \frac{d}{dx}\left( xe^{-x} \frac{dy}{dx} \right) \right) \end{align*} }$$

Donde:

${\large w = e^{-x}}$

${\large g = x e^{-x}}$

${\large h = 0 }$

${\large \lambda = -p }$ 

Por lo tanto la EDO de Laguerre es una ecuación de Sturm Liouville

Propiedad 4

$${\Large \begin{equation*} \int_{0}^{\infty} (L_{n}(x)L_{m}(x)e^{-x})dx  = 0 \hspace{1.2cm}, \hspace{0.2cm} m \not= n \end{equation*}}$$

Partiendo de las EDO de Laguerre

$${\large \begin{align*} -nL_{n} &= \frac{1}{e^{-x}} \left( \frac{d}{dx}\left( xe^{-x} \frac{dL_{n}(x)}{dx} \right) \right) \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(2) \\ -mL_{m}(x) &= \frac{1}{e^{-x}} \left( \frac{d}{dx}\left( xe^{-x} \frac{dL_{m}(x)}{dx} \right) \right) \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(3) \end{align*}}$$ 

Multiplicando $L_m(x)$ a (2) y Multiplicando $L_{n}(x)$ a (3) 

$${\large \begin{align*}  -nL_{n}(x)L_{m}(x) &= \frac{L_{m}(x)}{e^{-x}} \left( \frac{d}{dx}\left( xe^{-x} \frac{dL_{n}(x)}{dx} \right) \right) \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(4) \\ -mL_{m}(x)L_{n}(x) &= \frac{L_{n}}{e^{-x}} \left( \frac{d}{dx}\left( xe^{-x} \frac{dL_{m}(x)}{dx} \right) \right) \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(5) \end{align*} }$$

Restando (4) con (5)

$${\large \begin{align*} (m-n)L_{n}(x)L_{m}(x)e^{-x} &=  L_{m}(x)\frac{d}{dx}\left( xe^{-x} \frac{dL_{n}(x)}{dx} \right) \\ &-  L_{n}(x)\frac{d}{dx}\left( xe^{-x} \frac{dL_{m}(x)}{dx} \right)  \\ (m-n)\int_{0}^{\infty} (L_{n}(x)L_{m}(x)e^{-x})dx  &= \int_{0}^{\infty}\left( L_{m}(x)\frac{d}{dx}\left( xe^{-x} \frac{dL_{n}(x)}{dx} \right) \right)dx \\ &- \int_{0}^{\infty}\left( L_{n}(x) \frac{d}{dx}\left( xe^{-x} \frac{dL_{m}(x)}{dx} \right) \right)dx \\ (m-n)\int_{0}^{\infty} (L_{n}(x)L_{m}(x)e^{-x})dx &= \left. \left( L_{m}(x) xe^{-x} \frac{dL_{n}(x)}{dx} \right) \right|_{0}^{\infty} \\ &-  \int_{0}^{\infty} \left( xe^{-x} \frac{dL_{n}(x)}{dx} \frac{dL_{m}(x)}{dx}  \right) dx  \\ &- \left. \left( L_{n}(x) xe^{-x} \frac{dL_{m}(x)}{dx} \right) \right|_{0}^{\infty} \\ +&  \int_{0}^{\infty} \left( xe^{-x} \frac{dL_{m}(x)}{dx} \frac{dL_{n}(x)}{dx}  \right) dx  \\ (m-n)\int_{0}^{\infty} (L_{n}(x)L_{m}(x)e^{-x})dx &= 0 \\ \int_{0}^{\infty} (L_{n}(x)L_{m}(x)e^{-x})dx &= 0 \end{align*} }$$

Propiedad 5

$${\Large \begin{equation*} \int_{0}^{\infty} \left( L_{p}^{2}(x)e^{-x} \right)dx  = 1 \end{equation*} }$$

Partiendo de la ecuación del modulo del polinomio de Laguerre

$${\large \begin{align*} \int_{0}^{\infty} (L_{p}^2(x)e^{-x})dx &= \int_{0}^{\infty} (L_{p}^2(x)e^{-x})dx \\ \int_{0}^{\infty} (L_{p}^2(x)e^{-x})dx &= \frac{1}{p!}\int_{0}^{\infty}\left( L_{p}(x) \frac{d^p (x^p e^{-x})}{dx^p} \right)dx \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(6) \end{align*} }$$

Realizando una integración por partes ${\large w = L_{p}(x)}$ y ${\large dh = \frac{d^p (x^p e^{-x})}{dx^p} dx }$

$${\large \begin{align*} wdh &= wh - hdw \\ \int_{0}^{\infty}\left( L_{p}(x) \frac{d^p (x^p e^{-x})}{dx^p} \right)dx &= \left. \left(L_{p}(x)\frac{d^{p-1} (x^p e^{-x})}{dx^{p-1}} \right) \right|_{0}^{\infty} \\ &- \int_{0}^{\infty} \left( \frac{dL_{p}(x)}{dx}\frac{d^{p-1} (x^p e^{-x})}{dx^{p-1}}\right)dx \\ \int_{0}^{\infty}\left( L_{p}(x) \frac{d^p (x^p e^{-x})}{dx^p} \right)dx &= - \int_{0}^{\infty} \left( \frac{dL_{p}(x)}{dx}\frac{d^{p-1} (x^p e^{-x})}{dx^{p-1}}\right)dx \end{align*} }$$

Si hacemos la integración por partes p veces llegamos a la siguiente expresión

$${\large \begin{align*} \int_{0}^{\infty}\left( L_{p}(x) \frac{d^p (x^p e^{-x})}{dx^p} \right)dx &= (-1)^p \int_{0}^{\infty} \left( \frac{d^p L_{p}(x)}{dx^p} x^p e^{-x}\right)dx \\  \int_{0}^{\infty}\left( L_{p}(x) \frac{d^p (x^p e^{-x})}{dx^p} \right)dx &= (-1)^p \int_{0}^{\infty} \left( \frac{d^p}{dx^p} \left( \sum_{v=0}^{p} \left[  \frac{(-1)^v p!}{(p-v)!v!v!}\right]x^{v} \right) x^p e^{-x}\right)dx \\ \int_{0}^{\infty}\left( L_{p}(x) \frac{d^p (x^p e^{-x})}{dx^p} \right)dx &= (-1)^p \int_{0}^{\infty} \left( \frac{d^p}{dx^p} \left( \sum_{v=0}^{p} \left[ \binom{p}{v} \frac{(-1)^v}{v!}\right]x^{v} \right) x^p e^{-x}\right)dx \\ \int_{0}^{\infty}\left( L_{p}(x) \frac{d^p (x^p e^{-x})}{dx^p} \right)dx &= \int_{0}^{\infty} \left( x^p e^{-x}\right)dx \\ \int_{0}^{\infty}\left( L_{p}(x) \frac{d^p (x^p e^{-x})}{dx^p} \right)dx &= \Gamma(p + 1) \\ \int_{0}^{\infty}\left( L_{p}(x) \frac{d^p (x^p e^{-x})}{dx^p} \right)dx &= p! \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(7) \end{align*} }$$

Reemplazando (7) en (6)

$${\large \begin{align*} \int_{0}^{\infty} (L_{p}^2(x)e^{-x})dx &= \frac{1}{p!}\int_{0}^{\infty}\left( L_{p}(x) \frac{d^p (x^p e^{-x})}{dx^p} \right)dx \\ \int_{0}^{\infty} (L_{p}^2(x)e^{-x})dx &= \frac{1}{p!}(p!) \\ \int_{0}^{\infty} (L_{p}^2(x)e^{-x})dx &= 1 \end{align*} }$$

Propiedad 6

La función generatriz de los polinomios de Laguerre es igual a la siguiente ecuación: 

$$ \begin{equation*} {\large f(x,t) }= {\large \frac{1}{1-t}} {\huge {e^{\frac{-xt}{1-t}} }} \hspace{1.2cm} | t | < 1 \end{equation*} $$

Partiendo de la definición de función generatriz

$${\large  \begin{align*} f (x,t) &= \sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p \\ f (x,t) &= \sum_{p = 0}^{\infty} \left[ \sum_{v=0}^{p} \left[  \frac{(-1)^v p!}{(p-v)!v!v!}\right]x^{v} \right]t^p \\ f (x,t) &= \sum_{p = 0}^{\infty} \left[ \sum_{v=0}^{p} \left[  \binom{p}{v}\frac{(-1)^v }{v!}\right]x^{v} \right]t^p \end{align*} }$$

Si hacemos un Cambio de índice por p = n + v

$${\large \begin{align*} f (x,t) &= \sum_{p = 0}^{\infty} \left[ \sum_{v=0}^{p} \left[  \binom{p}{v}\frac{(-1)^v }{v!}\right]x^{v} \right]t^p \\ f (x,t) &= \sum_{n = 0}^{\infty} \left[ \sum_{v=0}^{\infty} \left[  \binom{n + v}{v}\frac{(-1)^v }{v!}\right]x^{v} t^{v}\right]t^{n} \\ f (x,t) &= \sum_{v=0}^{\infty}\left[ \frac{(-1)^v x^{v}}{v!} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\binom{n + v}{v}t^n \right]\right]t^v \\ f (x,t) &= \sum_{v=0}^{\infty}\left[ \frac{(-1)^v x^{v}}{v!} \left(\frac{1}{1-t}\right)^{v+1}\right]t^v \\ f (x,t) &= \frac{1}{1-t}\sum_{v=0}^{\infty}\left[ \frac{1}{v!} \left(\frac{-xt}{1-t}\right)^{v}\right] \\ \end{align*} }$$

Recordando la serie de Maclaurin de ${\large e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\left[ \frac{x^v}{v!} \right] }$ entonces

$${\large \begin{align*} f (x,t) &= \frac{1}{1-t}\sum_{v=0}^{\infty}\left[ \frac{1}{v!} \left(\frac{-xt}{1-t}\right)^{v}\right] \\ f(x,t) &= \frac{1}{1-t} {\huge e^{\frac{-xt}{1-t}} } \end{align*} }$$ 

Propiedad 7

$${\Large \begin{equation*} L_{p}(x) = \oint_{\gamma (t)} \left( \frac{ {\Large e^{(-xt)/(1-t)} }}{(1-t)t^{n+1}} \right)dt \hspace{1.2cm} | t | < 1 \end{equation*} }$$

Partiendo de la definición de serie de Laurent del análisis complejo 

$${\large \begin{equation*} f(t) = \sum_{p=-\infty}^{\infty} C_{p}t^{p} \hspace{1cm},\hspace{1cm} C_{p} = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma (t)} \left( \frac{ e^{(-xt)/(1-t)} }{(1-t)t^{n+1}} \right)dt \end{equation*}}$$

Usando la función generatriz de los polinomios de Laguerre

$${\large \begin{align*} f(t) &= \sum_{n=0}^{\infty} L_{p}(x) t^n \\ \frac{e^{(-xt)/(1-t)}}{1-t} &= \sum_{n=0}^{\infty} L_{p}(x) t^n \end{align*} }$$

Si tomamos los p positivos entonces $L_{p}(x)$ pueden ser definidos mediante la siguiente ecuación

$${\large \begin{equation*} L_{p}(x) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma (t)} \left( \frac{ e^{(-xt)/(1-t)} }{(1-t)t^{n+1}} \right)dt \end{equation*} }$$

Propiedad 8

$${\Large \begin{align*} (p+1)L_{p+1}(x) = (2p + 1 -x)L_{p}(x) - pL_{p-1}(x) \end{align*} }$$

Partiendo de la unción generatriz de los polinomios de Laguerre

$${\large \begin{align*} \frac{1}{1-t} e^{(-xt)/(1-t)} &= \sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p \\ e^{(-xt)/(1-t)} &= (1-t)\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p \\ \frac{-x}{(1-t)^2}e^{(-xt)/(1-t)} &= -\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p + (1-t)\sum_{p = 0}^{\infty} pL_{p}(x)t^{p-1} \\ \frac{-x}{(1-t)}\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p &= -\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p + (1-t)\sum_{p = 1}^{\infty} pL_{p}(x)t^{p-1} \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(8) \end{align*} }$$

Reemplazando la propiedad de la ecuación (1) en la ecuación (8)

$${\large \begin{align*} \frac{-x}{(1-t)}\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p &= -\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p + (1-t)\sum_{p = 1}^{\infty} pL_{p}(x)t^{p-1} \\ \frac{-x}{(1-t)}\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p &= -\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p + (1-t)\sum_{p = 0}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p} \\ -x\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p &= -(1-t)\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p + (1-t)^2\sum_{p = 0}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p} \\ -x\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p &= -\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p + \sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^{p+1} \\ &+ (1-2t+t^2)\sum_{p = 0}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p} \\ -x\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p &= -\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p + \sum_{p = -1}^{\infty} L_{p}(x)t^{p+1} \\ &+ (1-2t+t^2)\sum_{p = 0}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p} \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(9) \end{align*} }$$

Reemplazando la propiedad de la ecuación (1) en la ecuación (9)

$${\large \begin{align*} -x\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p &= -\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p + \sum_{p = -1}^{\infty} L_{p}(x)t^{p+1} \\ &+ (1-2t+t^2)\sum_{p = 0}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p} \\ (1-x)\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p &= \sum_{p = 0}^{\infty} L_{p-1}(x)t^{p} + \sum_{p = 0}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p} \\ &- 2\sum_{p = 0}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p+1} + \sum_{p = 0}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p+2} \\ (1-x)\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p &= \sum_{p = 0}^{\infty} L_{p-1}(x)t^{p} + \sum_{p = 0}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p} \\ &- 2\sum_{p = -1}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p+1} + \sum_{p = -2}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p+2} \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(10) \end{align*} }$$

Reemplazando la propiedad de la ecuación (1) en la ecuación (10)

$${\large \begin{align*} (1-x)\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p &= \sum_{p = 0}^{\infty} L_{p-1}(x)t^{p} + \sum_{p = 0}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p} \\ &- 2\sum_{p = -1}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p+1} + \sum_{p = -2}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p+2} \\ (1-x)\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p &= \sum_{p = 0}^{\infty} L_{p-1}(x)t^{p} + \sum_{p = 0}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p} - 2\sum_{p = 0}^{\infty} pL_{p}(x)t^{p} \\ &+ \sum_{p = 0}^{\infty} (p-1)L_{p-1}(x)t^{p} \\ (2p + 1 -x)\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p &= \sum_{p = 0}^{\infty} pL_{p-1}(x)t^{p} + \sum_{p = 0}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p} \\ \sum_{p = 0}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p} &= (2p + 1 -x)\sum_{p = 0}^{\infty} L_{p}(x)t^p  - \sum_{p = 0}^{\infty} pL_{p-1}(x)t^{p} \\ \sum_{p = 0}^{\infty} (p+1)L_{p+1}(x)t^{p} &= \sum_{p = 0}^{\infty} (2p + 1 -x)L_{p}(x)t^p  - \sum_{p = 0}^{\infty} pL_{p-1}(x)t^{p} \end{align*} }$$

Analizando los coeficientes tenemos la relación de recurrencia de los polinomios de Laguerre

$${\large \begin{equation*} (p+1)L_{p+1}(x) = (2p + 1 -x)L_{p}(x) - pL_{p-1}(x) \end{equation*} }$$