Ecuación Diferencial de Bessel y Propiedades de las Funciones de Bessel

La ecuación diferencial de Bessel de orden p esta dada por la siguiente EDO

$${\large \begin{equation*} x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - p^2)y = 0 \end{equation*} }$$

Esta EDO se resuelve por el método de serie de potencias. Por consiguiente la función y(x) esta dada por:

$${\large \begin{align*} y &= \sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n + r} \\ \frac{dy}{dx} &= \sum_{n=0}^{\infty} [(n+r)C_{n}]x^{n + r-1} \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= \sum_{n=0}^{\infty} [(n+r)(n+r-1)C_{n}]x^{n+r-2} \end{align*} }$$

Ahora reemplazamos las series anteriores en la ecuación diferencial de Bessel de orden p

$${\large \begin{align*} 0 &= x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - p^2)y \\ \\ 0 &= x^2 \left( \sum_{n=0}^{\infty} [(n+r)(n+r-1)C_{n}]x^{n+r-2} \right) + x\left( \sum_{n=0}^{\infty} [(n+r)C_{n}]x^{n + r-1} \right) \\ &+ (x^2 - p^2)\sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n + r} \\ \\ 0 &= \sum_{n=0}^{\infty} [(n+r)(n+r-1)C_{n}]x^{n+r} + \sum_{n=0}^{\infty} [(n+r)C_{n}]x^{n + r} + \sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n + r + 2} \\& - p^2\sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n + r} \\ \\ 0 &= \sum_{n=2}^{\infty} [( (n+r)^2 - p^2 )C_{n}]x^{n+r} + \sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n + r + 2} + (r^2 - p^2)C_{0}x^{1+r} \\ &+ ((1+r)^2 - p^2)C_{1}x^{2+r} \\ \\ 0 &= \sum_{n=2}^{\infty} [( (n+r)^2 - p^2 )C_{n}]x^{n+r} + \sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n + r + 2} \\ &+ \left[ (r^2-p^2)C_{0} + x((1+r)^2 -p^2)C_{1} \right]x^{r+2} \hspace{2cm}...\hspace{0.2cm}(0) \end{align*} }$$

Las series matemáticas tienen la siguiente propiedad respectiva

$${\large \begin{equation*} \sum_{n=k}^{\infty} f(n) = \sum_{n=0}^{\infty} f(n+k) \hspace{2cm}...\hspace{0.2cm}(1) \end{equation*} }$$

Utilizando la propiedad de la ecuación (1) en la ecuación (0)

$${\large \begin{align*} 0 &= \sum_{n=2}^{\infty} [( (n+r)^2 - p^2 )C_{n}]x^{n+r} + \sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n + r + 2} \\ &+ \left[ (r^2-p^2)C_{0} + x((1+r)^2 -p^2)C_{1} \right]x^{r+2} \\ \\ 0 &= \sum_{n=2}^{\infty} [( (n+r)^2 - p^2 )C_{n}]x^{n+r} + \sum_{n=2}^{\infty}[ C_{n-2}]x^{n + r} \\ &+ \left[ (r^2-p^2)C_{0} + x((1+r)^2 -p^2)C_{1} \right]x^{r+2} \\ \\ 0 &= \sum_{n=2}^{\infty} [( (n+r)^2 - p^2 )C_{n} + C_{n-2}]x^{n+r} \\ &+ \left[ (r^2-p^2)C_{0} + x((1+r)^2 -p^2)C_{1} \right]x^{r+2} \\ \\ 0 &= \sum_{n=0}^{\infty} [( (n+2+r)^2 - p^2 )C_{n+2} + C_{n}]x^{n+2+r} \\ &+ \left[ (r^2-p^2)C_{0} + x((1+r)^2 -p^2)C_{1} \right]x^{r+2} \end{align*} }$$

La ecuación indicial (1) es la siguiente:

$${\large \begin{align*} 0 &= ((n+2+r)^2 - p^2)C_{n+2} + C_{n} \\ C_{n} &= (p^2 - (n+2+r)^2)C_{n+2} \\ C_{n+2} &= \frac{C_{n}}{p^2 - (n+2+r)^2} \end{align*} }$$

La ecuación indicial (2) es la siguiente:

$${\large \begin{align*} 0 &= (r^2-p^2)C_{0} \\ 0 &= (r-p)(r+p)C_{0} \\ r &= \pm p \end{align*} }$$

La ecuación indicial (3) es la siguiente:

$${\large \begin{align*} 0 &= x((1+r)^2 -p^2)C_{1} \\ 0 &= C_{1} \end{align*} }$$

Primer Caso: Si $r_{1} - r_{2} = 2p \not= \mathbb{Z} $

• Si $r_{1} = p$

$${\large \begin{align*} C_{n+2} &= \frac{C_{n}}{p^2 - (n+2+r)^2} \\ C_{n+2} &= \frac{C_{n}}{p^2 - (n+2+p)^2} \\ C_{n+2} &= \frac{C_{n}}{(p-n-2-p)(p+n+2+p)} \\ C_{n+2} &= \frac{-C_{n}}{(n+2)(n+2+2p)} \end{align*} }$$ 

Los primeros coeficientes desde n = 0 hasta n = 8

$${\large \begin{align*} C_{2} &= \frac{-C_{0}}{2^1\cdot(2)\cdot(1+p)} \\ C_{4} &= \frac{C_{0}}{2^2\cdot(2\cdot 4)\cdot(1+p)(2+p)} \\ C_{6} &= \frac{-C_{0}}{2^3 \cdot (2\cdot4\cdot6)\cdot(1+p)(2+p)(3+p)} \\ C_{8} &= \frac{C_{0}}{2^4\cdot (2\cdot4\cdot6\cdot8)\cdot(1+p)(2+p)(3+p)(4+p)} \end{align*} }$$

Por consiguiente la función $y_{p}(x)$ en forma se serie infinita esta dada de la siguiente forma:

$${\large \begin{align*} y_{p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} [ C_{n}]x^{n + r} \\ y_{p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n C_{0}}{2^{2n}(n!)(1+p)(2+p)(3+p)\cdots(n+p)} \right]x^{2n + p} \end{align*} }$$

Si ${\large C_{0} }$ es igual a ${\large (2^{p}\cdot\Gamma(p+1))^{-1} }$ entonces reemplazando en y(x) obtenemos

$${\large \begin{align*} y_{p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{2^{2n + p}(n!)(1+p)(2+p)(3+p)\cdots(n+p)\Gamma(p+1)} \right]x^{2n + p} \\ y_{p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n + p} \end{align*} }$$

• Si $r_{2} = -p$

$${\large \begin{align*} C_{n+2} &= \frac{C_{n}}{p^2 - (n+2+r)^2} \\ C_{n+2} &= \frac{C_{n}}{p^2 - (n+2-p)^2} \\ C_{n+2} &= \frac{C_{n}}{(p-n-2+p)(p+n+2-p)} \\ C_{n+2} &= \frac{-C_{n}}{(n+2)(n+2-2p)} \end{align*}}$$ 

Los primeros coeficientes desde n = 0 hasta n = 8

$${\large \begin{align*} C_{2} &= \frac{-C_{0}}{2^1 \cdot (2)\cdot(1-p)} \\ C_{4} &= \frac{C_{0}}{2^2 \cdot (2\cdot4)\cdot(1-p)(2-p)} \\ C_{6} &= \frac{-C_{0}}{2^3 \cdot (2\cdot4\cdot6)\cdot(1-p)(2-p)(3-p)} \\ C_{8} &= \frac{C_{0}}{2^4 \cdot (2\cdot4\cdot6\cdot8)\cdot(1-p)(2-p)(3-p)(4-p)} \end{align*} }$$

Por consiguiente la función $y_{-p}(x)$ en forma de serie infinita esta dada de la siguiente forma:

$${\large \begin{align*} y_{-p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} [C_{n}]x^{n + r} \\ y_{-p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{ C_{0}(-1)^n }{2^{2n}(n!)(1-p)(2-p)(3-p)\cdots(n-p)} \right]x^{2n - p} \end{align*} }$$

Si ${\large C_{0}}$ es igual a ${\large (2^{p}\cdot\Gamma(p+1))^{-1} }$ entonces reemplazando en y(x) obtenemos

$${\large \begin{align*} y_{-p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{2^{2n + p}(n!)(1-p)(2-p)(3-p)\cdots(n-p)\Gamma(p+1)} \right]x^{2n - p} \\ y_{-p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n-p+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n - p} \end{align*} }$$

• Si y(x) = $Ay_{p}(x) + By_{-p}(x)$

Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial de Bessel cuando p es positivo y no es un numero entero es igual a:

$${\large \begin{align*} y(x) &= Ay_{p}(x) + By_{-p}(x) \\ y(x) &= A\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n + p} \\ &+ B\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n-p+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n - p} \end{align*}}$$

Segundo Caso: Si $r_{1} - r_{2} = 0 \textbf{ entonces } r_{1} = r_{2} = p = 0$

Partiendo de la solución general de la ecuación diferencial de Bessel cuando p es positivo y no es un numero entero. 

$${\large \begin{align*} y(x) &= A\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n + p} \\ &+ B\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n-p+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n - p} \\ y(x) &= A\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma^2(n+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n} + B\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma^2(n+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n} \\ y(x) &= (A+ B)\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma^2(n+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n} \end{align*} }$$

Función de Bessel cuando p es igual a cero

Tercer Caso: Si $r_{1} - r_{2} = 2p \textbf{ donde p es un entero positivo } $

Por consiguiente

$${\large \begin{align*} p &= k  \end{align*}}$$

Partiendo de la solución general de la ecuación diferencial de Bessel

$${\large \begin{align*} y(x) &= A\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n + p} \\ &+ B\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n-p+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n - p} \\ y(x) &= A\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+k+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n +k} \\ &+ B\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n-k+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n - k} \\ y(x) &= A\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{n!(n+k)!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n +k} + B\sum_{n=k}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{n!(n-k)!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n - k} \\  y(x) &= A\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{n!(n+k)!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n +k} + (-1)^{k}B\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^{n}}{(n+k)!(n)!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n + k} \\  y(x) &= [A + (-1)^k B]\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{n!(n+k)!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n +k} \\ y(x) &= [A + (-1)^p B]\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{n!(n+p)!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n +p} \end{align*} }$$

Propiedades de las Funciones de Bessel

A continuación expondremos como también demostraremos algunas propiedades que tienen las funciones de Bessel respectivamente.

Propiedad 1

$$ {\Large \begin{equation*} \frac{d (x^{p} J_{p}(x)}{dx} = x^p J_{p-1}(x) \hspace{1.0cm},\hspace{0.3cm}p \in \mathbb{Z^{+}} \end{equation*}} $$

Demostración

Partiendo de la solución general de Bessel para la parte p

$${\large \begin{align*} x^p J_{p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n + p} \cdot x^{p} \\ x^p J_{p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{2^{2n + p}\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right]{x}^{2n + 2p} \\ \frac{d(x^p J_{p}(x))}{dx} &= \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{2^{2n + p}\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right]{x}^{2n + 2p} \right) \\ \frac{d(x^p J_{p}(x))}{dx} &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{2(n+p)(-1)^n}{2^{2n + p}\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right]{x}^{2n + 2p - 1} \\ \frac{d(x^p J_{p}(x))}{dx} &= x^p \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{2(n+p)(-1)^n}{2^{2n + p}\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right]{x}^{2n + p - 1} \\ \frac{d(x^p J_{p}(x))}{dx} &= x^p \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(n+p)(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right] \left(\frac{x}{2}\right)^{2n + p - 1} \\ \frac{d(x^p J_{p}(x))}{dx} &= x^p \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(n+p)(-1)^n}{\Gamma(n+1)(n+p)\Gamma(n+p)} \right] \left(\frac{x}{2}\right)^{2n + p - 1} \\ \frac{d(x^p J_{p}(x))}{dx} &= x^p \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+p)} \right] \left(\frac{x}{2}\right)^{2n + p - 1} \\ \frac{d(x^p J_{p}(x))}{dx} &= x^p J_{p-1}(x) \end{align*} }$$

Propiedad 2

$$ {\Large \begin{equation*} \frac{d (x^{-p} J_{p}(x))}{dx} = -x^{-p} J_{p+1}(x) \hspace{1.0cm},\hspace{0.3cm}p \in \mathbb{Z^{+}} \cup \lbrace0\rbrace \end{equation*}} $$

Demostración

Partiendo de la solución general de Bessel para la parte p 

$${\large \begin{align*} x^{-p} J_{p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n + p} \cdot x^{-p} \\ x^{-p} J_{p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{2^{2n + p}\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right]{x}^{2n} \\ \frac{d(x^{-p} J_{p}(x))}{dx} &= \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{2^{2n + p}\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right]{x}^{2n} \right) \\ \frac{d(x^{-p} J_{p}(x))}{dx} &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{2n(-1)^n}{2^{2n + p}\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right]{x}^{2n-1} \\ \frac{d(x^{-p} J_{p}(x))}{dx} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{2n(-1)^n}{2^{2n + p}\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+1)} \right]{x}^{2n-1} \\ \frac{d(x^{-p} J_{p}(x))}{dx} &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{2(n+1)(-1)^{n+1}}{2^{2n + 2 + p}\Gamma(n+2)\Gamma(n+p+2)} \right]{x}^{2n+1} \\ \frac{d(x^{-p} J_{p}(x))}{dx} &= -x^{-p}\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{2(n+1)(-1)^{n}}{2^{2n + 2 + p}\Gamma(n+2)\Gamma(n+p+2)} \right]{x}^{2n+p+1} \\ \frac{d(x^{-p} J_{p}(x))}{dx} &= -x^{-p}\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{2(n+1)(-1)^{n}}{2^{2n + 2 + p}\Gamma(n+2)\Gamma(n+p+2)} \right]{x}^{2n+p+1} \\ \frac{d(x^{-p} J_{p}(x))}{dx} &= -x^{-p}\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(n+1)(-1)^{n}}{\Gamma(n+2)\Gamma(n+p+2)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n+p+1} \\ \frac{d(x^{-p} J_{p}(x))}{dx} &= -x^{-p}\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(n+1)(-1)^{n}}{(n+1)\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+2)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n+p+1} \\ \frac{d(x^{-p} J_{p}(x))}{dx} &= -x^{-p}\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^{n}}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+p+2)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n+p+1} \\ \frac{d(x^{-p} J_{p}(x))}{dx} &= -x^{-p}J_{p+1}(x) \end{align*} }$$

Propiedad 3

$$ {\Large \begin{equation*} \frac{d( J_{p}(x) )}{dx} = \frac{ J_{p-1}(x) - J_{p+1}(x) }{2}  \end{equation*}} $$

Demostración

Partiendo de las propiedad 1 de la función de Bessel

$${\large \begin{align*} \frac{d (x^{p} J_{p}(x) )}{dx} &= x^p J_{p-1}(x) \\  x^{-p} \left( \frac{d (x^{p} J_{p}(x) )}{dx} \right) &= J_{p-1}(x) \\ x^{-p} \left( px^{p-1}J_{p}(x) + x^{p}\frac{d( J_{p}(x) )}{dx} \right) &= J_{p-1}(x) \\ px^{-1}J_{p}(x) +\frac{d( J_{p}(x) )}{dx} &= J_{p-1}(x) \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(1) \end{align*} }$$

Partiendo de las propiedad 2 de la función de Bessel

$${\large \begin{align*} \frac{d (x^{-p} J_{p}(x))}{dx} &= -x^{-p} J_{p+1}(x) \\  x^{p} \left( \frac{d (x^{-p} J_{p}(x))}{dx} \right) &= -J_{p+1}(x) \\ x^{p} \left( -px^{-p-1}J_{p}(x) + x^{-p}\frac{d( J_{p}(x) )}{dx} \right) &= -J_{p+1}(x) \\ -px^{-1}J_{p}(x) +\frac{d( J_{p}(x) )}{dx} &= -J_{p+1}(x) \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(2) \end{align*} }$$

Sumando las ecuaciones (1) y (2)

$${\large \begin{align*} J_{p-1}(x) - J_{p+1}(x) &= px^{-1}J_{p}(x) +\frac{d( J_{p}(x) )}{dx} - px^{-1}J_{p}(x) +\frac{d( J_{p}(x) )}{dx} \\ J_{p-1}(x) - J_{p+1}(x) &= 2\frac{d( J_{p}(x) )}{dx} \\ \frac{d( J_{p}(x) )}{dx} &= \frac{J_{p-1}(x) - J_{p+1}(x)}{2} \end{align*} }$$

Propiedad 4

$$ {\Large \begin{equation*} J_{p+1}(x) = \frac{2pJ_{p}(x)}{x} - J_{p-1}(x) \end{equation*} } $$

Demostración

Partiendo de las propiedad 1 de la función de Bessel

$${\large \begin{align*} \frac{d (x^{p} J_{p}(x))}{dx} &= x^p J_{p-1}(x) \\ x^{-p} \left( \frac{d (x^{p} J_{p}(x))}{dx} \right) &= J_{p-1}(x) \\ x^{-p} \left( px^{p-1}J_{p}(x) + x^{p}\frac{d( J_{p}(x) )}{dx} \right) &= J_{p-1}(x) \\ px^{-1}J_{p}(x) + \frac{d( J_{p}(x) )}{dx} &= J_{p-1}(x) \\  \frac{d( J_{p}(x) )}{dx} &= J_{p-1}(x) -  px^{-1}J_{p}(x) \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(3) \end{align*} }$$

Partiendo de las propiedad 2 de la función de Bessel

$${\large \begin{align*} \frac{d (x^{-p} J_{p}(x))}{dx} &= -x^{-p} J_{p+1}(x) \\ x^{p} \left( \frac{d (x^{-p} J_{p}(x))}{dx} \right) &= -J_{p+1}(x) \\ x^{p} \left( -px^{-p-1}J_{p}(x) + x^{-p}\frac{d( J_{p}(x) )}{dx} \right) &= -J_{p+1}(x) \\ -px^{-1}J_{p}(x) + \frac{d( J_{p}(x) )}{dx} &= -J_{p+1}(x) \\  \frac{d( J_{p}(x) )}{dx} &= -J_{p+1}(x) + px^{-1}J_{p}(x) \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(4)\end{align*} }$$

Igualando las ecuaciones (3) y (4)

$${\large \begin{align*} J_{p-1}(x) -  px^{-1}J_{p}(x) &= -J_{p+1}(x) + px^{-1}J_{p}(x) \\ J_{p+1}(x) &= 2px^{-1}J_{p}(x) - J_{p-1}(x) \\ J_{p+1}(x) &= \frac{2pJ_{p}(x)}{x} - J_{p-1}(x) \end{align*} }$$

Propiedad 5

$$ {\Large \begin{equation*} J_{p+1}(x) = \frac{p J_{p}(x)}{x} - \frac{d(J_{p}(x))}{dx} \hspace{0.4cm},\hspace{0.4cm} J_{p-1}(x) = \frac{p J_{p}(x)}{x} + \frac{d(J_{p}(x))}{dx} \end{equation*}} $$

Demostración

Partiendo de propiedades anteriores de la función de Bessel

$${\large \begin{align*} \frac{d( J_{p}(x) )}{dx} &= \frac{ J_{p-1}(x) - J_{p+1}(x) }{2} \\ 2\frac{d( J_{p}(x) )}{dx} &= J_{p-1}(x) - J_{p+1}(x) \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(5) \end{align*} }$$

$${\large \begin{align*} J_{p+1}(x) &= \frac{2pJ_{p}(x)}{x} - J_{p-1}(x) \\ \frac{2pJ_{p}(x)}{x} &= J_{p+1}(x) + J_{p-1}(x) \hspace{1.2cm}...\hspace{0.2cm}(6) \end{align*} }$$

Restando las ecuaciones (5) y (6) 

$${\large \begin{align*} 2\frac{d( J_{p}(x) )}{dx} - \frac{2pJ_{p}(x)}{x} &= -2J_{p+1}(x) \\ J_{p+1}(x) &= \frac{pJ_{p}(x)}{x} - \frac{d( J_{p}(x) )}{dx}  \end{align*} }$$

Sumando las ecuaciones (5) y (6) 

$${\large \begin{align*} 2\frac{d( J_{p}(x) )}{dx} + \frac{2pJ_{p}(x)}{x} &= 2J_{p-1}(x) \\ J_{p-1}(x) &= \frac{pJ_{p}(x)}{x} + \frac{d( J_{p}(x) )}{dx} \end{align*} }$$

Propiedad 6

$$ {\Large \begin{equation*} J_{-p}(x) = (-1)^{p}J_{p}(x) \hspace{1.0cm},\hspace{0.3cm}p \in \mathbb{Z}      \end{equation*}} $$

Demostración

Partiendo de la solución general de la ecuación diferencial de Bessel

$${\large \begin{align*} J_{-p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n-p+1)} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n - p} \\ J_{-p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{n!(n-p)!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n - p} \\ J_{-p}(x) &= \sum_{n=p}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{n!(n-p)!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n - p} \end{align*} }$$

Las series matemáticas tienen la siguiente propiedad respectiva

$${\large \begin{equation*} \sum_{n=k}^{\infty} f(n) = \sum_{n=0}^{\infty} f(n+k) \hspace{2cm}...\hspace{0.2cm}(7) \end{equation*} }$$

Utilizando la propiedad de la ecuación (7) en $J_{-p}(x)$

$${\large \begin{align*} J_{-p}(x) &= \sum_{n=p}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{n!(n-p)!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n - p} \\ J_{-p}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^{n+p}}{(n+p)!n!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n + p } \\ J_{-p}(x) &= (-1)^p\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^{n}}{n!(n+p)!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n + p } \\ J_{-p}(x) &= (-1)^p J_{p}(x)\end{align*} }$$

Propiedad 7

$$ {\Large \begin{equation*} e^{(x/2)(t - 1/t)} = \sum_{p=-\infty}^{\infty}J_{p}(x)t^p \hspace{1.0cm},\hspace{0.3cm}p \in \mathbb{Z} \end{equation*}} $$

Demostración

Partiendo de la definición de función generatriz

$${\large \begin{align*} f(x,t) &= \sum_{p=-\infty}^{\infty}J_{p}(x)t^p \\ f(x,t) &= \sum_{p=-\infty}^{\infty} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^{n}}{n!(n+p)!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2n + p } \right]t^p \\ f(x,t) &= \sum_{p=-\infty}^{\infty} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^{n}}{n!(n+p)!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{n + p } \left( \frac{x}{2} \right)^{n} \right]t^p \end{align*} }$$

Realizando un cambio de índice k = n + p

$${\large \begin{align*} f(x,t) &= \sum_{p=-\infty}^{\infty} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^{n}}{n!(n+p)!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{n + p } \left( \frac{x}{2} \right)^{n} \right]t^p \\ f(x,t) &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^{n}}{n!k!} \right]\left(\frac{x}{2}\right)^{k} \left( \frac{x}{2} \right)^{n} \right]t^{k-n} \\ f(x,t) &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{k!} \left(\frac{xt}{2}\right)^{k} \right] \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^{n}}{n!}\left( \frac{x}{2t} \right)^{n} \right] \\ f(x,t) &= e^{(xt)/2} \cdot e^{-{x/(2t)}} \\ f(x,t) &=  e^{(x/2)(t-1/t)} \end{align*} }$$