Ecuación Diferencial de Legendre

La ecuación diferencial de Legendre de orden l esta dada por la siguiente EDO.

$${\large \begin{equation*} \left( 1 - x^2 \right)\frac{d^2y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx} + l(l+1)y = 0 \end{equation*}}$$  

Esta EDO se resuelve por el método de serie de potencias. Por consiguiente la función y(x) esta dada por las siguientes series matemáticas.

$${\large \begin{align*} y &= \sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n} \\ \frac{dy}{dx} &= \sum_{n=1}^{\infty} [nC_{n}]x^{n-1} \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= \sum_{n=2}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-2} \end{align*} }$$

Ahora reemplazamos las series anteriores en la ecuación diferencial de Legendre de orden l.

$${\large \begin{align*} 0 &= \left( 1 - x^2 \right)\frac{d^2y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx} + l(l+1)y \\ 0 &= \left( 1 - x^2 \right)\left( \sum_{n=2}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-2} \right) - 2x\left( \sum_{n=1}^{\infty} [nC_{n}]x^{n-1} \right) \\ &+ l(l+1)\left( \sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n} \right) \\  0 &= \sum_{n=2}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-2} - \sum_{n=2}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n} - 2\sum_{n=1}^{\infty} [nC_{n}]x^{n} \\ &+ l(l+1)\sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n} \\ 0 &= \sum_{n=2}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-2} - \sum_{n=0}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n} - 2\sum_{n=0}^{\infty} [nC_{n}]x^{n} \\ &+ l(l+1)\sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n} \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm}(0) \end{align*} }$$  

Las series matemáticas tienen la siguiente propiedad respectiva.

$${\large \begin{equation*} \sum_{n=k}^{\infty} f(n) = \sum_{n=0}^{\infty} f(n+k) \hspace{2cm}...\hspace{0.2cm}(1) \end{equation*} }$$

Utilizando la propiedad de la ecuación (1) en la ecuación (0)

$${\large \begin{align*} 0 &= \sum_{n=2}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-2} - \sum_{n=0}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n} - 2\sum_{n=0}^{\infty} [nC_{n}]x^{n} \\  &+ l(l+1)\sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n} \\ 0 &= \sum_{n=0}^{\infty} [(n+2)(n+1)C_{n+2}]x^{n} - \sum_{n=0}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n} - 2\sum_{n=0}^{\infty} [nC_{n}]x^{n} \\ &+ l(l+1)\sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n} \\ 0 &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ (n+2)(n+1)C_{n+2} - [n(2 + (n-1)) - l(l+1) ]C_{n} \right]x^{n} \\ 0 &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ (n+2)(n+1)C_{n+2} - [n(n+1) - l(l+1) ]C_{n} \right]x^{n} \\ 0 &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ (n+2)(n+1)C_{n+2} - [(n-l)(n+1+l)]C_{n} \right]x^{n} \end{align*} }$$  

La ecuación indicial es la siguiente 

$${\large \begin{align*} 0 &= (n+2)(n+1)C_{n+2} - [(n-l)(n+1+l)]C_{n} \\ C_{n+2} &= \frac{(n-l)(n+1+l)}{(n+2)(n+1)}C_{n} \end{align*} }$$  

Para los valores desde n=1 hasta n=9

$${\large \begin{align*} C_{2} &= \frac{(-l)(1+l)}{1\cdot2}C_{0} \\ C_{3} &= \frac{(1-l)(2+l)}{1\cdot2\cdot3}C_{1} \\  C_{4} &= \frac{(-l)(2-l)(1+l)(3+l)}{1\cdot2\cdot3\cdot4}C_{0} \\ C_{5} &= \frac{(1-l)(3-l)(2+l)(4+l)}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}C_{1} \\ C_{6} &= \frac{(-l)(2-l)(4-l)(1+l)(3+l)(5+l)}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}C_{0} \\ C_{7} &= \frac{(1-l)(3-l)(5-l)(2+l)(4+l)(6+l)}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7}C_{1} \\ C_{8} &= \frac{(-l)(2-l)(4-l)(1+l)(3+l)(5+l)(7+l)}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8}C_{0} \\ C_{9} &= \frac{(1-l)(3-l)(5-l)(7-l)(2+l)(4+l)(6+l)(8+l)}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9}C_{1}\end{align*} }$$

De los coeficientes anteriores podemos apreciar que dependen exclusivamente de las constantes $C_{0}$ y de $C_{1}$

$${\large \begin{equation*} C_{n+2} = \left\{ \begin{array}{lcc} C_{n+2} = C_{0}\left( 1 + \frac{(-l)(1+l)}{2!} + \frac{(-l)(2-l)(1+l)(3+l)}{4!} + \cdots \right) &  si & n = \text{par} \\ \\  C_{n+2} = C_{1}\left( 1 + \frac{(1-l)(2+l)}{3!} + \frac{(1-l)(3-l)(2+l)(4+l)}{5!} + \cdots \right) &  si & n = \text{impar} \\ \end{array} \right. \end{equation*} }$$

Por consiguiente el coeficiente $C_{n}$ de la serie de potencias de la función y(x) esta dada por la siguiente serie matemática

$${\large \begin{equation*} y(x) = C_{0}y_{0}(x) + C_{1}y_{1}(x)  \end{equation*} }$$  

Donde las funciones $y_{0}(x)$ y $y_{1}(x)$ son series de potenciales obtenidas a partir de los coeficientes de la ecuación indicial, las cuales son las siguientes: 

• Para $y_{0}(x)$

$${\large \begin{align*} y_{0}(x) &= \left( 1 + \frac{(-p)(1+p)}{2!} + \frac{(-l)(2-l)(1+l)(3+l)}{4!} + \cdots \right)x^{2n} \\ y_{0}(x) &= 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{(-l)(2-l)\cdots(2n-l)\cdot (1+l)(3+l)\cdots(2n+1+l) }{(2n)!} \right]x^{2n} \\  y_{0}(x) &= 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{\prod_{m=1}^{n}[(2m-2-l)\cdot(2m-1+l)]}{\Gamma[2n+1]} \right]x^{2n} \end{align*} }$$

• Para $y_{1}(x)$

$${\large \begin{align*} y_{1}(x) &= \left( 1 + \frac{(1-l)(2+l)}{3!} + \frac{(1-l)(3-l)(2+l)(4+l)}{5!} + \cdots \right)x^{2n+1} \\ y_{1}(x) &= x + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{(1-l)(3-l)\cdots(2n-1-l)\cdot (2+l)(4+l)\cdots(2n+l) }{(2n+1)!} \right]x^{2n+1} \\ y_{1}(x) &= x + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{\prod_{m=1}^{n}[(2m-1-l)\cdot(2m+l)]}{\Gamma[2(n+1)]} \right]x^{2n+1} \end{align*}}$$

Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial de Legendre es la siguiente

$${\large \begin{align*} y(x) &= C_{0}y_{0}(x) + C_{1}y_{1}(x) \\ y(x) &= C_{0}\left( 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{\prod_{m=1}^{n}[(2(m-1)-l)\cdot(2m-1+l)]}{\Gamma[2n+1]} \right]x^{2n} \right) \\  &+ C_{1}\left( x + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{\prod_{m=1}^{n}[(2m-1-l)(2m+l)]}{\Gamma[2(n+1)]} \right]x^{2n+1} \right) \end{align*} }$$

Polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial de Legendre de grado p si y solo las constantes $C_{0}$ y $C_{1}$ de la EDO de Legendre están en función de p. Los polinomios de Legendre cumplen la propiedad de que al ser evaluadas en x = 1 su valor es igual a 1

$${\large \begin{align*} C_{0} &= \frac{(-1)^{l/2}\cdot(l-1)!!}{l!!} \hspace{1cm},\hspace{0.2cm} l = 2,4,6,8,\cdots, 2k \\ \\ C_{1} &= \frac{(-1)^{(l-1)/2}\cdot(l)!!}{(l-1)!!} \hspace{1cm},\hspace{0.2cm} l = 3,5,7,9,\cdots, 2k + 1 \end{align*} }$$

Estos coeficientes $C_{0}$ y $C_{1}$ pueden deducirse por el método de inducción matemática al ser reemplazar valores entero de l en la EDO de Legendre.

Orden l	Polinomio de grado l	$P_{l}(1)$
0	$C_{0}$	$C_{0}$
1	$C_{1}x$	$C_{1}$
2	$C_{0}(1-3x^2)$	$-\frac{2C_{0}}{1}$
3	$C_{1}\left( x - \frac{5x^3}{3}\right)$	$-\frac{2C_{1}}{1\cdot3}$
4	$C_{0}\left( 1 - 10x^2 + \frac{35x^4}{3} \right)$	$\frac{2\cdot4\cdot C_{0}}{1\cdot3}$
5	$C_{1}\left( x - \frac{14x^3}{3} + \frac{21x^5}{5} \right)$	$\frac{2\cdot4\cdot C_{1}}{1\cdot3\cdot5}$
6	$C_{0}\left( 1-21x^2 +63x^4 -\frac{231x^6}{5} \right)$	$-\frac{2\cdot4\cdot6\cdot C_{0}}{1\cdot3\cdot5}$
7	$C_{1}\left( x - 9x^3 + \frac{99x^5}{5} - \frac{429x^7}{35} \right)$	$-\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdot C_{1}}{1\cdot3\cdot5\cdot7}$
8	$C_{0}\left( 1 - 36x^2 +198x^4 - \frac{1716x^6}{5} + \frac{1287x^8}{7} \right)$	$\frac{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdot C_{0}}{1\cdot3\cdot5\cdot7}$
9	$C_{1}\left( x - \frac{44x^3}{3} + \frac{286x^5}{5} - \frac{572x^5}{7} + \frac{2431x^9}{63} \right)$	$\frac{2\cdot4\cdot6\cdot8 \cdot C_{1}}{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9}$

Al aplicar los coeficientes $C_{0}= {\large \frac{(-1)^{l/2}\cdot(l-1)!!}{l!!} }$ y $C_{1} = {\large \frac{(-1)^{(l-1)/2}\cdot(l)!!}{(l-1)!!} }$ en la anterior tabla  tenemos los polinomios de Legendre respectivamente. 

Orden l	Polinomio de Legendre de grado l	$P_{l}(1)$
0	$1$	$P_{0}(1) = 1$
1	$x$	$P_{1}(1) = 1$
2	$\frac{1}{2}(3x^2 - 1)$	$P_{2}(1) = 1$
3	$\frac{1}{2}\left(5x^3 - 3x\right)$	$P_{3}(1) = 1$
4	$\frac{1}{8}\left(35x^4 - 30x^2 + 3\right)$	$P_{4}(1) = 1$
5	$\frac{1}{8}\left(63x^5 -70x^3 + 15x \right)$	$P_{5}(1) = 1$
6	$\frac{1}{16}\left(231x^6 - 315x^4 + 105x^2 - 5 \right)$	$P_{6}(1) = 1$
7	$\frac{1}{16}\left(429x^7 - 693x^5 + 315x^3 - 35x\right)$	$P_{7}(1) = 1$
8	$\frac{1}{128}\left(6435x^8 - 12012x^6 + 6930x^4 - 1260x^2 + 35 \right)$	$P_{8}(1) = 1$
9	$\frac{1}{128} \left( 12155x^9 - 25740 x^7 + 18018x^5 -4620x^3 +315x \right)$	$P_{9}(1) = 1$

Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial de Legendre tenga como solución finita a los polinomios de Legendre. La solución de la Edo es de la siguiente forma: 

$${\large \begin{align*} y(x) &= C_{0}y_{0}(x) + C_{1}y_{1}(x) \\ y(x) &= 1 + \frac{(-1)^{l/2}\cdot(l-1)!!}{l!!} \left(\sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{\prod_{m=1}^{n}[(2(m-1)-l)\cdot(2m-1+l)]}{\Gamma[2n+1]} \right]x^{2n} \right) \\ &+ x + \frac{(-1)^{(l-1)/2}\cdot(l)!!}{(l-1)!!} \left(\sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{\prod_{m=1}^{n}[(2m-1-l)\cdot(2m+p)]}{\Gamma[2(n+1)]} \right]x^{2n+1}\right) \end{align*} }$$

Polinomios de Legendre desde l = 0 hasta l = 5

Polinomios de Legendre desde l = 6 hasta l = 9