Ecuación Diferencial Física de Hermite

 La ecuación diferencial de Hermite de orden p esta dada por la siguiente Ecuación diferencial

$${\large \begin{equation*}\frac{d^2y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx} + 2py = 0  \end{equation*} }$$

Esta EDO se resuelve por el método de serie de potencias. Por consiguiente la función y(x) esta dada por las siguientes series infinitas:

$${\large \begin{align*} y &= \sum_{n=0}^{\infty}[ C_{n}]x^{n} \\ \frac{dy}{dx} &= \sum_{n=1}^{\infty} [nC_{n}]x^{n-1} \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= \sum_{n=2}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-2} \end{align*} }$$

Ahora reemplazamos las series anteriores en la ecuación diferencial de Hermite de orden p

$${\large \begin{align*} 0 &= \frac{d^2y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx} + 2py \\ 0 &= \sum_{n=2}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-2} - 2x\left( \sum_{n=1}^{\infty} [nC_{n}]x^{n-1} \right) + 2p\left(  \sum_{n=0}^{\infty}[C_{n}]x^{n} \right) \\ 0 &= \sum_{n=2}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-2} - 2 \sum_{n=1}^{\infty} [nC_{n}]x^{n} + 2p \sum_{n=0}^{\infty} [C_{n}]x^{n} \\ 0 &= \sum_{n=2}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-2} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} [nC_{n}]x^{n} + 2p \sum_{n=0}^{\infty} [C_{n}]x^{n} \hspace{2cm}...\hspace{0.2cm}(0) \end{align*} }$$

Las series matemáticas tienen la siguiente propiedad respectiva

$${\large \begin{align*} 0 &= \sum_{n=2}^{\infty} [n(n-1)C_{n}]x^{n-2} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} [nC_{n}]x^{n} + 2p \sum_{n=0}^{\infty} [C_{n}]x^{n} \\ 0 &= \sum_{n=0}^{\infty} [(n+2)(n+1)C_{n+2}]x^{n} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} [nC_{n}]x^{n} + 2p \sum_{n=0}^{\infty}[C_{n}]x^{n} \\ 0 &= \sum_{n=0}^{\infty} \left[ (n+2)(n+1)C_{n+2} - 2(n-p)C_{n} \right]x^{n} \end{align*} }$$

La ecuación indicial es la siguiente

$${\large \begin{align*} 0 &= (n+2)(n+1)C_{n+2} - 2(n-p)C_{n} \\ C_{n+2} &= \frac{2(n-p)C_{n}}{(n+2)(n+1)} \end{align*} }$$

Para los valores desde n=1 hasta n=7

$${\large \begin{align*} C_{2} &= \frac{2(-p)}{1\cdot2}C_{0} \\ C_{3} &= \frac{2(1-p)}{1\cdot2\cdot3}C_{1} \\ C_{4} &= \frac{2^{2}(-p)(2-p)}{1\cdot2\cdot3\cdot4}C_{0} \\ C_{5} &= \frac{2^{2}(1-p)(3-p)}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}C_{1} \\ C_{6} &= \frac{2^{3}(-p)(2-p)(4-p)}{1\cdot2\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}C_{0} \\ C_{7} &= \frac{2^{3}(1-p)(3-p)(5-p)}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7}C_{1} \end{align*} }$$

De los coeficientes anteriores podemos apreciar que dependen exclusivamente de las constantes $C_{0}$ y de $C_{1}$

$${\large \begin{equation*} C_{n+2} = \left\{ \begin{array}{lcc}             C_{n+2} = C_{0}\left( 1 + \frac{2(-p)}{2!} + \frac{2^2(-p)(2-p)}{4!} + \cdots \right) &  si & n = \text{par} \\ \\              C_{n+2} = C_{1}\left( 1 + \frac{2(1-p)}{3!} + \frac{2^2(1-p)(3-p)}{5!} + \cdots \right) &  si & n = \text{impar} \\              \end{array}    \right.    \end{equation*} }$$

Por lo tanto el coeficiente $C_{n}$ de la serie de potencias de la función y(x) esta dada por la siguiente serie matemática

$${\large \begin{equation*} y(x) = C_{0}y_{0}(x) + C_{1}y_{1}(x) \end{equation*} }$$

Donde las funciones $y_{0}(x)$ y $y_{1}(x)$ son series de potenciales obtenidas a partir de los coeficientes de la ecuación indicial, las cuales son las siguientes:

• Para $y_{0}$

$${\large \begin{align*} y_{0}(x) &=  1 + \frac{2(-p)}{2!}x^2 + \frac{2^2(-p)(2-p)}{4!}x^4 + \cdots  \\ y_{0}(x) &= 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{2^{n}(-p)(2-p)(4-p)\cdots(2n-p)}{(2n)!} \right]x^{2n} \\ y_{0}(x) &= 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{2^{n}\prod_{m=1}^{n}[2(m - 1) - p]}{\Gamma[2n +1]} \right]x^{2n} \end{align*} }$$

• Para $y_{1}$

$${\large \begin{align*} y_{1}(x) &= x + \frac{2(1-p)}{3!}x^3 + \frac{2^2(1-p)(3-p)}{5!}x^5 + \cdots \\ y_{1}(x) &= x + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{2^{n}(1-p)(3-p)(5-p)\cdots(2n+1-p)}{(2n+1)!} \right]x^{2n+1} \\ y_{1}(x) &= x + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{2^{n}\prod_{m=1}^{n}[2m - 1 - p]}{\Gamma[2(n + 1)]} \right]x^{2n + 1} \end{align*} }$$

Por lo tanto la solución general de la ecuación de Hermite es la siguiente ecuación

$${\large \begin{align*} y(x) &= C_{0}y_{0}(x) + C_{1}y_{1}(x) \\ y(x) &= C_{0}\left( 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{2^{n}\prod_{m=1}^{n}[2(m - 1) - p]}{\Gamma[2n +1]} \right]x^{2n} \right) \\ &+ C_{1}\left(x + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{2^{n}\prod_{m=1}^{n}[2m - 1 - p]}{\Gamma[2(n + 1)]} \right]x^{2n + 1} \right) \end{align*} }$$

Polinomios Físicos de Hermite

Los polinomios físicos de Hermite tienen la propiedad en la cual el coeficiente principal del polinomio de grado de p es igual a $2^{p}$. Por consiguiente reemplazando los valores enteros de p en la solución de la ecuación diferencial de Hermite. 

Orden p	Polinomio de grado p	Coeficiente principal de $H_{p}(x)$
0	$C_{0}$	$1$
1	$C_{1}x$	$2$
2	$C_{0}(1-2x^2)$	$4$
3	$C_{1}\left( x - \frac{2x^3}{3}\right)$	$8$
4	$C_{0}\left( 1 - 4x^2 + \frac{4x^4}{3} \right)$	$16$
5	$C_{1}\left( x - \frac{4x^3}{3} + \frac{4x^5}{15} \right)$	$32$
6	$C_{0}\left( 1 - 6x^2 + 4x^4 -\frac{8x^6}{15} \right)$	$64$
7	$C_{1}\left( x - 2x^3 + \frac{4x^5}{5} - \frac{8x^7}{105} \right)$	$128$
8	$C_{0}\left( 1 - 8x^2 + 8x^4 - \frac{32x^6}{15} + \frac{16x^8}{105} \right)$	$256$
9	$C_{1}\left( x - \frac{8x^3}{3} + \frac{8x^5}{5} - \frac{32x^5}{105} + \frac{16x^9}{945} \right)$	$512$
10	$C_{0}\left( 1 - 10x^2 + \frac{40x^4}{3} - \frac{16x^6}{3} + \frac{80x^8}{105}  - \frac{32x^{10}}{945} \right)$	$1024$

Podemos obtener por el método de inducción matemática desde $p \geq 2$ los coeficientes $C_{0}$ y $C_{1}$. Por defecto los valores de $C_{0}$ y $C_{1}$ son 1 y 2.

$${\large \begin{equation*} C_{p} = \left\{ \begin{array}{lcc} C_{p} = (-2)^{\frac{p}{2}}(p-1)!!  &   si  &  p = 2,4,6,8,10,\cdots \\ \\ C_{p} = (-1)(-2)^{\frac{p+1}{2}}p!!  &  si &  p = 3,5,7,9,11,\cdots  \\ \end{array} \right. \end{equation*} }$$

Por lo tanto los polinomios al ser multiplicados por el coeficiente $C_{n}$ correspondiente obtenemos los polinomios de Hermite.

Orden p	Polinomio de Hermite de orden p	$H_{p}(0)$
0	$1$	$1$
1	$2x$	$0$
2	$ 4x^2 - 2$	$-2$
3	$ 8x^3 - 12x $	$0$
4	$ 16x^4 -48x^2 + 12 $	$12$
5	$ 32x^5 - 160x^3 + 120x $	$0$
6	$ 64x^6 - 480x^4 + 720x^2 - 120 $	$-120$
7	$ 128x^7 - 1344x^5 + 3360x^3 - 1680x $	$0$
8	$ 256x^8 - 3584x^6 + 13440x^4 - 13440x^2 + 1680$	$1680$
9	$512x^9 - 9216x^7 + 48384x^5 - 80640x^3 +30240x$	$0$
10	$ 1024x^{10} - 23040x^8 + 161280x^6 - 403200x^4 + 302400x^2 - 30240$	$-30240$

Por lo cual la solución de la ecuación diferencial de Hermite como polinomios físicos de Hermite es de la siguiente forma:

$${\large \begin{align*} y(x) &= C_{0}y_{0}(x) + C_{1}y_{1}(x) \\ y(x) &= 1 + (-2)^{\frac{p}{2}}(p-1)!!\left(  \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{2^{n}\prod_{m=1}^{n}[2(m - 1) - p]}{\Gamma[2n +1]} \right]x^{2n} \right)  \\  &+ 2x + (-1)(-2)^{\frac{p+1}{2}}p!! \left( \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{2^{n}\prod_{m=1}^{n}[2m - 1 - p]}{\Gamma[2(n + 1)]} \right]x^{2n + 1} \right) \end{align*} }$$

Polinomios de Hermite desde p = 0 hasta p= 4