La ecuación de tercer grado o ecuación cúbica de una variable es representada de la siguiente forma:
$${\large \begin{equation*} ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \hspace{1.0cm},\hspace{0.2cm} a \not = 0 \end{equation*}}$$
Donde su importancia en su momento fue encontrar un método general para encontrar sus respectivas soluciones correspondientes, siendo Tartaglia y Cardano los que encontraron la solución correspondiente. Con la inclusión de los números complejos en las matemáticas se pudo comprobar un teorema en el cual expresaba que la solución de una ecuación polinómica de grado n tiene n soluciones correspondientes.
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Ecuación de tercer grado reducida
La ecuación de tercer grado reducido tiene la siguiente forma:
$${\large \begin{equation*} x^3 + px + q = 0 \end{equation*} }$$
Su solución respectiva es la siguiente:
$${\large \begin{align*} x_{1} &= u + v \\ x_{2} &= -\frac{u + v}{2} + \frac{\sqrt{3}(u-v)i}{2} \\ x_{3} &= -\frac{u + v}{2} - \frac{\sqrt{3}(u-v)i}{2} \end{align*}}$$
Donde:
$${\large \begin{align*} u &= \left( -\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} \right)^{1/3} \\ v &= \left( -\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} \right)^{1/3} \end{align*}}$$
Demostración
Si tomamos a ${\large x = u + v}$ y lo reemplazamos en la ecuación de tercer grado reducida tenemos la siguiente ecuación:
$${\large \begin{align*} 0 &= x^3 + px + q \\ 0 &= ( u + v )^3 + p(u + v) + q \\ 0 &= u^3 + v^3 + 3u^2 v + 3uv^2 + pu + pv + q \\ 0 &= u^3 + v^3 + (u+v)(p + 3uv) + q \end{align*}}$$
Si igualamos ${\large p = -3uv }$ entonces tenemos las siguientes relaciones.
$${\large \begin{equation*} u^3 + v^3 = -q \hspace{1.2cm},\hspace{1.2cm} u^3 v^3 = -\frac{p^3}{27} \end{equation*}}$$
Si usamos la relación de Cardano obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado.
$${\large \begin{align*} (z - u^3)(z - v^3) &= 0 \\ z^2 - u^3 z - v^3 z + u^3 v^3 &= 0 \\ z^2 - (u^3 + v^3)z + u^3 v^3 &= 0 \\ z^2 + qz - \frac{p^3}{27} &= 0\end{align*}}$$
La solución de una ecuación de segundo grado es conocida. Por consiguiente la solución de la ecuación de segundo grado anterior es igual a:
$${\large \begin{equation*} z = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} \end{equation*}}$$
Por lo tanto:
- Para ${\large u^3 }$
$${\large \begin{align*} u^3 &= -\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} \\ u &= \left( -\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} \right)^{1/3} \end{align*}}$$
- Para ${\large v^3}$
$${\large \begin{align*} v^3 &= -\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} \\ v &= \left(- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} \right)^{1/3} \end{align*}}$$
Entonces una de las soluciones de la ecuación cubica reducida ${\large x^3 + px + q = 0 }$ es la siguiente que se muestra a continuación:
$${\large \begin{equation*} x_{1} = \left( - \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} \right)^{1/3} + \left( - \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} \right)^{1/3} \end{equation*}}$$
Ahora para encontrar las dos soluciones siguientes tenemos que factorizar la ecuación cubica reducida ${\large x^3 + px + q = 0 }$ respectivamente:
$${\large \begin{align*} 0 &= x^3 + px + q \\ 0 &= (x - u - v) (ax^2 + bx + c) \end{align*}}$$
Donde:
${\large a = 1}$
${\large b = u + v }$
${\large c = u^2 - uv + v^2}$
Por consiguiente las otras dos soluciones de la ecuación cúbica reducida ${\large x^3 + px + q = 0 }$ son las soluciones de la ecuación de segundo grado ${\large x^2 + (u+v)x + u^2 -uv + v^2 = 0 }$ respectivamente:
$${\large \begin{align*} x_{2} &= -\frac{u + v}{2} + \frac{\sqrt{3}(u-v)i}{2} \\ x_{3} &= -\frac{u + v}{2} - \frac{\sqrt{3}(u-v)i}{2} \end{align*}}$$
Finalizando con la demostración. La solución general de la ecuación cúbica reducida ${\large x^3 + px + q = 0 }$ en función de u y de v están dadas por:
$${\large \begin{align*} x_{1} &= u + v \\ x_{2} &= -\frac{u + v}{2} + \frac{\sqrt{3}(u-v)i}{2} \\ x_{3} &= -\frac{u + v}{2} - \frac{\sqrt{3}(u-v)i}{2} \end{align*}}$$
Donde:
$${\large \begin{align*} u &= \left( -\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} \right)^{1/3} \\ v &= \left( -\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} \right)^{1/3} \end{align*}}$$
Ecuación de tercer grado completa
La ecuación de tercer grado completa es la siguiente:
$${\large \begin{equation*} ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \hspace{1.0cm},\hspace{0.2cm} a \not = 0 \end{equation*}}$$
Su solución respectiva es la siguiente:
$${\large \begin{align*} x_{1} &= u + v - \frac{b}{3a} \\ x_{2} &= -\frac{u + v}{2} - \frac{b}{3a} + \frac{\sqrt{3}(u-v)i}{2} \\ x_{3} &= -\frac{u + v}{2} - \frac{b}{3a} - \frac{\sqrt{3}(u-v)i}{2} \end{align*}}$$
Donde:
$${\large \begin{align*} u &= \left[ -\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2 d}{54a^3} + \sqrt{ \frac{1}{4}\left( \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2 d}{27a^3} \right)^2 + \frac{1}{27}\left( \frac{3ac - b^2}{3a^2} \right)^3} \right]^{1/3} \\ v &= \left[ -\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2 d}{54a^3} - \sqrt{ \frac{1}{4}\left( \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2 d}{27a^3} \right)^2 + \frac{1}{27}\left( \frac{3ac - b^2}{3a^2} \right)^3} \right]^{1/3} \end{align*}}$$
Demostración
Si tomamos ${\large x = z - b / 3a }$ y lo reemplazamos en la ecuación cúbica completa obtenemos una ecuación cúbica reducida
$${\large \begin{align*} 0 &= ax^3 + bx^2 + cx + d \\ 0 &= a\left(z - \frac{b}{3a}\right)^3 + b\left(z - \frac{b}{3a}\right)^2 + c\left(z - \frac{b}{3a}\right) + d \\ 0 &= z^3 + \left( \frac{3ac - b^2}{3a^2} \right)z + \left( \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2 d}{27a^3} \right) \\ 0 &= z^3 + pz + q \end{align*}}$$
Donde:
$${\large \begin{equation*} p = \frac{3ac - b^2}{3a^2} \hspace{1.2cm},\hspace{1.2cm} q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2 d}{27a^3} \end{equation*} }$$
Como ya se conoce la solución de la ecuación cúbica reducida entonces podemos obtener la solución general de la ecuación cúbica completa
$${\large \begin{align*} z_{1} &= u + v \\ z_{2} &= -\frac{u + v}{2} + \frac{\sqrt{3}(u-v)i}{2} \\ z_{3} &= -\frac{u + v}{2} - \frac{\sqrt{3}(u-v)i}{2} \end{align*}}$$
Donde:
${\large u = \left( -\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} \right)^{1/3} }$
${\large v = \left( -\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} \right)^{1/3} }$
Volviendo a la anterior relación ${\large x = z - b / 3a }$ obtenemos la solución general de la ecuación cúbica completa ${\large ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 }$ respectivamente.
$${\large \begin{align*} x_{1} &= u + v - \frac{b}{3a} \\ x_{2} &= -\frac{u + v}{2} - \frac{b}{3a} + \frac{\sqrt{3}(u-v)i}{2} \\ x_{3} &= -\frac{u + v}{2} - \frac{b}{3a} - \frac{\sqrt{3}(u-v)i}{2} \end{align*}}$$
Donde:
$${\large \begin{align*} u &= \left[ -\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2 d}{54a^3} + \sqrt{ \frac{1}{4}\left( \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2 d}{27a^3} \right)^2 + \frac{1}{27}\left( \frac{3ac - b^2}{3a^2} \right)^3} \right]^{1/3} \\ v &= \left[ -\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2 d}{54a^3} - \sqrt{ \frac{1}{4}\left( \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2 d}{27a^3} \right)^2 + \frac{1}{27}\left( \frac{3ac - b^2}{3a^2} \right)^3} \right]^{1/3} \end{align*}}$$
Ecuación Térmica de Estado de Van der Waals
La ecuación de estado de Van der Waals es una ecuación que se utiliza para el estudio de los gases reales en la termodinámica.
$${\large \begin{align*} \left( P + \frac{n^2 a}{V^2} \right) (V - nb ) &= nRT \\ \left( PV^2 + n^2 a \right) (V - nb ) &= V^2 nRT \\ PV^3 + n^2 a V - PnbV^2 - n^3 ab &= V^2 nRT \\ PV^3 - (Pnb + nRT)V^2 + n^2 aV - n^3 ab &= 0 \end{align*}}$$
Por lo tanto la solución general es igual a:
$${\large \begin{align*} V_{1} &= u + v - \frac{Pnb + nRT}{3P} \\ V_{2} &= -\frac{u + v}{2} - \frac{Pnb + nRT}{3P} + \frac{\sqrt{3}(u-v)i}{2} \\ V_{3} &= -\frac{u + v}{2} - \frac{Pnb + nRT}{3P} - \frac{\sqrt{3}(u-v)i}{2} \end{align*}}$$
Donde:
$${\large \begin{align*} u &= \left( -\frac{h}{2}+\sqrt{\frac{h^2}{4} + \frac{w^3}{27}} \right)^{1/3} \\ v &= \left( -\frac{h}{2}- \sqrt{\frac{h^2}{4} + \frac{w^3}{27}} \right)^{1/3} \end{align*}}$$
los valores de h y de w están en función de las variables termodinámicas y están dadas de la siguiente manera:
$${\large \begin{align*} h &= \frac{-n^3 \left[ 2P^3 b^3 + 3P^2 b(bRT - 12a) + 3PRT(RT - 3a ) + 2R^3 T^3 \right ] }{27P^3} \\ \\ w &= \frac{-n^2 \left[ P^2 b^2 + P(3a + 2bRT) + R^2 T^2 \right ]}{3P^2} \end{align*}}$$
Donde:
P representa la presión
T representa la temperatura
n es el número de moles
R es la constante universal de los gases
a es la atracción de las partículas
b es el volumen en un mol
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