Operadores Diferenciales sobre un Campo Escalar $F$ y un Campo Vectorial $\vec{F}$ en Coordenadas Curvilíneas Ortogonales
Las coordenadas curvilíneas ortogonales son un sistema de coordenadas en los cuales los vectores unitarios son una base ortonormal. Por consiguiente cumplen la propiedad de la delta de kronecker.
$${\large \begin{equation*} \hat{u_{i}} \cdot \hat{u_{j}} = \delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{lcc} 1 & si & i = j \\ 0 & si & i \not= j \\ \end{array} \right. \end{equation*} }$$
Los operadores diferenciales vectoriales se muestran en la siguiente imagen:
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| Donde ($h_{1}$, $h_{2}$, $h_{3}$) son los factores de escala del sistema coordenado curvilíneo ortogonal. |
Antes de empezar a demostrar los operadores diferenciales vectoriales gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano para un campo F, comenzamos definiendo primeramente el operador diferencial vectorial nabla en coordenadas curvilíneas ortogonales.
$${\large \begin{equation*} \nabla = \frac{\hat{u_1}}{h_1} \frac{\partial }{\partial u_{1}} + \frac{\hat{u_2}}{h_2} \frac{\partial }{\partial u_{2}} + \frac{\hat{u_3}}{h_3} \frac{\partial }{\partial u_{3}} \end{equation*} }$$
Donde:
- ${\large \vec{u_{i}} }$ es el vector dirección y igual a ${\large \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}}}$
- ${\large h_{i} }$ es el factor de escala y es igual a ${\large \|\frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}}\| }$
- ${\large \hat{u_i} }$ es el vector unitario y es igual a ${\large \frac{\vec{u_{i}}}{h_{i}} }$
Operador Diferencial Vectorial Gradiente:
La definición de gradiente para un campo escalar F es igual a:
$${\large \begin{equation*} D_{\vec{v}} F = Grad (F) \cdot d\vec{v} \end{equation*} }$$
Demostración:
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| Derivada Direccional de un campo escalar F ($u_1, u_2, u_3$) |
Si la función ${\large F(u_1, u_2, u_3) }$ es un campo escalar diferenciable y continua para todos los puntos de su dominio, entonces su derivada direccional con respecto al vector ${\large \vec{v} }$ es igual a:
$${\large \begin{align*} D_{\vec{v}} F &= \lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{F(u_{i} + \vec{v}h) - F(u_{i})}{h} \right) \\ D_{\vec{v}} F &= \lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{F( (u_{1},u_{2},u_{3}) + (v_{1},v_{2},v_{3})h) - F(u_{1},u_{2},u_{3})}{h} \right) \\ D_{\vec{v}} F &= \lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{F (u_{1} + v_{1}h, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h ) - F(u_{1},u_{2},u_{3})}{h} \right) \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (1) \end{align*} }$$
Si sumamos y restamos a la ecuación (1) las funciones ${\large F(u_{1}, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h) }$ y ${\large F(u_{1}, u_{2}, u_{3} + v_{3}h)}$ y agrupando los términos correspondientes tenemos lo siguiente:
$${\large \begin{align*} \begin{split} D_{\vec{v}} F & = \lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{ F(u_{1} + v_{1}h, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h ) - F(u_{1}, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h ) }{h} \right) \\ & + \lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{ F(u_{1}, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h ) - F(u_{1}, u_{2}, u_{3} + v_{3}h ) }{h} \right) \\ & + \lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{ F(u_{1}, u_{2}, u_{3} + v_{3}h ) - F(u_{1}, u_{2}, u_{3} ) }{h} \right) \end{split} \\ \begin{split} D_{\vec{v}} F & = v_{1}\lim\limits_{h \to 0}\left(\frac{ F(u_{1} + v_{1}h, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h ) - F(u_{1}, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h}{v_{1}h} \right) \\ & + v_{2}\lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{ F(u_{1}, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h ) - F(u_{1}, u_{2}, u_{3} + v_{3}h ) }{v_{2}h} \right) \\ & + v_{3}\lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{ F(u_{1}, u_{2}, u_{3} + v_{3}h ) - F(u_{1}, u_{2}, u_{3} ) }{v_{3}h} \right) \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (2) \end{split} \end{align*} }$$
Por tanto la ecuación (2) se transforma en lo siguiente:
$${\large \begin{equation*} D_{\vec{v}} F = v_{1}\frac{\partial F}{\partial u_{1}} + v_{2}\frac{\partial F}{\partial u_{2}} + v_{3}\frac{\partial F}{\partial u_{3}} \end{equation*} }$$
Si relacionamos la derivada direccional ${\large D_{\vec{v}} F }$ con el vector desplazamiento infinitesimal con dirección de ${\large \vec{v} }$ mediante el producto punto tenemos lo siguiente.
$${\large \begin{align*} D_{\vec{v}} F &= Grad (F) \cdot d \vec{l} \\ v_{1}\frac{\partial F}{\partial u_{1}} + v_{2}\frac{\partial F}{\partial u_{2}} + v_{3}\frac{\partial F}{\partial u_{3}} &= Grad (F) \cdot (h_{1} v_1, h_{2} v_2, h_{3} v_3) \\ Grad (F) &= \frac{\hat{u_1}}{h_1} \frac{\partial F}{\partial u_{1}} + \frac{\hat{u_2}}{h_2} \frac{\partial F}{\partial u_{2}} + \frac{\hat{u_3}}{h_3} \frac{\partial F}{\partial u_{3}} \\ Grad (F) &= \nabla F \end{align*} }$$
El gradiente de un campo vectorial en los sistemas de coordenadas curvilíneos más utilizados son el cartesiano, cilíndrico circular y esférico son los siguientes:
$${\large \begin{align*} Grad (F) &= \frac{\partial F}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial F}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial F}{\partial z}\hat{k} \\ Grad (F) &= \frac{\partial F}{\partial \rho}\hat{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial F}{\partial \varphi}\hat{\varphi} + \frac{\partial F}{\partial z}\hat{k} \\ Grad (F) &= \frac{\partial F}{\partial \rho}\hat{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial F}{\partial \theta}\hat{\theta} + \frac{1}{\rho \sin{\theta}}\frac{\partial F}{\partial \varphi}\hat{\varphi} \end{align*} }$$
Operador Diferencial Vectorial Divergencia:
La definición de divergencia para un campo vectorial ${\large \vec{F} }$ es igual a:
$${\large \begin{equation*} Div (\vec{F}) = \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F} \cdot \vec{n} \right) \mathrm{d}S \right) \end{equation*} }$$
Demostración:
Divergencia en coordenadas curvilíneas ortogonales
Aplicando la definición de divergencia para un campo vectorial ${\large \vec{F} = (F_{1}, F_{2},F_{3})}$, donde ${\large F_{1}, F_{2}, F_{3}}$ son funciones escalares que dependen de ${\large u_{1}, u_{2}, u_{3}}$
$${\large \begin{equation*} Div (\vec{F}) = \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F} \cdot \vec{n} \right) \mathrm{d}S \right) \end{equation*}}$$
A su vez teniendo en cuenta que estamos trabajando en coordenadas curvilíneas ortogonales, entonces se tienen las siguientes datos de antemano.
$${\large \begin{align*} \triangle V &= \triangle u_{1} h_{1}\triangle u_{2} h_{2}\triangle u_{3} h_{3} \\ \| \vec{n_{i}} \| &= 1 \\ dS &= du_{i} h_i du_{j} h_j \end{align*} }$$
Por lo tanto tenemos la siguiente ecuación respectiva con respecto al gráfico anterior.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) \cdot \vec{n_1} + \vec{F}(u_1, u_2, u_3) \cdot \vec{n_2} \right) h_{2}h_{3} du_{2} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) \cdot \vec{n_3} + \vec{F}(u_1, u_2, u_3) \cdot \vec{n_4} \right) h_{1}h_{3} du_{1} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) \cdot \vec{n_5} + \vec{F}(u_1, u_2, u_3) \cdot \vec{n_6} \right) h_{1}h_{2} du_{1} du_{2} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (3) \end{split} \end{align*} }$$
Por consiguiente, si desarrollamos el producto punto la ecuación (3) se transforma en la siguiente ecuación respectiva.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( F_{1}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3} du_{2} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( F_{2}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3} du_{1} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( F_{3}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2} du_{1} du_{2} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (4) \end{split} \end{align*} }$$
Si escribimos ${\large dS = du_{i} h_i du_{j} h_j }$ en su forma explicita ${\large \triangle S = \triangle u_{i} h_i \triangle u_{j} h_j }$ para todos los casos en los cuales ${\large i \not= j }$ y a su vez reemplazamos ${\large \triangle V = \triangle u_{1} h_{1}\triangle u_{2} h_{2}\triangle u_{3} h_{3} }$ en la ecuación (4) de la divergencia que tenemos, entonces obtenemos la siguiente ecuación correspondiente.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{1} h_{1}h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{1}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3} \right) \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{2} h_{1}h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{2}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3} \right) \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{3} h_{1}h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{3}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2} \right) \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (5) \end{split} \end{align*} }$$
El volumen en el límite se mantiene constante, mientras que la superficie cambia debido al flujo $F_{k}h_{i}h_{j}(u_{k} + \triangle u_{k}, u_{i}, u_{j}) - F_{k}h_{i}h_{j}(u_{k}, u_{i}, u_{j}) $. Por consiguiente, los limites de la ecuación (5) quedan de la siguiente forma.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0} \left( \frac{ F_{1}h_{2}h_{3}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}h_{2}h_{3}(u_1, u_2, u_3) }{\triangle u_1} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0} \left( \frac{ F_{2}h_{1}h_{3}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}h_{1}h_{3}(u_1, u_2, u_3) }{\triangle u_2} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0} \left( \frac{ F_{3}h_{1}h_{2}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}h_{1}h_{2}(u_1, u_2, u_3) }{\triangle u_3} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (6) \end{split} \end{align*} }$$
Si desarrollamos el limite la ecuación (6) de la divergencia obtenemos la ecuación final de la ecuación final de la divergencia.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0} \left( \frac{ F_{1}h_{2}h_{3}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}h_{2}h_{3}(u_1, u_2, u_3) }{\triangle u_1} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0} \left( \frac{ F_{2}h_{1}h_{3}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}h_{1}h_{3}(u_1, u_2, u_3) }{\triangle u_2} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0} \left( \frac{ F_{3}h_{1}h_{2}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}h_{1}h_{2}(u_1, u_2, u_3) }{\triangle u_3} \right) \\ \\ Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial (F_{1} h_{2}h_{3})}{\partial u_{1}} + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial (F_{2} h_{1}h_{3})}{\partial u_{2}} + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\frac{\partial (F_{3} h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}} \\ \\ Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial (F_{1} h_{2}h_{3})}{\partial u_{1}} + \frac{\partial (F_{2} h_{1}h_{3})}{\partial u_{2}} + \frac{\partial (F_{3} h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}} \right] \\ \\ Div(\vec{F}) &= \nabla \cdot \vec{F} \end{split} \end{align*} }$$
La divergencia de un campo vectorial F en los sistemas de coordenadas curvilíneos más utilizados son el cartesiano, cilíndrico circular y esférico son los siguientes:
$${\large \begin{align*} Div (F) &= \frac{\partial (F_{x})}{\partial x} + \frac{\partial (F_{y})}{\partial y} + \frac{\partial (F_{z})}{\partial z} \\ Div (F) &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial (\rho F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial (F_{\varphi})}{\partial \varphi} + \frac{\partial (F_{z})}{\partial z} \\ Div (F) &= \frac{1}{\rho ^2}\frac{\partial (\rho ^2 F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho \sin{\theta}}\frac{\partial (\sin{\theta} F_{\theta})}{\partial \theta} + \frac{1}{\rho \sin{\theta}}\frac{\partial (F_{\varphi})}{\partial \varphi} \end{align*}}$$
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| Divergencia en coordenadas curvilíneas ortogonales |
Aplicando la definición de divergencia para un campo vectorial ${\large \vec{F} = (F_{1}, F_{2},F_{3})}$, donde ${\large F_{1}, F_{2}, F_{3}}$ son funciones escalares que dependen de ${\large u_{1}, u_{2}, u_{3}}$
$${\large \begin{equation*} Div (\vec{F}) = \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F} \cdot \vec{n} \right) \mathrm{d}S \right) \end{equation*}}$$
A su vez teniendo en cuenta que estamos trabajando en coordenadas curvilíneas ortogonales, entonces se tienen las siguientes datos de antemano.
$${\large \begin{align*} \triangle V &= \triangle u_{1} h_{1}\triangle u_{2} h_{2}\triangle u_{3} h_{3} \\ \| \vec{n_{i}} \| &= 1 \\ dS &= du_{i} h_i du_{j} h_j \end{align*} }$$
Por lo tanto tenemos la siguiente ecuación respectiva con respecto al gráfico anterior.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) \cdot \vec{n_1} + \vec{F}(u_1, u_2, u_3) \cdot \vec{n_2} \right) h_{2}h_{3} du_{2} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) \cdot \vec{n_3} + \vec{F}(u_1, u_2, u_3) \cdot \vec{n_4} \right) h_{1}h_{3} du_{1} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) \cdot \vec{n_5} + \vec{F}(u_1, u_2, u_3) \cdot \vec{n_6} \right) h_{1}h_{2} du_{1} du_{2} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (3) \end{split} \end{align*} }$$
Por consiguiente, si desarrollamos el producto punto la ecuación (3) se transforma en la siguiente ecuación respectiva.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( F_{1}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3} du_{2} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( F_{2}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3} du_{1} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( F_{3}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2} du_{1} du_{2} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (4) \end{split} \end{align*} }$$
Si escribimos ${\large dS = du_{i} h_i du_{j} h_j }$ en su forma explicita ${\large \triangle S = \triangle u_{i} h_i \triangle u_{j} h_j }$ para todos los casos en los cuales ${\large i \not= j }$ y a su vez reemplazamos ${\large \triangle V = \triangle u_{1} h_{1}\triangle u_{2} h_{2}\triangle u_{3} h_{3} }$ en la ecuación (4) de la divergencia que tenemos, entonces obtenemos la siguiente ecuación correspondiente.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{1} h_{1}h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{1}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3} \right) \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{2} h_{1}h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{2}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3} \right) \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{3} h_{1}h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{3}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2} \right) \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (5) \end{split} \end{align*} }$$
El volumen en el límite se mantiene constante, mientras que la superficie cambia debido al flujo $F_{k}h_{i}h_{j}(u_{k} + \triangle u_{k}, u_{i}, u_{j}) - F_{k}h_{i}h_{j}(u_{k}, u_{i}, u_{j}) $. Por consiguiente, los limites de la ecuación (5) quedan de la siguiente forma.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0} \left( \frac{ F_{1}h_{2}h_{3}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}h_{2}h_{3}(u_1, u_2, u_3) }{\triangle u_1} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0} \left( \frac{ F_{2}h_{1}h_{3}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}h_{1}h_{3}(u_1, u_2, u_3) }{\triangle u_2} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0} \left( \frac{ F_{3}h_{1}h_{2}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}h_{1}h_{2}(u_1, u_2, u_3) }{\triangle u_3} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (6) \end{split} \end{align*} }$$
Si desarrollamos el limite la ecuación (6) de la divergencia obtenemos la ecuación final de la ecuación final de la divergencia.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0} \left( \frac{ F_{1}h_{2}h_{3}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}h_{2}h_{3}(u_1, u_2, u_3) }{\triangle u_1} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0} \left( \frac{ F_{2}h_{1}h_{3}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}h_{1}h_{3}(u_1, u_2, u_3) }{\triangle u_2} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0} \left( \frac{ F_{3}h_{1}h_{2}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}h_{1}h_{2}(u_1, u_2, u_3) }{\triangle u_3} \right) \\ \\ Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial (F_{1} h_{2}h_{3})}{\partial u_{1}} + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial (F_{2} h_{1}h_{3})}{\partial u_{2}} + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\frac{\partial (F_{3} h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}} \\ \\ Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial (F_{1} h_{2}h_{3})}{\partial u_{1}} + \frac{\partial (F_{2} h_{1}h_{3})}{\partial u_{2}} + \frac{\partial (F_{3} h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}} \right] \\ \\ Div(\vec{F}) &= \nabla \cdot \vec{F} \end{split} \end{align*} }$$
La divergencia de un campo vectorial F en los sistemas de coordenadas curvilíneos más utilizados son el cartesiano, cilíndrico circular y esférico son los siguientes:
$${\large \begin{align*} Div (F) &= \frac{\partial (F_{x})}{\partial x} + \frac{\partial (F_{y})}{\partial y} + \frac{\partial (F_{z})}{\partial z} \\ Div (F) &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial (\rho F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial (F_{\varphi})}{\partial \varphi} + \frac{\partial (F_{z})}{\partial z} \\ Div (F) &= \frac{1}{\rho ^2}\frac{\partial (\rho ^2 F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho \sin{\theta}}\frac{\partial (\sin{\theta} F_{\theta})}{\partial \theta} + \frac{1}{\rho \sin{\theta}}\frac{\partial (F_{\varphi})}{\partial \varphi} \end{align*}}$$
Operador Diferencial Vectorial Rotacional:
La definición de rotacional para un campo vectorial $\vec{F}$ es igual a:
$${\large\begin{equation*} \vec{n} \cdot Rot (\vec{F}) = \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{S} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{l} \right) \end{equation*}}$$
Demostración:
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| Rotacional en coordenadas curvilíneas ortogonales |
Aplicando la definición de divergencia para un campo vectorial ${\large \vec{F} = (F_{1}, F_{2},F_{3}) }$, donde ${\large F_{1}, F_{2}, F_{3}}$ son funciones escalares que dependen de ${\large u_{1}, u_{2}, u_{3}}$
$${\large \begin{equation*} \vec{n} \cdot Rot (\vec{F}) = \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{l} \right) \end{equation*}}$$
A su vez teniendo en cuenta que estamos trabajando en coordenadas curvilíneas ortogonales, entonces se tienen las siguientes datos de antemano.
$${\large \begin{align*} \triangle S &= \triangle u_{i} h_{i}\triangle u_{j} h_{j} \\ \| \vec{n_{i}} \| &= 1 \\ dl_{i} &= h_{i}du_{i}\end{align*}}$$
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{2}U_{3} }$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{x} &= \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{C} \left( F_{3}(u_{1}, u_{2} + \triangle u_{2}, u_{3}) - F_{3}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) \mathrm{d} u_{3} h_{3}\right) \\ & - \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{C} \left( F_{2}(u_{1}, u_{2}, u_{3} + \triangle u_{3}) - F_{2}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) \mathrm{d} u_{2} h_{2}\right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (7) \end{split} \end{align*} }$$
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{1}U_{3} }$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{y} &= \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{C} \left( F_{1}(u_{1}, u_{2}, u_{3} + \triangle u_{3}) - F_{1}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) \mathrm{d} u_{1} h_{1}\right) \\ & - \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{C} \left( F_{3}(u_{1} + \triangle u_{1}, u_{2}, u_{3}) - F_{3}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) \mathrm{d} u_{3} h_{3}\right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (8) \end{split} \end{align*}}$$
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{1}U_{2} }$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{z} &= \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{C} \left( F_{2}(u_{1} + \triangle u_{1}, u_{2}, u_{3}) - F_{2}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) \mathrm{d} u_{2} h_{2}\right) \\ & + \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{C} \left( F_{1}(u_{1}, u_{2} + \triangle u_{2}, u_{3}) - F_{1}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) \mathrm{d} u_{1} h_{1}\right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (9) \end{split} \end{align*}}$$
Si escribimos ${\large du_{i}}$ en su forma explicita ${\large \triangle u_{i}}$, como también reemplazamos ${\large \triangle S_{ij} = \triangle u_{i} h_{i}\triangle u_{j} h_{j}}$ en las ecuaciones (7), (8) y (9) tenemos las siguientes ecuaciones respectivas.
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{2}U_{3} }$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{x} &= \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{2}h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{3}(u_{1}, u_{2} + \triangle u_{2}, u_{3}) - F_{3}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{3}\right) \right) \\ & - \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{3} h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{2}(u_{1}, u_{2}, u_{3} + \triangle u_{3}) - F_{2}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{2}\right) \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (10) \end{split} \end{align*}}$$
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{1}U_{3} }$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{y} &= \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{3}h_{1}h_{3}} \left( \left( F_{1}(u_{1}, u_{2}, u_{3} + \triangle u_{3}) - F_{1}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{1} \right) \right) \\ & - \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{1} h_{1}h_{3}} \left( \left( F_{3}(u_{1}+ \triangle u_{1}, u_{2}, u_{3}) - F_{3}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{3} \right) \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (11) \end{split} \end{align*}}$$
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{1}U_{2}}$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{z} &= \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{1}h_{1}h_{2}} \left( \left( F_{2}(u_{1}+ \triangle u_{1}, u_{2}, u_{3}) - F_{2}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{2}\right) \right) \\ & - \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{2} h_{1}h_{2}} \left( \left( F_{1}(u_{1}, u_{2} + \triangle u_{2}, u_{3}) - F_{1}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{1}\right) \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (12) \end{split} \end{align*}}$$
La superficie del volumen en el límite se mantiene constante, mientras que la longitud de la curva cambia debido a la circulación $F_{k}h_{k}(u_{k} + \triangle u_{k}, u_{i}, u_{j}) - F_{k}h_{k}(u_{k}, u_{i}, u_{j}) $. Por consiguiente, los limites de (10), (11) y (12) quedan de la siguiente forma.
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{2}U_{3}}$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{x} &= \frac{1}{h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0}\left( \frac{ F_{3}h_{3}(u_{1}, u_{2} + \triangle u_{2}, u_{3}) - F_{3}h_{3}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) }{\triangle u_{2}} \right) \\ & - \frac{1}{ h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0}\left( \frac{ F_{2}h_{2}(u_{1}, u_{2}, u_{3} + \triangle u_{3}) - F_{2}h_{2}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) }{\triangle u_{3}} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (13) \end{split} \end{align*} }$$
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{1}U_{3} }$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{y} &= \frac{1}{h_{1}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0}\left( \frac{ F_{1}h_{1}(u_{1}, u_{2}, u_{3} + \triangle u_{3}) - F_{1}h_{1}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) }{\triangle u_{3}} \right) \\ & - \frac{1}{ h_{1}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0}\left( \frac{ F_{3}h_{3}(u_{1} + \triangle u_{1}, u_{2}, u_{3}) - F_{3}h_{3}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) }{\triangle u_{1}} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (14) \end{split} \end{align*}}$$
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{1}U_{2}}$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{z} &= \frac{1}{h_{1}h_{2}} \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0}\left( \frac{ F_{2}h_{2}(u_{1}+ \triangle u_{1}, u_{2}, u_{3}) - F_{2}h_{2}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) }{\triangle u_{1}} \right) \\ & - \frac{1}{ h_{1}h_{2}} \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0}\left( \frac{ F_{1}h_{1}(u_{1}, u_{2} + \triangle u_{2}, u_{3}) - F_{1}h_{1}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) }{\triangle u_{2}} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (15) \end{split} \end{align*}}$$
Si desarrollamos los limites de las ecuaciones (13), (14) y (15) tenemos lo siguiente:
$${\large \begin{align*} G_{x} &= \frac{1}{h_{2}h_{3}} \left( \frac{\partial (F_{3}h_{3})}{\partial u_{2}} - \frac{\partial (F_{2}h_{2})}{\partial u_{3}} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (16) \\ G_{y} &= \frac{1}{h_{1}h_{3}} \left( \frac{\partial (F_{1}h_{1})}{\partial u_{3}} - \frac{\partial (F_{3}h_{3})}{\partial u_{1}} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (17) \\ G_{z} &= \frac{1}{h_{1}h_{2}} \left( \frac{\partial (F_{2}h_{2})}{\partial u_{1}} - \frac{\partial (F_{1}h_{1})}{\partial u_{2}} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (18) \end{align*} }$$
Para agrupar los valores de ${\large G_{x}, G_{y}, G_{z}}$ necesariamente el Rot(F) tiene que ser de la siguiente forma:
$${\large \begin{align*} Rot (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\begin{vmatrix} h_{1}\hat{u_1} & h_{2}\hat{u_2} & h_{3}\hat{u_3 } \\ \frac{\partial}{\partial u_{1}} & \frac{\partial}{\partial u_{2}} & \frac{\partial}{\partial u_{3}} \\ F_{1}h_{1} & F_{2}h_{2} & F_{3}h_{3} \end{vmatrix} \\ Rot (\vec{F}) &= \nabla \times \vec{F} \end{align*} }$$
El rotacional de un campo vectorial F en los sistemas de coordenadas curvilíneos más utilizados son el cartesiano, cilíndrico circular y esférico son los siguientes:
$${\large \begin{align*} Rot (F) &= \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{x} & F_{y} & F_{z} \end{vmatrix} \\ Rot (F) &= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \hat{\rho} & \rho \hat{\varphi} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \varphi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{\rho} & \rho F_{\varphi} & F_{z} \end{vmatrix} \\ Rot (F) &= \frac{1}{\rho ^2 \sin{\theta}}\begin{vmatrix} \hat{\rho} & \rho \hat{\theta} & \rho \sin{\theta}\hat{\varphi} \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \varphi} \\ F_{\rho} & \rho F_{\theta} & \rho \sin{\theta} F_{\varphi} \end{vmatrix} \end{align*} }$$
Operador Diferencial Vectorial Laplaciano:
La definición de laplaciano para un campo escalar F es igual a:
$${\large \begin{equation*} Lap (F) = Div ( Grad (F) ) \end{equation*}}$$
Las ecuaciones del gradiente y la divergencia en coordenadas curvilíneas ortogonales son las siguientes ecuaciones correspondientes.
$${\large \begin{align*} Grad (F) &= \frac{\hat{u_1}}{h_1} \frac{\partial F}{\partial u_{1}} + \frac{\hat{u_2}}{h_2} \frac{\partial F}{\partial u_{2}} + \frac{\hat{u_3}}{h_3} \frac{\partial F}{\partial u_{3}} \\ Div (F) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial (F_{1} h_{2}h_{3})}{\partial u_{1}} + \frac{\partial (F_{2} h_{1}h_{3})}{\partial u_{2}} + \frac{\partial (F_{3} h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}} \right] \end{align*} }$$
Demostración
Ya con las ecuaciones obtenidas anteriormente del gradiente y la divergencia de un campo vectorial F en coordenadas curvilíneas ortogonales. Ahora con solo reemplazar podemos obtener el operador Laplaciano.
$${\large \begin{align*} Lap (F) &= Div ( Grad (F)) \\ \\ Lap (F) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial( Grad (F_1) h_{2}h_{3})}{\partial u_{1}} + \frac{\partial (Grad (F_2) h_{1}h_{3})}{\partial u_{2}} + \frac{\partial (Grad (F_3) h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}} \right] \\ \\ Lap (F) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial }{\partial u_{1}} \left( \frac{h_{2}h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial F}{\partial u_{1}} \right) + \frac{\partial }{\partial u_{2}} \left( \frac{h_{1}h_{3}}{h_{2}} \frac{\partial F}{\partial u_{2}} \right) + \frac{\partial }{\partial u_{3}} \left( \frac{h_{1}h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial F}{\partial u_{3}} \right)\right] \\ \\ Lap (F) &= \nabla^2 F \end{align*} }$$
El Laplaciano de un campo vectorial F en los sistemas de coordenadas curvilíneos más utilizados son el cartesiano, cilíndrico circular y esférico son los siguientes:
$${\large \begin{align*} Lap (F) &= \frac{\partial }{\partial x} \left(\frac{\partial F}{\partial x} \right) + \frac{\partial }{\partial y } \left( \frac{\partial F}{\partial y} \right) + \frac{\partial }{\partial z} \left( \frac{\partial F}{\partial z} \right) \\ Lap (F) &= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial }{\partial \rho} \left( \rho \frac{\partial F}{\partial \rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \varphi} \left( \frac{1}{\rho} \frac{\partial F}{\partial \varphi} \right) + \frac{\partial }{\partial z} \left( \rho \frac{\partial F}{\partial z} \right)\right] \\ Lap (F) &= \frac{1}{\rho ^2 \sin{\theta}} \left[ \frac{\partial }{\partial \rho} \left( \rho^2 \sin{\theta} \frac{\partial F}{\partial \rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \sin{\theta} \frac{\partial F}{\partial \theta} \right) + \frac{\partial }{\partial \varphi} \left( \frac{1}{\sin{\theta}} \frac{\partial F}{\partial \varphi} \right)\right] \end{align*} }$$
Ya con las ecuaciones obtenidas anteriormente del gradiente y la divergencia de un campo vectorial F en coordenadas curvilíneas ortogonales. Ahora con solo reemplazar podemos obtener el operador Laplaciano.
$${\large \begin{align*} Lap (F) &= Div ( Grad (F)) \\ \\ Lap (F) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial( Grad (F_1) h_{2}h_{3})}{\partial u_{1}} + \frac{\partial (Grad (F_2) h_{1}h_{3})}{\partial u_{2}} + \frac{\partial (Grad (F_3) h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}} \right] \\ \\ Lap (F) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial }{\partial u_{1}} \left( \frac{h_{2}h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial F}{\partial u_{1}} \right) + \frac{\partial }{\partial u_{2}} \left( \frac{h_{1}h_{3}}{h_{2}} \frac{\partial F}{\partial u_{2}} \right) + \frac{\partial }{\partial u_{3}} \left( \frac{h_{1}h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial F}{\partial u_{3}} \right)\right] \\ \\ Lap (F) &= \nabla^2 F \end{align*} }$$
El Laplaciano de un campo vectorial F en los sistemas de coordenadas curvilíneos más utilizados son el cartesiano, cilíndrico circular y esférico son los siguientes:
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