Las coordenadas curvilíneas ortogonales son un sistema de coordenadas en los cuales los vectores unitarios son una base ortonormal. Por consiguiente cumplen la propiedad de la delta de kronecker.
$${\large \begin{equation*} \hat{u_{i}} \cdot \hat{u_{j}} = \delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{lcc} 1 & si & i = j \\ 0 & si & i \not= j \\ \end{array} \right. \end{equation*} }$$
Antes de empezar a definir los operadores diferenciales vectoriales gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano para un campo F, comenzamos definiendo primeramente el operador diferencial vectorial nabla en coordenadas curvilíneas ortogonales.
$${\large \begin{equation*} \nabla = \frac{\hat{u_1}}{h_1} \frac{\partial }{\partial u_{1}} + \frac{\hat{u_2}}{h_2} \frac{\partial }{\partial u_{2}} + \frac{\hat{u_3}}{h_3} \frac{\partial }{\partial u_{3}} \end{equation*} }$$
Donde:
- ${\large \vec{u_{i}} }$ es el vector dirección y igual a ${\large \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}}}$
- ${\large h_{i} }$ es el factor de escala y es igual a ${\large \|\frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}}\| }$
- ${\large \hat{u_i} }$ es el vector unitario y es igual a ${\large \frac{\vec{u_{i}}}{h_{i}} }$
Operador Diferencial Vectorial Gradiente:
La definición de gradiente para un campo escalar F es igual a:
$${\large \begin{equation*} D_{\vec{v}} F = Grad (F) \cdot d\vec{v} \end{equation*} }$$
Demostración:
 |
| Derivada Direccional de un campo escalar F ($u_1, u_2, u_3$) |
Si la función ${\large F(u_1, u_2, u_3) }$ es un campo escalar diferenciable y continua para todos los puntos de su dominio, entonces su derivada direccional con respecto al vector ${\large \vec{v} }$ es igual a:
$${\large \begin{align*} D_{\vec{v}} F &= \lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{F(u_{i} + \vec{v}h) - F(u_{i})}{h} \right) \\ D_{\vec{v}} F &= \lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{F( (u_{1},u_{2},u_{3}) + (v_{1},v_{2},v_{3})h) - F(u_{1},u_{2},u_{3})}{h} \right) \\ D_{\vec{v}} F &= \lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{F (u_{1} + v_{1}h, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h ) - F(u_{1},u_{2},u_{3})}{h} \right) \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (1) \end{align*} }$$
Si sumamos y restamos a la ecuación (1) las funciones ${\large F(u_{1}, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h) }$ y ${\large F(u_{1}, u_{2}, u_{3} + v_{3}h)}$ y agrupando los términos correspondientes tenemos lo siguiente:
$${\large \begin{align*} \begin{split} D_{\vec{v}} F & = \lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{ F(u_{1} + v_{1}h, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h ) - F(u_{1}, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h ) }{h} \right) \\ & + \lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{ F(u_{1}, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h ) - F(u_{1}, u_{2}, u_{3} + v_{3}h ) }{h} \right) \\ & + \lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{ F(u_{1}, u_{2}, u_{3} + v_{3}h ) - F(u_{1}, u_{2} + v_{2}h, u_{3} ) }{h} \right) \end{split} \\ \begin{split} D_{\vec{v}} F & = v_{1}\lim\limits_{h \to 0}\left(\frac{ F(u_{1} + v_{1}h, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h ) - F(u_{1}, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h}{v_{1}h} \right) \\ & + v_{2}\lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{ F(u_{1}, u_{2} + v_{2}h, u_{3} + v_{3}h ) - F(u_{1}, u_{2}, u_{3} + v_{3}h ) }{v_{2}h} \right) \\ & + v_{3}\lim\limits_{h \to 0}\left( \frac{ F(u_{1}, u_{2}, u_{3} + v_{3}h ) - F(u_{1}, u_{2} + v_{2}h, u_{3} ) }{v_{3}h} \right) \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (2) \end{split} \end{align*} }$$
Por tanto la ecuación (2) se transforma en lo siguiente:
$${\large \begin{equation*} D_{\vec{v}} F = v_{1}\frac{\partial F}{\partial u_{1}} + v_{2}\frac{\partial F}{\partial u_{2}} + v_{3}\frac{\partial F}{\partial u_{3}} \end{equation*} }$$
Si relacionamos la derivada direccional ${\large D_{\vec{v}} F }$ con el vector ${\large \vec{v} }$ mediante el producto punto tenemos lo siguiente.
$${\large \begin{align*} D_{\vec{v}} F &= Grad (F) \cdot d \vec{v} \\ v_{1}\frac{\partial F}{\partial u_{1}} + v_{2}\frac{\partial F}{\partial u_{2}} + v_{3}\frac{\partial F}{\partial u_{3}} &= Grad (F) \cdot (h_{1} v_1, h_{2} v_2, h_{3} v_3) \\ Grad (F) &= \frac{\hat{u_1}}{h_1} \frac{\partial F}{\partial u_{1}} + \frac{\hat{u_2}}{h_2} \frac{\partial F}{\partial u_{2}} + \frac{\hat{u_3}}{h_3} \frac{\partial F}{\partial u_{3}} \\ Grad (F) &= \nabla F \end{align*} }$$
El gradiente de un campo vectorial en los sistemas de coordenadas curvilíneos más utilizados son el cartesiano, cilíndrico circular y esférico son los siguientes:
$${\large \begin{align*} Grad (F) &= \frac{\partial F}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial F}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial F}{\partial z}\hat{k} \\ Grad (F) &= \frac{\partial F}{\partial \rho}\hat{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial F}{\partial \varphi}\hat{\varphi} + \frac{\partial F}{\partial z}\hat{k} \\ Grad (F) &= \frac{\partial F}{\partial \rho}\hat{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial F}{\partial \theta}\hat{\theta} + \frac{1}{\rho \sin{\theta}}\frac{\partial F}{\partial \varphi}\hat{\varphi} \end{align*} }$$
Operador Diferencial Vectorial Divergencia:
La definición de divergencia para un campo vectorial ${\large \vec{F} }$ es igual a:
$${\large \begin{equation*} Div (\vec{F}) = \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F} \cdot \vec{n} \right) \mathrm{d}S \right) \end{equation*} }$$
Demostración:
Divergencia en coordenadas curvilíneas ortogonales
Aplicando la definición de divergencia para un campo vectorial ${\large \vec{F} = (F_{1}, F_{2},F_{3})}$, donde ${\large F_{1}, F_{2}, F_{3}}$ son funciones escalares que dependen de ${\large u_{1}, u_{2}, u_{3}}$
$${\large \begin{equation*} Div (\vec{F}) = \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F} \cdot \vec{n} \right) \mathrm{d}S \right) \end{equation*}}$$
A su vez teniendo en cuenta que estamos trabajando en coordenadas curvilíneas ortogonales, entonces se tienen las siguientes datos de antemano.
$${\large \begin{align*} \triangle V &= \triangle u_{1} h_{1}\triangle u_{2} h_{2}\triangle u_{3} h_{3} \\ \| \vec{n_{i}} \| &= 1 \\ dS &= du_{i} h_i du_{j} h_j \end{align*} }$$
Por lo tanto tenemos la siguiente ecuación respectiva con respecto al gráfico anterior.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) \cdot \vec{n_1} + \vec{F}(u_1, u_2, u_3) \cdot \vec{n_2} \right) h_{2}h_{3} du_{2} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) \cdot \vec{n_3} + \vec{F}(u_1, u_2, u_3) \cdot \vec{n_4} \right) h_{1}h_{3} du_{1} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) \cdot \vec{n_5} + \vec{F}(u_1, u_2, u_3) \cdot \vec{n_6} \right) h_{1}h_{2} du_{1} du_{2} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (3) \end{split} \end{align*} }$$
Por consiguiente, si desarrollamos el producto punto la ecuación (3) se transforma en la siguiente ecuación respectiva.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( F_{1}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3} du_{2} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( F_{2}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3} du_{1} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( F_{3}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2} du_{1} du_{2} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (4) \end{split} \end{align*} }$$
Si escribimos ${\large dS = du_{i} h_i du_{j} h_j }$ en su forma explicita ${\large \triangle S = \triangle u_{i} h_i \triangle u_{j} h_j }$ para todos los casos en los cuales ${\large i \not= j }$ y a su vez reemplazamos ${\large \triangle V = \triangle u_{1} h_{1}\triangle u_{2} h_{2}\triangle u_{3} h_{3} }$ en la ecuación (4) de la divergencia que tenemos, entonces obtenemos la siguiente ecuación correspondiente.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{1} h_{1}h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{1}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3} \right) \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{2} h_{1}h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{2}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3} \right) \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{3} h_{1}h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{3}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2} \right) \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (5) \end{split} \end{align*} }$$
Como los factores de escala depende de las variables ${\large u_{1}, u_{2}, u_{3} }$ entonces los limites (5) queda de la siguiente forma.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0} \left( \frac{\left( F_{1}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3}}{\triangle u_1} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0} \left( \frac{\left( F_{2}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3}}{\triangle u_2} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0} \left( \frac{\left( F_{3}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2}}{\triangle u_3} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (6) \end{split} \end{align*} }$$
Si desarrollamos el limite la ecuación (6) de la divergencia obtenemos la ecuación final de la ecuación final de la divergencia.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0} \left( \frac{\left( F_{1}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3}}{\triangle u_1} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0} \left( \frac{\left( F_{2}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3}}{\triangle u_2} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0} \left( \frac{\left( F_{3}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2}}{\triangle u_3} \right) \\ \\ Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial (F_{1} h_{2}h_{3})}{\partial u_{1}} + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial (F_{2} h_{1}h_{3})}{\partial u_{2}} + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\frac{\partial (F_{3} h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}} \\ \\ Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial (F_{1} h_{2}h_{3})}{\partial u_{1}} + \frac{\partial (F_{2} h_{1}h_{3})}{\partial u_{2}} + \frac{\partial (F_{3} h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}} \right] \\ \\ Div(\vec{F}) &= \nabla \cdot \vec{F} \end{split} \end{align*} }$$
La divergencia de un campo vectorial F en los sistemas de coordenadas curvilíneos más utilizados son el cartesiano, cilíndrico circular y esférico son los siguientes:
$${\large \begin{align*} Div (F) &= \frac{\partial (F_{x})}{\partial x} + \frac{\partial (F_{y})}{\partial y} + \frac{\partial (F_{z})}{\partial z} \\ Div (F) &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial (\rho F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial (F_{\varphi})}{\partial \varphi} + \frac{\partial (F_{z})}{\partial z} \\ Div (F) &= \frac{1}{\rho ^2}\frac{\partial (\rho ^2 F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho \sin{\theta}}\frac{\partial (\sin{\theta} F_{\theta})}{\partial \theta}\hat{\theta} + \frac{1}{\rho \sin{\theta}}\frac{\partial (F_{\varphi})}{\partial \varphi} \end{align*}}$$
 |
| Divergencia en coordenadas curvilíneas ortogonales |
Aplicando la definición de divergencia para un campo vectorial ${\large \vec{F} = (F_{1}, F_{2},F_{3})}$, donde ${\large F_{1}, F_{2}, F_{3}}$ son funciones escalares que dependen de ${\large u_{1}, u_{2}, u_{3}}$
$${\large \begin{equation*} Div (\vec{F}) = \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F} \cdot \vec{n} \right) \mathrm{d}S \right) \end{equation*}}$$
A su vez teniendo en cuenta que estamos trabajando en coordenadas curvilíneas ortogonales, entonces se tienen las siguientes datos de antemano.
$${\large \begin{align*} \triangle V &= \triangle u_{1} h_{1}\triangle u_{2} h_{2}\triangle u_{3} h_{3} \\ \| \vec{n_{i}} \| &= 1 \\ dS &= du_{i} h_i du_{j} h_j \end{align*} }$$
Por lo tanto tenemos la siguiente ecuación respectiva con respecto al gráfico anterior.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) \cdot \vec{n_1} + \vec{F}(u_1, u_2, u_3) \cdot \vec{n_2} \right) h_{2}h_{3} du_{2} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) \cdot \vec{n_3} + \vec{F}(u_1, u_2, u_3) \cdot \vec{n_4} \right) h_{1}h_{3} du_{1} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( \vec{F}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) \cdot \vec{n_5} + \vec{F}(u_1, u_2, u_3) \cdot \vec{n_6} \right) h_{1}h_{2} du_{1} du_{2} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (3) \end{split} \end{align*} }$$
Por consiguiente, si desarrollamos el producto punto la ecuación (3) se transforma en la siguiente ecuación respectiva.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( F_{1}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3} du_{2} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( F_{2}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3} du_{1} du_{3} \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle V \to 0}\left( \frac{1}{\triangle V} \oint_{S} \left( F_{3}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2} du_{1} du_{2} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (4) \end{split} \end{align*} }$$
Si escribimos ${\large dS = du_{i} h_i du_{j} h_j }$ en su forma explicita ${\large \triangle S = \triangle u_{i} h_i \triangle u_{j} h_j }$ para todos los casos en los cuales ${\large i \not= j }$ y a su vez reemplazamos ${\large \triangle V = \triangle u_{1} h_{1}\triangle u_{2} h_{2}\triangle u_{3} h_{3} }$ en la ecuación (4) de la divergencia que tenemos, entonces obtenemos la siguiente ecuación correspondiente.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{1} h_{1}h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{1}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3} \right) \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{2} h_{1}h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{2}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3} \right) \right) \\ & + \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{3} h_{1}h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{3}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2} \right) \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (5) \end{split} \end{align*} }$$
Como los factores de escala depende de las variables ${\large u_{1}, u_{2}, u_{3} }$ entonces los limites (5) queda de la siguiente forma.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0} \left( \frac{\left( F_{1}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3}}{\triangle u_1} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0} \left( \frac{\left( F_{2}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3}}{\triangle u_2} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0} \left( \frac{\left( F_{3}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2}}{\triangle u_3} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (6) \end{split} \end{align*} }$$
Si desarrollamos el limite la ecuación (6) de la divergencia obtenemos la ecuación final de la ecuación final de la divergencia.
$${\large \begin{align*} \begin{split} Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0} \left( \frac{\left( F_{1}(u_1 + \triangle u_{1}, u_2, u_3) - F_{1}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{2}h_{3}}{\triangle u_1} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0} \left( \frac{\left( F_{2}(u_1, u_2 + \triangle u_{2}, u_3) - F_{2}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{3}}{\triangle u_2} \right) \\ & + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0} \left( \frac{\left( F_{3}(u_1, u_2, u_3 + \triangle u_{3}) - F_{3}(u_1, u_2, u_3) \right) h_{1}h_{2}}{\triangle u_3} \right) \\ \\ Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial (F_{1} h_{2}h_{3})}{\partial u_{1}} + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial (F_{2} h_{1}h_{3})}{\partial u_{2}} + \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\frac{\partial (F_{3} h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}} \\ \\ Div (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial (F_{1} h_{2}h_{3})}{\partial u_{1}} + \frac{\partial (F_{2} h_{1}h_{3})}{\partial u_{2}} + \frac{\partial (F_{3} h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}} \right] \\ \\ Div(\vec{F}) &= \nabla \cdot \vec{F} \end{split} \end{align*} }$$
La divergencia de un campo vectorial F en los sistemas de coordenadas curvilíneos más utilizados son el cartesiano, cilíndrico circular y esférico son los siguientes:
$${\large \begin{align*} Div (F) &= \frac{\partial (F_{x})}{\partial x} + \frac{\partial (F_{y})}{\partial y} + \frac{\partial (F_{z})}{\partial z} \\ Div (F) &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial (\rho F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial (F_{\varphi})}{\partial \varphi} + \frac{\partial (F_{z})}{\partial z} \\ Div (F) &= \frac{1}{\rho ^2}\frac{\partial (\rho ^2 F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho \sin{\theta}}\frac{\partial (\sin{\theta} F_{\theta})}{\partial \theta}\hat{\theta} + \frac{1}{\rho \sin{\theta}}\frac{\partial (F_{\varphi})}{\partial \varphi} \end{align*}}$$
Operador Diferencial Vectorial Rotacional:
La definición de rotacional para un campo vectorial $\vec{F}$ es igual a:
$${\large\begin{equation*} \vec{n} \cdot Rot (\vec{F}) = \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{S} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{l} \right) \end{equation*}}$$
Demostración:
 |
| Rotacional en coordenadas curvilíneas ortogonales |
Aplicando la definición de divergencia para un campo vectorial ${\large \vec{F} = (F_{1}, F_{2},F_{3}) }$, donde ${\large F_{1}, F_{2}, F_{3}}$ son funciones escalares que dependen de ${\large u_{1}, u_{2}, u_{3}}$
$${\large \begin{equation*} \vec{n} \cdot Rot (\vec{F}) = \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{l} \right) \end{equation*}}$$
A su vez teniendo en cuenta que estamos trabajando en coordenadas curvilíneas ortogonales, entonces se tienen las siguientes datos de antemano.
$${\large \begin{align*} \triangle S &= \triangle u_{i} h_{i}\triangle u_{j} h_{j} \\ \| \vec{n_{i}} \| &= 1 \\ dl_{i} &= h_{i}du_{i}\end{align*}}$$
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{2}U_{3} }$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{x} &= \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{C} \left( F_{3}(u_{1}, u_{2} + \triangle u_{2}, u_{3}) - F_{3}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) \mathrm{d} u_{3} h_{3}\right) \\ & - \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{C} \left( F_{2}(u_{1}, u_{2}, u_{3} + \triangle u_{3}) - F_{2}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) \mathrm{d} u_{2} h_{2}\right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (7) \end{split} \end{align*} }$$
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{1}U_{3} }$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{y} &= \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{C} \left( F_{1}(u_{1}, u_{2}, u_{3} + \triangle u_{3}) - F_{1}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) \mathrm{d} u_{1} h_{1}\right) \\ & - \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{C} \left( F_{3}(u_{1} + \triangle u_{1}, u_{2}, u_{3}) - F_{3}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) \mathrm{d} u_{3} h_{3}\right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (8) \end{split} \end{align*}}$$
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{1}U_{2} }$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{z} &= \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{C} \left( F_{2}(u_{1} + \triangle u_{1}, u_{2}, u_{3}) - F_{2}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) \mathrm{d} u_{2} h_{2}\right) \\ & + \lim\limits_{\triangle S \to 0}\left( \frac{1}{\triangle S} \oint_{C} \left( F_{1}(u_{1}, u_{2} + \triangle u_{2}, u_{3}) - F_{1}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) \mathrm{d} u_{1} h_{1}\right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (9) \end{split} \end{align*}}$$
Si escribimos ${\large du_{i}}$ en su forma explicita ${\large \triangle u_{i}}$, como también reemplazamos ${\large \triangle S_{ij} = \triangle u_{i} h_{i}\triangle u_{j} h_{j}}$ en las ecuaciones (7), (8) y (9) tenemos las siguientes ecuaciones respectivas.
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{2}U_{3} }$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{x} &= \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{2}h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{3}(u_{1}, u_{2} + \triangle u_{2}, u_{3}) - F_{3}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{3}\right) \right) \\ & - \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{3} h_{2}h_{3}} \left( \left( F_{2}(u_{1}, u_{2}, u_{3} + \triangle u_{3}) - F_{2}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{2}\right) \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (10) \end{split} \end{align*}}$$
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{1}U_{3} }$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{y} &= \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{3}h_{1}h_{3}} \left( \left( F_{1}(u_{1}, u_{2}, u_{3} + \triangle u_{3}) - F_{1}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{1} \right) \right) \\ & - \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{1} h_{1}h_{3}} \left( \left( F_{3}(u_{1}+ \triangle u_{1}, u_{2}, u_{3}) - F_{3}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{3} \right) \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (11) \end{split} \end{align*}}$$
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{1}U_{2}}$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{z} &= \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{1}h_{1}h_{2}} \left( \left( F_{2}(u_{1}+ \triangle u_{1}, u_{2}, u_{3}) - F_{2}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{2}\right) \right) \\ & - \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0}\left( \frac{1}{\triangle u_{2} h_{1}h_{2}} \left( \left( F_{1}(u_{1}, u_{2} + \triangle u_{2}, u_{3}) - F_{1}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{1}\right) \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (12) \end{split} \end{align*}}$$
Como los factores de escala depende de las variables ${\large u_{1}, u_{2}, u_{3} }$ entonces los limites de (10), (11) y (12) quedan de la siguiente forma.
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{2}U_{3}}$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{x} &= \frac{1}{h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0}\left( \frac{\left( F_{3}(u_{1}, u_{2} + \triangle u_{2}, u_{3}) - F_{3}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{3}}{\triangle u_{2}} \right) \\ & - \frac{1}{ h_{2}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0}\left( \frac{\left( F_{2}(u_{1}, u_{2}, u_{3} + \triangle u_{3}) - F_{2}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{2}}{\triangle u_{3}} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (13) \end{split} \end{align*} }$$
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{1}U_{3} }$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{y} &= \frac{1}{h_{1}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{3} \to 0}\left( \frac{\left( F_{1}(u_{1}+ \triangle u_{1}, u_{2}, u_{3}) - F_{1}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{3}}{\triangle u_{3}} \right) \\ & - \frac{1}{ h_{1}h_{3}} \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0}\left( \frac{\left( F_{3}(u_{1}, u_{2}, u_{3}+ \triangle u_{3}) - F_{3}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{1}}{\triangle u_{1}} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (14) \end{split} \end{align*}}$$
Para la superficie con vector normal perpendicular a la superficie ${\large U_{1}U_{2}}$
$${\large \begin{align*} \begin{split} G_{z} &= \frac{1}{h_{1}h_{2}} \lim\limits_{\triangle u_{2} \to 0}\left( \frac{\left( F_{2}(u_{1}+ \triangle u_{1}, u_{2}, u_{3}) - F_{2}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{2}}{\triangle u_{1}} \right) \\ & - \frac{1}{ h_{1}h_{2}} \lim\limits_{\triangle u_{1} \to 0}\left( \frac{\left( F_{1}(u_{1}, u_{2} + \triangle u_{2}, u_{3}) - F_{1}(u_{1} , u_{2}, u_{3}) \right) h_{1}}{\triangle u_{2}} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (15) \end{split} \end{align*}}$$
Si desarrollamos los limites de las ecuaciones (13), (14) y (15) tenemos lo siguiente:
$${\large \begin{align*} G_{x} &= \frac{1}{h_{2}h_{3}} \left( \frac{\partial (F_{3}h_{3})}{\partial u_{2}} - \frac{\partial (F_{2}h_{2})}{\partial u_{3}} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (16) \\ G_{y} &= \frac{1}{h_{1}h_{3}} \left( \frac{\partial (F_{1}h_{1})}{\partial u_{3}} - \frac{\partial (F_{3}h_{3})}{\partial u_{1}} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (17) \\ G_{z} &= \frac{1}{h_{1}h_{2}} \left( \frac{\partial (F_{2}h_{2})}{\partial u_{1}} - \frac{\partial (F_{1}h_{1})}{\partial u_{2}} \right) \hspace{0.8cm}...\hspace{0.2cm} (18) \end{align*} }$$
Los vectores normales con respecto a la superficies donde se realizan la circulación son:
$$ {\large \begin{align*} \vec{n}_{G_{x}} &= (\frac{\vec{u_1}}{h_{1}},0,0) \\ \vec{n}_{G_{y}} &= (0,\frac{\vec{u_{2}}}{h_{2}},0) \\ \vec{n}_{G_{z}} &= (0,0,\frac{\vec{u_{3}}}{h_{3}}) \end{align*}} $$
Para que se cumplan los valores de ${\large G_{x}, G_{y}, G_{z}}$ necesariamente el Rot(F) tiene que ser de la siguiente forma:
$${\large \begin{align*} Rot (\vec{F}) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\begin{vmatrix} h_{1}\hat{u_1} & h_{2}\hat{u_2} & h_{3}\hat{u_3 } \\ \frac{\partial}{\partial u_{1}} & \frac{\partial}{\partial u_{2}} & \frac{\partial}{\partial u_{3}} \\ F_{1}h_{1} & F_{2}h_{2} & F_{3}h_{3} \end{vmatrix} \\ Rot (\vec{F}) &= \nabla \times \vec{F} \end{align*} }$$
El rotacional de un campo vectorial F en los sistemas de coordenadas curvilíneos más utilizados son el cartesiano, cilíndrico circular y esférico son los siguientes:
$${\large \begin{align*} Rot (F) &= \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{x} & F_{y} & F_{z} \end{vmatrix} \\ Rot (F) &= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \hat{\rho} & \rho \hat{\varphi} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \varphi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{\rho} & \rho F_{\varphi} & F_{z} \end{vmatrix} \\ Rot (F) &= \frac{1}{\rho ^2 \sin{\theta}}\begin{vmatrix} \hat{\rho} & \rho \hat{\theta} & \rho \sin{\theta}\hat{\varphi} \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \varphi} \\ F_{\rho} & \rho F_{\theta} & \rho \sin{\theta} F_{\varphi} \end{vmatrix} \end{align*} }$$
Operador Diferencial Vectorial Laplaciano:
La definición de laplaciano para un campo escalar F es igual a:
$${\large \begin{equation*} Lap (F) = Div ( Grad (F) ) \end{equation*}}$$
Las ecuaciones del gradiente y la divergencia en coordenadas curvilíneas ortogonales son las siguientes ecuaciones correspondientes.
$${\large \begin{align*} Grad (F) &= \frac{\hat{u_1}}{h_1} \frac{\partial F}{\partial u_{1}} + \frac{\hat{u_2}}{h_2} \frac{\partial F}{\partial u_{2}} + \frac{\hat{u_3}}{h_3} \frac{\partial F}{\partial u_{3}} \\ Div (F) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial (F_{1} h_{2}h_{3})}{\partial u_{1}} + \frac{\partial (F_{2} h_{1}h_{3})}{\partial u_{2}} + \frac{\partial (F_{3} h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}} \right] \end{align*} }$$
Demostración
Ya con las ecuaciones obtenidas anteriormente del gradiente y la divergencia de un campo vectorial F en coordenadas curvilíneas ortogonales. Ahora con solo reemplazar podemos obtener el operador Laplaciano.
$${\large \begin{align*} Lap (F) &= Div ( Grad (F)) \\ \\ Lap (F) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial( Grad (F_1) h_{2}h_{3})}{\partial u_{1}} + \frac{\partial (Grad (F_2) h_{1}h_{3})}{\partial u_{2}} + \frac{\partial (Grad (F_3) h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}} \right] \\ \\ Lap (F) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial }{\partial u_{1}} \left( \frac{h_{2}h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial F}{\partial u_{1}} \right) + \frac{\partial }{\partial u_{2}} \left( \frac{h_{1}h_{3}}{h_{2}} \frac{\partial F}{\partial u_{2}} \right) + \frac{\partial }{\partial u_{3}} \left( \frac{h_{1}h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial F}{\partial u_{3}} \right)\right] \\ \\ Lap (F) &= \nabla^2 F \end{align*} }$$
El Laplaciano de un campo vectorial F en los sistemas de coordenadas curvilíneos más utilizados son el cartesiano, cilíndrico circular y esférico son los siguientes:
$${\large \begin{align*} Lap (F) &= \frac{\partial }{\partial x} \left(\frac{\partial F}{\partial x} \right) + \frac{\partial }{\partial y } \left( \frac{\partial F}{\partial y} \right) + \frac{\partial }{\partial z} \left( \frac{\partial F}{\partial z} \right) \\ Lap (F) &= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial }{\partial \rho} \left( \rho \frac{\partial F}{\partial \rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \varphi} \left( \frac{1}{\rho} \frac{\partial F}{\partial \varphi} \right) + \frac{\partial }{\partial z} \left( \rho \frac{\partial F}{\partial z} \right)\right] \\ Lap (F) &= \frac{1}{\rho ^2 \sin{\theta}} \left[ \frac{\partial }{\partial \rho} \left( \rho^2 \sin{\theta} \frac{\partial F}{\partial \rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \sin{\theta} \frac{\partial F}{\partial \theta} \right) + \frac{\partial }{\partial \varphi} \left( \frac{1}{\sin{\theta}} \frac{\partial F}{\partial \varphi} \right)\right] \end{align*} }$$
Ya con las ecuaciones obtenidas anteriormente del gradiente y la divergencia de un campo vectorial F en coordenadas curvilíneas ortogonales. Ahora con solo reemplazar podemos obtener el operador Laplaciano.
$${\large \begin{align*} Lap (F) &= Div ( Grad (F)) \\ \\ Lap (F) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial( Grad (F_1) h_{2}h_{3})}{\partial u_{1}} + \frac{\partial (Grad (F_2) h_{1}h_{3})}{\partial u_{2}} + \frac{\partial (Grad (F_3) h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}} \right] \\ \\ Lap (F) &= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial }{\partial u_{1}} \left( \frac{h_{2}h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial F}{\partial u_{1}} \right) + \frac{\partial }{\partial u_{2}} \left( \frac{h_{1}h_{3}}{h_{2}} \frac{\partial F}{\partial u_{2}} \right) + \frac{\partial }{\partial u_{3}} \left( \frac{h_{1}h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial F}{\partial u_{3}} \right)\right] \\ \\ Lap (F) &= \nabla^2 F \end{align*} }$$
El Laplaciano de un campo vectorial F en los sistemas de coordenadas curvilíneos más utilizados son el cartesiano, cilíndrico circular y esférico son los siguientes:
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