Ecuación de Rydberg

La ecuación de Rydberg es una consecuencia de los postulados del modelo atómico de Bohr. Modelo atómico que a diferencia del modelo anterior de Rutherford incorpora las ideas iniciales de la mecánica cuántica, tales como la energía en paquetes y la cuantización del momento angular. En este modelo del átomo los electrones se mueven en trayectorias circulares a los que se les llama orbitas.

Modelo Atómico de Bohr

Primer Postulado de Bohr

El primer postulado de Bohr expresa que el electrón gira alrededor del núcleo atómico siguiendo un movimiento circunferencial. Por consiguiente la fuerza eléctrica es igual a la fuerza centrípeta. 

$${\large \begin{align*} F_{e} &= F_{cp} \\ \frac{KZe^2}{r^2} &= \frac{mv^2}{r} \end{align*} }$$

Donde:

K es la constante de proporcionalidad

v es la velocidad

e es la carga del electrón

Z es el numero atómico

m es la masa del electrón

r es la distancia del núcleo al electrón

Segundo Postulado de Bohr

El segundo postulado de Bohr expresa que el momento angular del electrón es un múltiplo entero con respecto a la constante de Dirac.

$${\large \begin{align*} L &= n\hbar \\ mvr &= n\hbar \end{align*}}$$

Donde:

m es la masa del electrón

$\hbar$ es la constante de Dirac

v es la velocidad del electrón

r es la distancia del núcleo al electrón

n es un numero entero 

Tercer Postulado de Bohr

El tercer postulado de Bohr expresa que la variación de energía entre dos niveles energéticos consecutivos es igual a la energía de un fotón.

$${\large \begin{align*} E &= E_{nf} - E_{ni} \\ h\nu &= E_{nf} - E_{ni} \end{align*}}$$

Donde:

$\nu$ es la frecuencia del fotón

h es la constante de Planck

$E_{nf}$ es la energía del nivel energético final

$E_{ni}$ es la energía del nivel energético inicial

Ecuación de Rydberg

Por conservación de la energía tenemos la siguiente ecuación: 

$${\large  \begin{align*} E &= T + V \\ E &= \frac{mv^2}{2} - \frac{KZe^2}{r} \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (0) \end{align*} }$$

Partiendo del primer postulado de Bohr

$${\large \begin{align*} \frac{KZe^2}{r^2} &= \frac{mv^2}{r} \\ \frac{KZe^2}{r} &= mv^2 \\ v^2 &= \frac{KZe^2}{mr} \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (1) \end{align*}}$$

Reemplazando (1) en (0)

$${\large \begin{align*} E &= \frac{mv^2}{2} - \frac{KZe^2}{r} \\ E &= \frac{m}{2}\left( \frac{KZe^2}{mr} \right) - \frac{KZe^2}{r} \\ E &= \frac{KZe^2}{2r} - \frac{KZe^2}{r} \\ E &= - \frac{KZe^2}{2r} \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (2) \end{align*}}$$

Partiendo del segundo postulado de Bohr

$${\large \begin{align*} mvr &= n\hbar \\ v &= \frac{n\hbar}{mr} \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (3) \end{align*} }$$

Reemplazando (3) en (1)

$${\large \begin{align*} v^2 &= \frac{KZe^2}{mr} \\ \left( \frac{KZe^2}{mr} \right)^2 &= \frac{n\hbar}{mr} \\ \frac{n^2 {\hbar}^2}{m^2 r^2} &= \frac{KZe^2}{mr} \\ r &= \frac{n^2 {\hbar}^2}{mKZe^2} \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (4) \end{align*}}$$

Reemplazando (4) en (2) 

$${\large \begin{align*} E &= - \frac{KZe^2}{2r} \\ E &= -\frac{KZe^2}{2}\left( \frac{mKZe^2}{n^2 {\hbar}^2} \right) \\ E &= -\frac{mK^2Z^2e^4}{2n^2 {\hbar}^2} \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (5) \end{align*}}$$

Partiendo del tercer postulado de Bohr

$${\large \begin{align*} E_{nf} - E_{ni} &= h\nu \\ \triangle E &= h\nu \\ \triangle E &= \frac{hc}{\lambda} \\ \frac{1}{\lambda} &= \frac{\triangle E}{hc} \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (6) \end{align*}}$$

Reemplazando (5) en (6)

$${\large \begin{align*} \frac{1}{\lambda} &= \frac{\triangle E}{hc} \\ \frac{1}{\lambda} &= \frac{1}{hc}\left( \frac{- mK^2Z^2e^4}{2{n_{f}}^2 {\hbar}^2} + \frac{mK^2Z^2e^4}{2{n_{i}}^2 {\hbar}^2} \right) \\ \frac{1}{\lambda} &=  \frac{mK^2Z^2e^4}{2hc{\hbar}^2}\left( \frac{1}{{n_{i}}^2} - \frac{1}{{n_{f}}^2} \right) \\ \frac{1}{\lambda} &=  R_{Z} \left( \frac{1}{{n_{i}}^2} - \frac{1}{{n_{f}}^2} \right) \end{align*} }$$ 

Si se desea encontrar la ecuación de Rydberg para el Hidrogeno entonces Z = 1 .

$${\large \begin{align*} \frac{1}{\lambda} &=  \frac{mK^2Z^2e^4}{2hc{\hbar}^2} \left( \frac{1}{{n_{i}}^2} - \frac{1}{{n_{f}}^2} \right) \\ \frac{1}{\lambda} &=  \frac{mK^2e^4}{2hc{\hbar}^2} \left( \frac{1}{{n_{i}}^2} - \frac{1}{{n_{f}}^2} \right) \\ \frac{1}{\lambda} &=  R_{H} \left( \frac{1}{{n_{i}}^2} - \frac{1}{{n_{f}}^2} \right) \end{align*}}$$

 

Donde $R_{H}$ es una constante igual a $1.097 \times 10^{7} m^{-1}$ y dependiendo del valor entero positivo de $n_{i}$ se obtienen las conocidas series de las líneas espectrales. Por ejemplo

• $n_{i} = 1$ es la serie de Lyman

$${\large\begin{equation*} \frac{1}{\lambda} =  R_{H} \left( 1 - \frac{1}{{n_{f}}^2} \right) \end{equation*}}$$

• $n_{i} = 2$ es la serie de Balmer

$${\large \begin{equation*} \frac{1}{\lambda} =  R_{H} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{{n_{f}}^2} \right) \end{equation*} }$$

• $n_{i} = 3$ es la serie de Paschem

$${\large \begin{equation*} \frac{1}{\lambda} =  R_{H} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{{n_{f}}^2} \right) \end{equation*}}$$

Emisión Espectral de los Elementos.