Triedro de Frenet - Serret de una curva $\gamma (t)$ en el espacio en MatLab

Bueno todos sabemos lo importante que es saber el triedro de Frenet - Serret de una curva en lo que respecta al movimiento de una partícula en el espacio como también saber si la curva es plana o espacial. Por lo tanto aqui se muestra un código de Matlab en el cual tiene la función de mostrar los vectores tangente unitario, normal unitario y binormal unitario de una curva $\gamma(t)$.

Triedro de Frenet - Serret de la Hélice Toroidal  

No obstante antes de eso tenemos que saber las ecuaciones de los vectores antes mencionado las cuales son las siguientes:

• Curva Regular

$$\begin{equation*} \frac{d\gamma (t)}{dt} \not= \vec{0} \hspace{1cm},\hspace{0.2cm} \forall \hspace{0.2cm} t \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm} Dom \gamma (t)\end{equation*}$$

• Vector Tangente Unitario

$$\begin{equation} T(t) = \frac{\gamma '(t)}{\| \gamma'(t) \|} \end{equation}$$

• Vector Normal Unitario

$$\begin{equation} N(t) = \frac{T'(t) }{\| T'(t) \|} \end{equation}$$

• Vector Binormal Unitario

$$\begin{equation} B(t) = T(t) \times N(t) \end{equation}$$

Código fuente del Triedro de Frenet - Serret en Matlab

syms t

clear all

clc

% Curva en el espacio 

disp(' ingrese una curva regular ')

t =  input('Ingrese el dominio de la curva regular: ');

x = input(' Ingrese la parte en x de la curva: ');

y = input(' Ingrese la parte en y de la curva: ');

z = input(' Ingrese la parte en z de la curva: ');

C = [x, y, z];

plot3(x, y, z, 'k','Linewidth', 3)

% Vector Tangente Unitario

dx = gradient(x);

dy = gradient(y);

dz = gradient(z);

dr = [dx, dy, dz];

Tx = dx./norm(dr);

Ty = dy./norm(dr);

Tz = dz./norm(dr);

T = [Tx, Ty, Tz];

% Vector Normal Unitario

dTx = gradient(Tx);

dTy = gradient(Ty);

dTz = gradient(Tz);

dTr = [dTx, dTy, dTz];

Nx = dTx./norm(dTr);

Ny = dTy./norm(dTr);

Nz = dTz./norm(dTr);

N = [Nx, Ny, Nz];

% Vector Binormal Unitario 

Bx = Ty.*Nz - Tz.*Ny;

By = Tz.*Nx - Tx.*Nz;

Bz = Tx.*Ny - Ty.*Nx;

B = [Bx, By, Bz];

% Adicionales de la Grafica de la curva $\gamma (t)$

hold on

vT = quiver3(x,y,z,Tx,Ty,Tz, 'b')

vN = quiver3(x,y,z,Nx,Ny,Nz, 'r')

vB = quiver3(x,y,z,Bx,By,Bz, 'g')

grid on

xlabel(" Eje X")

ylabel(" Eje Y")

zlabel(" Eje Z")

title(" Triedro de Frenet - Serret de la Curva $\gamma (t)$ ")

legend('$\gamma(t)$', 'vT', 'vN', 'vB' )

Aplicación del código fuente

Hélice circular de radio 1

Hélice cónica de $\tan{\varphi}$ = 3/4