Ecuación diferencial de Bernoulli

Antes de demostrar la ecuación diferencial lineal de Bernoulli primero se necesita saber que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. 

Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden son las ecuaciones diferenciales ordinarias de la siguiente forma: 

$${\large \begin{equation*} \frac{dy}{dx} + P(x) \cdot y = Q(x) \hspace{1cm} ... \hspace{0.2cm} \text{(1)} \end{equation*}}$$

Donde $P(x) \not = 0$ y $Q(x)$ son funciones de $x$; se tienen 2 casos, si $Q(x) = 0$ se dice que la ecuación lineal es homogénea y se resuelve por el método de variables separables, en caso contrario ($Q(x) \not = 0$) se dice que la ecuación lineal es no homogénea. Para resolver una EDO lineal no homogénea se necesita multiplicar la ecuación por un factor integrante que tiene la siguiente forma:

$${\Large \begin{equation*} u(x)=e^{\int P(x)dx} \end{equation*}}$$

Multiplicando a la ecuación diferencial (1) por el factor integrante $u(x) = e^{\int P(x)dx}$, queda de la siguiente forma:

$${\large \begin{align*}  \frac{dy}{dx} + P(x) \cdot y &= Q(x) \\ e^{\int P(x)dx} \cdot \left( \frac{dy}{dx} + P(x) \cdot y \right) &= e^{\int P(x)dx} \cdot (Q(x)) \\ \frac{dy}{dx} \cdot e^{\int P(x)dx} +e^{\int P(x)dx} \cdot P(x) \cdot y &= Q(x) \cdot e^{\int P(x)dx} \\ \frac{d}{dx}(y \cdot e^{\int P(x)dx}) &= Q(x) \cdot e^{\int P(x)dx} \hspace{1cm} ... \hspace{0.2cm} \text{(2)} \end{align*} }$$

Si integramos la ecuación (2) obtenemos:

$${\large \begin{align*} \frac{d}{dx}(y \cdot e^{\int P(x)dx}) &= Q(x) \cdot e^{\int P(x)dx} \\ \int \left(\frac{d}{dx}(y \cdot e^{\int P(x)dx} \right) \mathrm{d}x &= \int \left( Q(x) \cdot e^{\int P(x)dx}\right) \mathrm{d}x \\ y \cdot e^{\int P(x)dx} &= \int \left( Q(x) \cdot e^{\int P(x)dx}\right)dx + C \hspace{1cm} ... \hspace{0.2cm} \text{(3)} \end{align*}}$$

Por último despejando la función y de la ecuación (3)

$${\large \begin{align*} y \cdot e^{\int P(x)dx} &= \int \left( Q(x) \cdot e^{\int P(x)dx}\right)dx + C \\ y &= e^{- \int P(x)dx} \cdot \left [ \int \left( Q(x) \cdot e^{\int P(x)dx}\right)dx + C \right ] \end{align*} }$$

Ecuación Diferencial de Bernoulli

Una ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden de la siguiente forma:

$${\large \begin{equation*} \frac{dy}{dx} + P(x) \cdot y = Q(x) \cdot y^n \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm} \text{(4)} \end{equation*} }$$

Donde $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones de $x$ no  nulos y $n \not = 1$ por que sino se trataría de una EDO lineal de primer orden. Para resolver esta ecuación diferencial debemos hacer un cambio de variable, primero dividimos toda la expresión entre $y^n$

Definimos $z=y^{1-n}$, con lo que al derivar la función u tenemos $\frac{dz}{dx}=(1-n) \cdot y^{-n} \cdot y'$, ahora reemplazamos lo obtenido en (4)

$${\large \begin{align*} \frac{dz}{dx} \cdot \frac{1}{1-n} + P(x) \cdot z &= Q(x) \\ \frac{dz}{dx} + (1-n) \cdot P(x) \cdot z &= (1-n) \cdot Q(x) \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm} \text{(5)} \end{align*} }$$

Ahora podemos observar que la ecuación (5) tiene la forma de una EDO lineal de primer orden. 

$${\large \begin{align*} \frac{dz}{dx} + (1-n) \cdot P(x) \cdot z &= (1-n) \cdot Q(x) \\ \frac{dz}{dx} + H(x) \cdot z &=  W(x) \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm} \text{(6)} \end{align*} }$$

Por consiguiente la solución de la ecuación (6) es igual a:

$${\large \begin{align*} z = e^{- \int H(x)dx} \cdot \left [ \int \left( W(x) \cdot e^{\int H(x) dx}\right)dx + C  \right ] \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm} \text{(7)} \end{align*} }$$

Ahora hacemos los cambios correspondientes en la ecuación (7)

• $ z = y^{1-n}$
• $H(x) = (1-n) \cdot P(x)$
• $ W(x) =  (1-n) \cdot Q(x)$

Por lo tanto (7)  se transforma en lo siguiente:

$${\large \begin{align*} y^{1-n} = e^{- \int ((1-n) \cdot P(x)) dx} \cdot \left [ \int \left( (1-n) \cdot Q(x) \cdot e^{\int (1-n) \cdot P(x) dx}\right) dx + C \right ] \\ y = \left( e^{- \int ((1-n) \cdot P(x)) dx} \cdot \left [\int \left( (1-n) \cdot Q(x) \cdot e^{\int (1-n) \cdot P(x) dx}\right) dx + C \right ] \right)^{\frac{1}{1 - n}} \end{align*} }$$

Aplicación de la Ecuación Diferencial de Bernoulli

Una ecuación diferencial que es de Bernoulli es la ecuación diferencial de Verhulst, la cual esta dada por la siguiente ecuación con las condiciones iniciales siguientes:

$${\large \begin{equation*}  P(t) = \left\{ \begin{array}{lcc}             \frac{dP}{dt} = rP(1 - \frac{P}{k})  &   si   & 0 \leq t < \infty  \\              \\ P(t) = P_0 & si  & t = 0 \\              \end{array}   \right.   \end{equation*} }$$

y su solución con condiciones iniciales siguiendo el método de la ecuación diferencial de Bernoulli es la ecuación siguiente: 

$${\large \begin{equation*} P(t) = \frac{k \cdot {P_0} \cdot e^{rt}}{{P_0} \cdot (e^{rt} - 1) + k} \end{equation*} }$$ 

Si $P_0 = 200$, k = 1000 y r = 2 entonces la gráfica de P(t) tiene la siguiente forma: 

Función Logística de Verhulst con Condiciones Iniciales

El punto de inflexión de P(t) es el cambio de la parte convexa a la parte cóncava de la función P(t) esto solo ocurre si k es mayor que $P_0$ y r es positivo.