Ecuación de Laplace en Dos Dimensiones

La ecuación de Laplace en 2D es una ecuación diferencial parcial (EDP) ya que la función depende de dos variables respectivas que a su vez dependerán del sistema de coordenadas utilizados. Por ejemplo:

• En coordenadas rectangulares dependen de x y de y
• En coordenadas polares dependen de $\rho$ y de $\varphi$

La ecuación de Laplace está dada por la siguiente ecuación:

$${\large \begin{equation*} \nabla^2 f = 0 \end{equation*} }$$

Ecuación de Laplace en Coordenadas Rectangulares

La ecuación de Laplace en coordenadas rectangulares esta dada por la siguiente ecuación:

$${\large \begin{equation*}  \frac{\partial f^2}{\partial y^2} +  \frac{\partial f^2}{\partial x^2}= 0 \hspace{1.5cm}... \hspace{0.2cm} (1) \end{equation*} }$$

Esta ecuación diferencial parcial se puede resolver por el método de variables separables el cual es encontrar la siguiente función ${\large f(x,y) = P(x)Q(y) }$

Por consiguiente las relaciones que obtenemos luego de reemplazar la función f(x, y) tenemos 

$${\large \frac{\partial f^2}{\partial x^2} = P''(x)Q(y) \hspace{2cm} ... \hspace{0.2cm} (2) }$$

$${\large \frac{\partial f^2}{\partial y^2} = P(x)Q''(y) \hspace{2cm} ... \hspace{0.2cm} (3) }$$

Ahora si reemplazamos (2) y (3) en la ecuación de Laplace (1) entonces la ecuación de Laplace se transforma en lo siguiente: 

$${\large \begin{align*}\frac{\partial f^2}{\partial x^2} +  \frac{\partial f^2}{\partial y^2} &= 0 \\ P''(x)Q(y) + P(x)Q''(y) &= 0 \\ \frac{P''(x)}{P(x)} + \frac{Q''(y)}{Q(y)} &= 0   \end{align*} }$$

Ahora igualamos los sumandos de la EDP a una constante $\beta$ 

$${\large \frac{P''(x)}{P(x)} = \beta }$$

$${\large -\frac{Q''(y)}{Q(y)} = \beta }$$

Por consiguiente se tienen las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias 

$${\large \begin{equation*} P''(x) - \beta P(x) = 0 \hspace{1.5cm} , \hspace{1.5cm} Q''(y) + \beta Q(y) = 0 \end{equation*} }$$

Donde se puede observar que las ecuaciones anteriores son una EDO de segundo orden y sus soluciones dependen del valor de $\beta$

• $\beta > 0$

$${\large \begin{equation*} P(x) = A_1\cosh({\sqrt{\beta}x}) + A_2\sinh({\sqrt{\beta}x}) \hspace{1.0cm} , \hspace{1.0cm} Q(y) = B_1\cos(\sqrt{\beta}y) + B_2\sin(\sqrt{\beta}y) \end{equation*} }$$

• $ \beta = 0$

$${\large \begin{equation*} P(x) = A_1x + A_2  \hspace{1.0cm} , \hspace{1.0cm} Q(x) = B_1y + B_2\end{equation*} }$$

• $\beta < 0$

$${\large \begin{equation*} P(x) = A_1\cos(\sqrt{\beta}x) + A_2\sin(\sqrt{\beta}x) \hspace{1.0cm} , \hspace{1.0cm} Q(y) = B_1\cosh({\sqrt{\beta}y}) + B_2\sinh({\sqrt{\beta}y}) \end{equation*} }$$

Donde dependiendo de las condiciones de frontera dadas se pueden encontrar las constantes de la solución de la ecuación de Laplace.

Ecuación de Laplace en Coordenadas Polares

La ecuación de Laplace en coordenadas polares esta dada por la siguiente ecuación:

$${\large \begin{equation*}  \frac{\partial f^2}{\partial \rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \rho} +\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial f^2}{\partial \varphi^2} = 0 \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (4) \end{equation*} }$$

Esta ecuación diferencial parcial se puede resolver por el método de variables separables el cual es encontrar la siguiente función ${\large f(\rho ,\varphi) = P(\rho)Q(\varphi) }$

Por consiguiente al igual que en el laplaciano en coordenadas rectangulares las relaciones que obtenemos luego de reemplazar la función $f(\rho, \varphi)$ tenemos 

$${\large \frac{\partial f}{\partial \rho}= P'(\rho)Q(\varphi) \hspace{2cm} ... \hspace{0.2cm} (5) }$$

$${\large \frac{\partial f^2}{\partial \rho^2} = P''(\rho)Q(\varphi) \hspace{2cm} ... \hspace{0.2cm} (6) }$$

$${\large \frac{\partial f^2}{\partial \varphi^2} = P(\rho)Q''(\varphi) \hspace{2cm} ... \hspace{0.2cm} (7) }$$

Ahora si reemplazamos (5), (6) y (7) en la ecuación de Laplace (4) entonces la ecuación de Laplace se transforma en lo siguiente: 

$${\large \begin{align*} \frac{\partial f^2}{\partial \rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \rho} +\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial f^2}{\partial \varphi^2} &= 0 \\ P''(\rho)Q(\varphi) + \frac{1}{\rho}P'(\rho)Q(\varphi) + \frac{1}{\rho^2}P(\rho)Q''(\varphi) &= 0 \\ \rho^2 \frac{P''(\rho)}{P(\rho)} + \rho \frac{P'(\rho)}{P(\rho)} + \frac{Q''(\varphi)}{Q(\varphi)} &= 0\end{align*} }$$

Ahora igualamos los sumandos de la EDP a una constante $\beta$ 

$${\large \rho^2 \frac{P''(\rho)}{P(\rho)} + \rho \frac{P'(\rho)}{P(\rho)} = \beta }$$

$${\large -\frac{Q''(\varphi)}{Q(\varphi)} = \beta }$$

Por consiguiente se tienen las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias 

$${\large \begin{equation*} \rho^2 P''(\rho) + \rho P'(\rho) -\beta P(\rho) = 0 \hspace{1.5cm} , \hspace{1.5cm} Q''(\varphi) + \beta Q(\varphi) = 0 \end{equation*} }$$

Donde se puede observar que las ecuaciones anteriores son una EDO de segundo orden y sus soluciones dependen del valor de $\beta$. No obstante la ecuación diferencial con respecto a $\rho$ es una ecuación diferencial de euler -cauchy para encontrar su solución se debe hacer un cambio de variable respectivo $\rho = e^t $

• $\beta > 0$

$${\large \begin{equation*} P(\rho) = A_1\rho^{\sqrt{\beta}} + A_2\rho^{-\sqrt{\beta}} \hspace{1.0cm} , \hspace{1.0cm} Q(\varphi) = B_1\cos(\sqrt{\beta}\varphi) + B_2\sin(\sqrt{\beta}\varphi) \end{equation*} }$$

• $\beta = 0$

$${\large \begin{equation*} P(\rho) = A_1\ln{\rho} + A_2 \hspace{1.0cm} , \hspace{1.0cm} Q(\varphi) = B_1\varphi + B_2 \end{equation*}}$$

• $\beta < 0$

$${\large \begin{equation*} P(\rho) =  A_1\cos(\sqrt{\beta}\ln{\rho}) + A_2\sin(\sqrt{\beta}\ln{\rho})  \hspace{1.0cm} , \hspace{1.0cm} Q(\varphi) = B_1e^{\sqrt{\beta}\varphi} + B_2e^{-\sqrt{\beta}\varphi} \end{equation*}}$$

Donde dependiendo de las condiciones de frontera dadas se pueden encontrar las constantes de la solución de la ecuación de Laplace.

Problema de aplicación en Electromagnetismo en coordenadas rectangulares

Considere una guía de onda, la cual es una tubería metálica de sección rectangular de ancho a y alto b. Las placa inferior y laterales están conectadas a tierra, es decir, a potencial cero. La placa metálica superior tiene una tensión periódica de período ${\large T = \frac{2\pi n}{a} }$ (donde n es un numero entero), V (x, y = b) = ${\large V_0  \cos \left( \frac{2\pi x}{a} \right) }$, $V_0$ da cuenta de la intensidad de la tensión. Encuentre la tensión al interior, V (x, y).

Solución:

Las condiciones de frontera del problema de aplicación son las siguientes

• V(x,0) = 0 $ \hspace{3cm}, \hspace{1cm} 0 \leq x \leq a$
• V(0,y) = 0 $ \hspace{3cm}, \hspace{1cm} 0 \leq y \leq b$
• V(a,y) = 0 $ \hspace{3cm}, \hspace{1cm} 0 \leq y \leq b$
• V(x,b) = ${\large V_0  \cos\left( \frac{2\pi x}{a} \right) }$ $\hspace{1.35cm}, \hspace{1cm} 0 \leq x \leq a $

La solución de la ecuación de Laplace en este caso es cuando $\beta < 0$ para que se tenga una solución acorde con las condiciones de frontera.

$${\large \begin{equation*} V (x,y) = \left( A_1\cos(\sqrt{\beta}x) + A_2\sin(\sqrt{\beta}x) \right) \left( B_1\cosh({\sqrt{\beta}y}) + B_2\sinh({\sqrt{\beta}y}) \right) \end{equation*} }$$

Reemplazando las primeras condiciones de frontera se tienen los valores para las  siguientes constantes

• $A_1 = 0$
• $B_1 = 0$
• ${\large \beta = \left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 }$
• $ A_2 \cdot B_2 = C_n$

Ahora aplicando el principio de superposición a la función V(x,y) con los datos obtenidos tenemos la siguiente serie

$${\large \begin{equation*} V(x,y) = \sum_{n = 1}^{\infty}\left[ C_n \sin{(\frac{n\pi x}{a})}\sinh{(\frac{n\pi y}{a})} \right] \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (8) \end{equation*} }$$

Ahora utilizamos la cuarta condición de frontera en la ecuación (8)

$${\large \begin{align*} V(x,y)  =& \sum_{n = 1}^{\infty}\left[ C_n \sin{(\frac{n\pi x}{a})}\sinh{(\frac{n\pi y}{a})}\right] \\ V(x,b)  =& \sum_{n = 1}^{\infty}\left[ C_n \sin{(\frac{n\pi x}{a})}\sinh{(\frac{n\pi b}{a})} \right] \\ V_0  \cos( \frac{2\pi x}{a}) =& \sum_{n = 1}^{\infty}\left[ C_n \sin{(\frac{n\pi x}{a})}\sinh{(\frac{n\pi b}{a})} \right] \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (9) \end{align*} }$$

Si multiplicamos a la ecuación (9) por $\sin(\frac{m\pi x}{a})$ y luego la integramos del limite inferior 0 al limite superior a

$${\large \begin{align*} V_0  \cos( \frac{2\pi x}{a}) =& \sum_{n = 1}^{\infty}\left[ C_n \sin{(\frac{n\pi x}{a})}\sinh{(\frac{n\pi b}{a})} \right] \\  V_0  \cos( \frac{2\pi x}{a}) \sin(\frac{m\pi x}{a})  =& \sum_{n = 1}^{\infty}\left[ C_n \sin{(\frac{n\pi x}{a})}\sinh{(\frac{n\pi b}{a})}\sin(\frac{m\pi x}{a}) \right] \\ V_0 \int_{0}^{a}\left[ \cos( \frac{2\pi x}{a}) \sin(\frac{m\pi x}{a}) \right] \mathrm{d}x  =& \sum_{n = 1}^{\infty}\left[ C_n \int_{0}^{a} \left[\sin{(\frac{n\pi x}{a})}\sin(\frac{m\pi x}{a}) \right] \mathrm{d}x \right] \sinh{(\frac{n\pi b}{a})} \hspace{1.5cm}...\hspace{0.2cm} (10)\end{align*} }$$

Las soluciones de la integral de la ecuación (10) tienen las siguientes soluciones

• Para la integral de la derecha en $m \not= 2$

$${\large \begin{equation*} V_0 \int_{0}^{a}\left[ \cos( \frac{2\pi x}{a}) \sin(\frac{m\pi x}{a}) \right] \mathrm{d}x  =  -\frac{amV_0((-1)^m - 1)}{\pi (4 - m^2)} \end{equation*} }$$

• Para la integral de la derecha en m = 2

$${\large \begin{equation*} V_0 \int_{0}^{a}\left[ \cos( \frac{2\pi x}{a}) \sin(\frac{2\pi x}{a}) \right] \mathrm{d}x  =  0 \end{equation*} }$$

• Para la integral de la izquierda en $n \not= m $

$${\large \begin{equation*} \int_{0}^{a} \left[\sin{(\frac{n\pi x}{a})}\sin(\frac{m\pi x}{a}) \right] \mathrm{d}x = 0 \end{equation*} }$$

• Para la integral de la izquierda n = m

$${\large \begin{equation*} \int_{0}^{a} \left[\sin{(\frac{n\pi x}{a})}\sin(\frac{m\pi x}{a}) \right] \mathrm{d}x = \frac{a C_n \sinh{(\frac{n\pi b}{a})}}{2} \end{equation*} }$$

Por consiguiente con las soluciones anteriores podemos resolver la ecuación (6) y encontrar la relación de la constante $C_n$

$${\large \begin{align*} V_0 \int_{0}^{a}\left[ \cos( \frac{2\pi x}{a}) \sin(\frac{m\pi x}{a}) \right] \mathrm{d}x  =& \sum_{n = 1}^{\infty}\left[ C_n \int_{0}^{a} \left[ \sin{(\frac{n\pi x}{a})}\sin(\frac{m\pi x}{a}) \right] \mathrm{d}x \right] \sinh{(\frac{n\pi b}{a})} \\ - \frac{amV_0((-1)^m - 1)}{\pi (4 - m^2)} =& \frac{a C_n \sinh{(\frac{n\pi b}{a})}}{2} \\ - \frac{anV_0((-1)^n - 1)}{\pi (4 - n^2)} =& \frac{a C_n \sinh{(\frac{n\pi b}{a})}}{2} \\ C_n =& - \frac{2nV_0((-1)^n - 1)}{\pi (4 - n^2) \sinh{(\frac{n\pi b}{a})}} \end{align*} }$$

Por lo tanto la solución general V(x,y) es la siguiente:

$${\large \begin{equation*} V(x,y)  =  - \frac{2V_0}{\pi}\sum_{n = 1}^{\infty}\left[ \frac{n((-1)^n - 1) \sin{(\frac{n\pi x}{a})}}{ (4 - n^2) } \frac{\sinh{(\frac{n\pi y}{a})}}{\sinh{(\frac{n\pi b}{a})}} \right] \end{equation*} }$$

Potencial Eléctrico para $V_{0} = 1$ y el dominio $[0, 2] \times [0,1]$

Problema de aplicación en Electromagnetismo en coordenadas polares

Considere una placa circular de radio R. La temperatura ${\large U(\rho, \varphi) }$ debe ser univaluada, esto quiere decir que ${\large U(\rho, \varphi) }$ el mismo en cualquier punto del círculo, independientemente de la descripción polar de ese punto., es decir, ${\large U(\rho, \varphi) = U(\rho, \varphi + 2\pi) }$. La condición de frontera es igual a ${\large U(R, \varphi) = f(\varphi)}$

Solución:

Para que se cumpla la condición periódica en la ecuación de Laplace en coordenadas polares. Las soluciones acordes de la ecuación de Laplace son las siguientes.

• ${\large \beta > 0} $

$${\large \begin{equation*} U(\rho, \varphi) = \left( A_1\rho^{\sqrt{\beta}} + A_2\rho^{-\sqrt{\beta}} \right) \left( B_1\cos(\sqrt{\beta}\varphi) + B_2\sin(\sqrt{\beta}\varphi) \right) \end{equation*}}$$

• ${\large \beta = 0} $

$${\large \begin{equation*} U(\rho, \varphi) = \left( A_1\ln{\rho} + A_2 \right) \left(  B_1\varphi + B_2 \right) \end{equation*}}$$

La solución debe cumplir que ${\large U(0, \varphi) = 0 }$. Por consiguiente, si hacemos una superposición obtenemos la siguiente solución general.

$${\large \begin{equation*} U(\rho, \varphi) = C_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}\rho^n \left( A_{n} \cos{(n \varphi)} + B_{n} \sin{(n \varphi)} \right) \end{equation*}}$$

Ahora si aplicamos la condición de frontera ${\large U(R,\varphi) = f(\varphi)}$

$${\large \begin{equation*} f(\varphi) = C_{0} + \sum_{n=1}^{\infty} R^n \left( A_{n} \cos{(n \varphi)} + B_{n} \sin{(n \varphi)} \right) \end{equation*}}$$

Donde:

$${\large \begin{align*} C_{0} &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(\varphi)d\varphi \\ A_{n} &= \frac{1}{R^n \pi}\int_{0}^{2\pi}f(\varphi) \cos{(n\varphi)}d\varphi \\ B_{n} &= \frac{1}{R^n \pi}\int_{0}^{2\pi}f(\varphi) \sin{(n\varphi)}d\varphi \end{align*}}$$

Temperatura estacionaria para un circulo de radio igual a 5 y una condición de frontera igual a $U(5, \varphi) = 4\cos{(3\varphi)} + \ln{2}$