Centro de Masa para una distribución continua de masa en una superficie plana en MatLab

Conocer el centro de masa "C.M." de una distribución continua en una figura plana es importante por el principal motivo de que en ese punto geométrico en especial de la figura es el lugar en el cual se puede tratar como el lugar donde la fuerza resultante aplicada hace acción sobre la figura plana. Esto también se puede generalizar a un solido en el espacio. 

EL concepto de centro de masa se puede confundir con los conceptos de centroide y centro de gravedad. No obstante estas son las diferencias entre ellas. 

• Centroide: El centro de masa se encuentra en el mismo lugar geométrico del centroide siempre y cuando la densidad superficial es homogénea en toda la superficie. En el caso que no sea así el centroide y el centro de masa están en distintos lugares geométricos respectivamente. El Centroide es un lugar geométrico que depende explícitamente de la figura geométrica (la simetría).

• Centro de Gravedad: El centro de gravedad se encuentra en el mismo lugar del centro de gravedad siempre y cuando el campo gravitatorio sea homogéneo, es decir, su magnitud y su dirección son constantes y en cuerpos pequeños en comparación del sistema que produce el campo gravitatorio respectivo.  

• Centro de Masa: El centro de masa de una distribución continua de masa en una superficie se calcula de la siguiente forma:

$$\begin{equation*} r_{C.M.} = \frac{\int_{A} r \rho(x,y) dA}{\int_{A} \rho(x,y) dA} \end{equation*}$$

Código fuente del Centro de Masa de una figura plana en Matlab

clear all

clc

syms x y 

f = input('Ingrese la función densidad: ')

%Limites

a = input('Ingrese el Limite inferior para la variable y: ');

b = input('Ingrese el Limite superior para la variable y: ');

c = input('Ingrese el Limite inferior para la variable x: ');

d = input('Ingrese el limite superior para la varibale x: ');

%Area 

A1 = int(f,y,a,b);

A2 =int(A1,x,c,d)

%Centro de masa en $\overline{x}$

x1 = int(f.*x,y,a,b);

xcm = int(x1,x,c,d)/A2

%Centro de masa en $\overline{y}$

y1 = int(f.*y,y,a,b);

ycm = int(y1,x,c,d)/A2

%Gráfica de la función f de la cual se quiere encontrar su centro de masa

t = linspace(c,d,100);

disp('Ingrese la función f(x) como una curva en función de t')

g = input('Ingrese la función con respecto al limite superior de y de la cual se pide encontrar su CM: ');

h = input('Ingrese la función con respecto al limite inferior de y de la cual se pide encontrar su CM: ');

X = linspace(c,d,100);

Y = linspace(min(h), max(g),100);

plot(t, g,'k','linewidth', 3); % Gráfica de g(x) con respecto al limite b

grid on

hold on

plot(t, h,'k','linewidth', 3); % Gráfica de g(x) con respecto al limite a

plot(X, ycm, '-.c*', 'linewidth', 0.5)

plot(xcm, Y, '-.c*', 'linewidth', 0.5)

CM = fplot(xcm, ycm, '*k','linewidth', 5) % Centro de Masa

xlabel(" Eje X")

ylabel(" Eje Y")

xlim([c d]) 

ylim([min(h) max(g)])

title("Centro de masa CM(xcm, ycm)")

legend('g', 'h')

Aplicación del código fuente

Centro de Masa de un Triángulo C.M. (2, 4). 

Centro de Masa de una Parábola C.M. (15/2, 30). 

Centro de Masa de un Cuadrante Circular de radio 2 C.M. ($\frac{8}{3\pi}$, $\frac{8}{3\pi}$).

Centro de Masa de un Cuadrante Elíptico de semiejes a = 1 y b=2 C.M. ($\frac{4}{3\pi}$, $\frac{8}{3\pi}$)