Movimiento Oscilatorio Amortiguado Forzado

El movimiento oscilatorio es uno de los más importantes en el estudio de la física. Resolver la EDO correspondiente tiene solución. No obstante, es muy laborioso para llegar a dicha solución, respectivamente.

Espacio de fases del movimiento oscilatorio.

Partiendo de la segunda ley de Newton se obtiene la ecuación del movimiento oscilatorio amortiguado forzado la cual está dada por la siguiente ecuación diferencial ordinaria dependiente del tiempo:

$${\large \begin{align*} m\frac{d^2 x}{dt^2} &= -bv - kx + F_0 \cos{(w_f t)} \\ \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{bv}{m} + \frac{kx}{m} &=  \frac{F_0 \cos{(w_f t)}}{m} \\  \frac{d^2x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + w_{0}^{2} x &= \frac{F_0 \cos{(w_f t)}}{m} \end{align*} }$$
donde la solución homogénea de la ecuación diferencial es la siguiente

$${\large \begin{equation*} x_{h}(t) = e^{-\gamma t} \left( C_1 \cos(w_{s}t) + C_2 \sin(w_{s}t) \right) \end{equation*} }$$

y para completar la solución de la ecuación diferencial debemos hallar la solución particular. Solución que tiene la siguiente forma 

$${\large \begin{equation*} x_{p}(t) = Acos{(w_{f}t - \phi)} \end{equation*} }$$

Solución Particular del Movimiento Oscilatorio Amortiguado Forzado

La solución particular ${\large x_p }$ y la parte no homogénea de la EDO ${\large f(t) = F_0\cos{(w_{f}t)} }$ de la ecuación diferencial de la EDO de la oscilación amortiguada forzada pueden expresarse en su forma fasorial 

$${\large \begin{align*} x_p(t) &= \Re(Ae^{-j\phi} \cdot e^{jw_{f}t}) = \Re(\hat{x} e^{jw_{f}t})\\ f(t) &= \Re(F_0e^{jw_{f}t}) = \Re(\hat{F}e^{jw_{f}t})\end{align*} }$$

Ahora entonces reemplazando las relaciones anteriores en la EDO del movimiento oscilatorio amortiguado forzado tenemos lo siguiente: 

$${\large \begin{gather*} \frac{d^2x}{dx^2} + 2\gamma\frac{dx}{dt} + w_{0}^{2}x = \frac{F_0\cos(w_{f}t)}{m} \\ \frac{d^2(x_p)}{dx^2} + 2\gamma\frac{d(x_p)}{dt} + w_{0}^{2}x_p = \frac{f(t)}{m} \\ -w_{f}^{2}(x_p) + 2\gamma(w_{f}x_p)j + w_{0}^{2}(x_p) = \frac{f(t)}{m} \\ x_p( w_{0}^{2} - w_{f}^2 + 2\gamma w_{f}j) = \frac{f(t)}{m} \\ x_p = \frac{f(t)/m}{w_{0}^{2} - w_{f}^2 + 2\gamma w_{f}j} \\ x_p = \frac{f(t)}{m}\left[ \frac{(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})}{(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})^2 + (2\gamma w_{f})^2}  + \frac{(-2\gamma w_{f})j}{(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})^2 + (2\gamma w_{f})^2}\right] \\ \|\Re(\hat{x}e^{jw_{f}t})\| = \frac{\|\Re(\hat{F}e^{jw_{f}t})\|}{m} \left \| \frac{(w_{0}^{2} - w_{f}^{2}) + (-2\gamma w_{f})j}{(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})^2 + (2\gamma w_{f})^2} \right \| \\ A = \frac{F_0 / m}{[(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})^2 + (2\gamma w_{f})^2]^{\frac{1}{2}}} \end{gather*} }$$

Por tanto la amplitud A de la solución particular de la EDO de la oscilación amortiguada forzada es igual a:

$${\large \begin{equation*} A = \frac{F_0 / m}{[(w_{0}^{2} - w_{f}^2)^2 + (2\gamma w_{f})^2]^{\frac{1}{2}}}   \end{equation*} }$$

Así mismo se puede construir un triangulo rectángulo con ángulo ${\large \phi }$

Fase de la Solución Particular ${\large x_{p} }$

Por lo tanto, el ángulo $\phi$ del triangulo rectángulo puede calcularse de la siguiente forma que se muestra a continuación 

$${\large \begin{align*} \tan{(-\phi)} &= \frac{\sin{(-\phi)}}{\cos{(-\phi)}} \\ \tan(-\phi) &= \frac{-2\gamma w_{f}}{w_{0}^{2} - w_{f}^{2}} \\ \tan(\phi) &= \frac{2\gamma w_{f}}{w_{0}^{2} - w_{f}^{2}} \\ \phi &= \arctan{\left( \frac{2\gamma w_{f}}{w_{0}^{2} - w_{f}^{2}} \right)} \end{align*} }$$

Por tanto la ecuación particular de la EDO del movimiento oscilatorio amortiguado forzado es igual a :

$${\large \begin{align*}x_p &= A\cos{(w_{f}t - \phi)} \\ x_p &= \frac{F_0 \cos{\left( w_{f}t -  \arctan{\left( \frac{2\gamma w_{f}}{w_{0}^{2} - w_{f}^{2}} \right)} \right )}}{m[(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})^2 + (2\gamma w_{f})^2]^{\frac{1}{2}}}  \end{align*} }$$

Por lo cual la solución general de la ecuación diferencial de la EDO del movimiento oscilatorio amortiguado es igual a:

$${\large \begin{align*}x(t) &= x_{h}(t) + x_{p}(t) \\ x(t) &= e^{-\gamma t}\left[ C_1\cos(w_{s}t) + C_2 \sin(w_{s}t) \right] + \frac{F_0 \cos{\left( w_{f}t -  \arctan{\left( \frac{2\gamma w_{f}}{w_{0}^{2} - w_{f}^{2}} \right)} \right )}}{m[(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})^2 + (2\gamma w_{f})^2]^{\frac{1}{2}}} \\ x(t) &= e^{-\gamma t}\left[ C_1\cos\left(\sqrt{w_{0}^{2} - \gamma ^2}t\right) + C_2 \sin\left(\sqrt{w_{0}^{2} - \gamma ^2}t\right ) \right] + \frac{F_0 \cos{\left( w_{f}t -  \arctan{\left( \frac{2\gamma w_{f}}{w_{0}^{2} - w_{f}^{2}} \right)} \right )}}{m[(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})^2 + (2\gamma w_{f})^2]^{\frac{1}{2}}} \end{align*}} $$

Imponiendo las siguientes condiciones iniciales en t = 0 s

• x(0) = 1 m
• v(0) = 0 m/s

A continuación la respectiva simulación numérica con dichas condiciones iniciales.

Posición, velocidad y aceleración del movimiento oscilatorio 1D.