Movimiento Oscilatorio Amortiguado Forzado

Partiendo de la segunda ley de Newton se obtiene la ecuación del movimiento oscilatorio amortiguado forzado la cual está dada por la siguiente ecuación diferencial ordinaria dependiente del tiempo:

$${\large \begin{align*} m\frac{d^2 x}{dt^2} &= -bv - kx + F_0 \cos{(w_f t)} \\ \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{bv}{m} + \frac{kx}{m} &=  \frac{F_0 \cos{(w_f t)}}{m} \\  \frac{d^2x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + w_{0}^{2} x &= \frac{F_0 \cos{(w_f t)}}{m} \end{align*} }$$
donde la solución homogénea de la ecuación diferencial es la siguiente

$${\large \begin{equation*} x_{h}(t) = e^{-\gamma t} \left( C_1 \cos(w_{s}t) + C_2 \sin(w_{s}t) \right) \end{equation*} }$$

y para completar la solución de la ecuación diferencial debemos hallar la solución particular. Solución que tiene la siguiente forma 

$${\large \begin{equation*} x_{p}(t) = Acos{(w_{f}t - \phi)} \end{equation*} }$$

Solución Particular del Movimiento Oscilatorio Amortiguado Forzado

La solución particular ${\large x_p }$ y la parte no homogénea de la EDO ${\large f(t) = F_0\cos{(w_{f}t)} }$ de la ecuación diferencial de la EDO de la oscilación amortiguada forzada pueden expresarse en su forma fasorial 

$${\large \begin{align*} x_p(t) &= \Re(Ae^{-j\phi} \cdot e^{jw_{f}t}) = \Re(\hat{x} e^{jw_{f}t})\\ f(t) &= \Re(F_0e^{jw_{f}t}) = \Re(\hat{F}e^{jw_{f}t})\end{align*} }$$

Ahora entonces reemplazando las relaciones anteriores en la EDO del movimiento oscilatorio amortiguado forzado tenemos lo siguiente: 

$${\large \begin{gather*} \frac{d^2x}{dx^2} + 2\gamma\frac{dx}{dt} + w_{0}^{2}x = \frac{F_0\cos(w_{f}t)}{m} \\ \frac{d^2(x_p)}{dx^2} + 2\gamma\frac{d(x_p)}{dt} + w_{0}^{2}x_p = \frac{f(t)}{m} \\ -w_{f}^{2}(x_p) + 2\gamma(w_{f}x_p)j + w_{0}^{2}(x_p) = \frac{f(t)}{m} \\ x_p( w_{0}^{2} - w_{f}^2 + 2\gamma w_{f}j) = \frac{f(t)}{m} \\ x_p = \frac{f(t)/m}{w_{0}^{2} - w_{f}^2 + 2\gamma w_{f}j} \\ x_p = \frac{f(t)}{m}\left[ \frac{(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})}{(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})^2 + (2\gamma w_{f})^2}  + \frac{(-2\gamma w_{f})j}{(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})^2 + (2\gamma w_{f})^2}\right] \\ \|\Re(\hat{x}e^{jw_{f}t})\| = \frac{\|\Re(\hat{F}e^{jw_{f}t})\|}{m} \left \| \frac{(w_{0}^{2} - w_{f}^{2}) + (-2\gamma w_{f})j}{(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})^2 + (2\gamma w_{f})^2} \right \| \\ A = \frac{F_0 / m}{[(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})^2 + (2\gamma w_{f})^2]^{\frac{1}{2}}} \end{gather*} }$$

Por tanto la amplitud A de la solución particular de la EDO de la oscilación amortiguada forzada es igual a:

$${\large \begin{equation*} A = \frac{F_0 / m}{[(w_{0}^{2} - w_{f}^2)^2 + (2\gamma w_{f})^2]^{\frac{1}{2}}}   \end{equation*} }$$

A su vez se pueden construir un triangulo rectángulo con Angulo ${\large -\phi }$

Fase de la Solución Particular ${\large x_{p} }$

Por tanto el Angulo $\phi$ del triangulo ABC puede calcularse de la siguiente forma que se muestra a continuación 

$${\large \begin{align*} \tan{(-\phi)} &= \frac{\sin{(-\phi)}}{\cos{(-\phi)}} \\ \tan(-\phi) &= \frac{-2\gamma w_{f}}{w_{0}^{2} - w_{f}^{2}} \\ \tan(\phi) &= \frac{2\gamma w_{f}}{w_{0}^{2} - w_{f}^{2}} \\ \phi &= \arctan{\left( \frac{2\gamma w_{f}}{w_{0}^{2} - w_{f}^{2}} \right)} \end{align*} }$$

Por tanto la ecuación particular de la EDO del movimiento oscilatorio amortiguado forzado es igual a :

$${\large \begin{align*}x_p &= A\cos{(w_{f}t - \phi)} \\ x_p &= \frac{F_0 \cos{\left( w_{f}t -  \arctan{\left( \frac{2\gamma w_{f}}{w_{0}^{2} - w_{f}^{2}} \right)} \right )}}{m[(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})^2 + (2\gamma w_{f})^2]^{\frac{1}{2}}}  \end{align*} }$$

Por lo cual la solución general de la ecuación diferencial de la EDO del movimiento oscilatorio amortiguado es igual a:

$${\large \begin{align*}x(t) &= x_{h}(t) + x_{p}(t) \\ x(t) &= e^{-\gamma t}\left[ C_1\cos(w_{s}t) + C_2 \sin(w_{s}t) \right] + \frac{F_0 \cos{\left( w_{f}t -  \arctan{\left( \frac{2\gamma w_{f}}{w_{0}^{2} - w_{f}^{2}} \right)} \right )}}{m[(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})^2 + (2\gamma w_{f})^2]^{\frac{1}{2}}} \\ x(t) &= e^{-\gamma t}\left[ C_1\cos\left(\sqrt{w_{0}^{2} - \gamma ^2}t\right) + C_2 \sin\left(\sqrt{w_{0}^{2} - \gamma ^2}t\right ) \right] + \frac{F_0 \cos{\left( w_{f}t -  \arctan{\left( \frac{2\gamma w_{f}}{w_{0}^{2} - w_{f}^{2}} \right)} \right )}}{m[(w_{0}^{2} - w_{f}^{2})^2 + (2\gamma w_{f})^2]^{\frac{1}{2}}} \end{align*}} $$

Movimiento Oscilatorio Amortiguado Forzado con condiciones iniciales

Datos Iniciales

• m = 1 kg
• b = 0.4 kg/s
• K = 30 N/m
• $F_{0}$ = 4 N
• $w_{f}$ = 10 Hz

Condiciones Iniciales del movimiento oscilatorio amortiguado forzado en t = 0 s

• x(0) = 0 m
• v(0) = 0 m/s

A continuación la respectiva animación del movimiento oscilatorio amortiguado forzado con las condiciones iniciales respectivas es la siguiente 

En la gráfica se puede observar que siempre y cuando se le asigne una fuerza en forma cosenoidal el movimiento del cuerpo oscila de la forma en como se muestra.