La función gamma es enunciada por primera vez en la correspondencia que tenían Euler y Goldbach con el propósito de encontrar una función analítica para la siguiente sucesión de los números naturales.
$${\large \begin{equation*} S(n) = 1, \hspace{0.1cm}1\cdot 2, \hspace{0.1cm} 1 \cdot 2 \cdot 3, \hspace{0.1cm} 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4, \hspace{0.1cm}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \hspace{0.1cm}, 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot n \end{equation*} }$$
La anterior sucesión es lo que se conoce como la sucesión factorial de los números naturales. Euler y Goldbach se preguntaban cual sería el factorial de una fracción, lo que llevo a que Euler desarrollara la función especial gamma.
Euler mostró la función analítica que modela la sucesión anterior para los números naturales a Goldbach un 13 de Octubre del 1729 en la cuál muestra la ecuación de la función gamma.
Definición de la Función Gamma
La función gamma es una de las funciones especiales que hay en el análisis matemático. La función gamma es una función integral paramétrica la cual esta definida por la siguiente ecuación, puede obtenerse a partir de la transformada de Laplace
$${\large \begin{equation*}\mathcal{L}(t) = \int_{0}^{\infty} \left( e^{-st} \cdot f(t)\right)\mathrm{d}t \end{equation*}}$$
Cuando s es igual a 1 y f(t) es igual a $t^{\mu - 1}$ entonces la transformada de Laplace se convierte en la función gamma o cuando se desea encontrar la transformada de Laplace $\mathcal{L} \lbrace t^n \rbrace $, si y solo si n es un numero no entero.
$${\large \begin{equation*} \Gamma (\mu) =\int_{0}^{\infty} \left( e^{-t} \cdot t^{\mu - 1} \right)\mathrm{d}t \end{equation*}}$$
La Función gamma $ \Gamma (\mu) $ es de suma importancia porque nos permite entender la definición del factorial de un número natural, a su vez permite definir otras funciones especiales tales como la función beta, la función digamma, la función pi, etc.
La gráfica de la función gamma para los números reales es la siguiente que se muestra a continuación.
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| Gráfica de la función Gamma |
Luego de la inclusión de la función gamma a la comunidad matemática algunos matemáticos dieron nuevas definiciones con respecto a la función gamma, si analizamos la función gamma para un caso más general como en el de los números complejos exceptuando los números negativos tenemos las siguientes definiciones:
- Definición de Euler con respecto a la función gamma
$${\Large \begin{equation*} \Gamma(z) = \frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty}\left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^z \cdot \left( 1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \right] \end{equation*}}$$
- Definición de Weierstrass con respecto a la función gamma
$${\Large \begin{equation*} \Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod_{n = 1}^{\infty} \left[ \left( 1 +\frac{z}{n} \right)^{-1}\cdot e^{\frac{z}{n}} \right] \end{equation*}}$$
Propiedades de la función Gamma
- ${\Large \Gamma (1) = 1 }$
Por definición de función gamma
$${\large \begin{equation*} \Gamma (1) = \int_{0}^{\infty} \left( e^{-t} \right) \mathrm{d}t \end{equation*}}$$
Como la ecuación gamma es una integral impropia entonces sacamos su limite respectivo.
$${\large \begin{align*} \Gamma (1) &= \int_{0}^{\infty} \left( e^{-t} \right) \mathrm{d}t \\ \Gamma (1) &= \lim_{b \to \infty} \left( \int_{0}^{b} \left( e^{-t} \right) \mathrm{d}t \right) \\ \Gamma (1) &= \lim_{b \to \infty} \left( \left. -e^{-t} \right |_{0}^{b} \right) \\ \Gamma (1) &= \lim_{b \to \infty} \left( -e^{-b} + 1 \right) \\ \Gamma (1) &= 1 \end{align*} }$$
- ${\Large \Gamma (\mu + 1) = \mu \cdot \Gamma(\mu) }$
Por definición de función gamma
$${\large \begin{equation*} \Gamma (\mu + 1) = \int_{0}^{\infty} \left( e^{-t} \cdot t^{\mu}\right) \mathrm{d}t \end{equation*}}$$
Realizando la integración por partes con las siguientes relaciones:
$${\large \begin{align*} h = t^{\mu} \hspace{1cm} ,& \hspace{1cm} dw = e^{-t}dt \\ dh = \mu \cdot t^{\mu - 1} \hspace{1cm} ,& \hspace{1cm} w = -e^{-t} \end{align*}}$$
Entonces reemplazando las anteriores relaciones en la integral tenemos o siguiente
$${\large \begin{align*} hdw &= hw - wdh \\ \int_{0}^{\infty} \left( e^{-t} \cdot t^{\mu}\right) \mathrm{d}t &= -t^{\mu}e^{-t} + \mu \int_{0}^{\infty}\left( e^{-t} \cdot t^{\mu - 1} \right)\mathrm{d}t \\ \end{align*}}$$
Como se trata de una integral impropia entonces sacamos su limite respectivo
$${\large \begin{align*} \int_{0}^{\infty} \left( e^{-t} \cdot t^{\mu}\right) \mathrm{d}t &= -t^{\mu} \cdot e^{-t} + \mu \int_{0}^{\infty}\left( e^{-t} \cdot t^{\mu - 1} \right)\mathrm{d}t \\ \lim_{b \to \infty}\left( \int_{0}^{b} \left( e^{-t} \cdot t^{\mu}\right) \mathrm{d}t \right) &= \lim_{b \to \infty} \left( -b^{\mu} \cdot e^{-b} + \mu \int_{0}^{b}\left( e^{-t} \cdot t^{\mu - 1} \right)\mathrm{d}t \right) \\ \lim_{b \to \infty}\left( \int_{0}^{b} \left( e^{-t} \cdot t^{\mu}\right) \mathrm{d}t \right) &= \lim_{b \to \infty} \left( \mu \int_{0}^{b}\left( e^{-t} \cdot t^{\mu - 1} \right)\mathrm{d}t \right) \\ \int_{0}^{\infty} \left( e^{-t} \cdot t^{\mu}\right) \mathrm{d}t &= \mu \int_{0}^{\infty}\left( e^{-t} \cdot t^{\mu - 1} \right)\mathrm{d}t \\ \Gamma (\mu + 1) &= \mu \cdot \Gamma (\mu) \end{align*}}$$
- ${\Large \Gamma(n + 1) = n! \hspace{1cm}, \hspace{0.2cm} Si \hspace{0.2cm} n \in \mathbb{N} }$
Partiendo del resultado anterior ${\large \Gamma (n + 1) = n \cdot \Gamma (n) }$ podemos demostrar la propiedad 2 de la función gamma.
$${\large \begin{align*} \Gamma (n + 1) &= n \cdot \Gamma (n) \\ \Gamma (n + 1) &= n \cdot (n-1) \cdot \Gamma (n -1) \\ \Gamma (n + 1) &= n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \Gamma (n -2) \\ \vdots &= \hspace{1.4cm} \vdots \\ \Gamma(n + 1) &= n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot (n - k) \cdot \Gamma (n - k) \\ \Gamma(n + 1) &= n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot (n - k) \cdot (n-k-1) \cdot \Gamma (n - k - 1) \end{align*}}$$
Por consiguiente se puede observar que se cumple la inducción matemática para todos números k que sean naturales. Por lo tanto
$${\large \begin{align*} \Gamma (n + 1) &= n \cdot \Gamma (n) \\ \Gamma (n+1) &= n! \end{align*}}$$
- ${\Large \Gamma (1/2) = \sqrt{\pi} }$
Por definición de función gamma
$${\large \begin{align*}\Gamma(\mu) &= \int_{0}^{\infty}\left( t^{\mu - 1} \cdot e^{-t} \right) \mathrm{d}t \\ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= \int_{0}^{\infty}\left( t^{-\frac{1}{2}} \cdot e^{-t} \right) \mathrm{d}t \end{align*}}$$
Realizando un cambio de variable
$${\large \begin{equation*} t = x^{2} \hspace{1cm} , \hspace{1cm} dt = 2xdx \end{equation*}}$$
Entonces reemplazando las nuevas relaciones en la integral tenemos lo siguiente
$${\large \begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= \int_{0}^{\infty}\left( t^{-\frac{1}{2}} \cdot e^{-t} \right) \mathrm{d}t \\ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= \int_{0}^{\infty}\left( (x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot e^{-x^2} \cdot (2x) \right) \mathrm{d}x \\ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= 2\int_{0}^{\infty}\left( e^{-x^2} \right) \mathrm{d}x \end{align*}}$$
La integral impropia ${\large \int_{0}^{\infty}\left( e^{-x^2} \right) \mathrm{d}x }$ es la integral gaussiana y tiene un valor ya definido el cuál es ${\large \frac{\sqrt{\pi}}{2} }$. Su demostración se realiza con integrales dobles y el teorema de Fubini. Por consiguiente si reemplazamos ese valor ya conocido en la función gamma evaluada en ${\large \mu = \frac{1}{2} }$ se tiene lo siguiente
$${\large \begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= 2\int_{0}^{\infty}\left( e^{-x^2} \right) \mathrm{d}x \\ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= 2\left( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \right) \\ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= \sqrt{\pi} \end{align*}}$$
- ${\Large \Gamma \left(\frac{1}{2} + n \right) = \sqrt{\pi}\left( \frac{(2n - 1)!!}{2^{n}}\right) \hspace{1cm}, \hspace{0.2cm} Si \hspace{0.2cm} n \in \mathbb{N} }$
Si tomamos los resultados de las propiedades anteriores y utilizamos el método de inducción matemática se puede probar esta nueva propiedad de la función gamma.
$${\large \begin{align*} \Gamma \left(\frac{3}{2}\right) &= \frac{1}{2} \Gamma \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\ \Gamma \left(\frac{5}{2}\right) &= \frac{3}{2} \Gamma \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3\sqrt{\pi}}{4} \\ \Gamma \left(\frac{7}{2}\right) &= \frac{5}{2} \Gamma \left(\frac{5}{2}\right) = \frac{15\sqrt{\pi}}{8} \\ \Gamma \left(\frac{9}{2}\right) &= \frac{7}{2} \Gamma \left(\frac{7}{2}\right) = \frac{125\sqrt{\pi}}{16} \\ \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} &= \hspace{1cm} \vdots \\ \Gamma \left( \frac{2n + 1}{2} \right) &= \sqrt{\pi}\left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot7 \dotsb (2n - 1) }{2^{n}} \right) \end{align*} }$$
El producto de los números ${\large n \cdot (n - 2) \cdot (n - 4) \cdots (n - k)}$ esta relacionado con la definición de doble factorial el cuál es el siguiente.
$${\large \begin{equation*} n!! = \left\{ \begin{array}{lcc} 1 & si & n = 0 \\ n \cdot (n - 2)!! & si & n \not= 0 \\ \end{array} \right. \end{equation*}}$$
Por consiguiente si hacemos uso de la definición del doble factorial para la propiedad ${\large \Gamma \left(\frac{1}{2} + n \right) = \sqrt{\pi}\left( \frac{(2n - 1)!!}{2^{n}}\right) }$ para el producto de los numeros impares entonces tenemos lo siguiente.
$${\large \begin{align*} \Gamma \left( \frac{2n + 1}{2}\right) &= \sqrt{\pi}\left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot7 \dotsb (2n - 1) }{2^{n}} \right) \\ \Gamma \left( \frac{2n + 1}{2}\right) &= \sqrt{\pi}\left( \frac{(2n - 1)!!}{2^{n}}\right) \end{align*} }$$
- ${\Large \Gamma (z) \cdot \Gamma (1 - z) = \frac{\pi}{\sin{(\pi z)}} }$
Partiendo de la definición de Weierstrass de la función gamma
$${\large \begin{align*} \Gamma (z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod_{n = 1}^{\infty} \left[ \left( 1 +\frac{z}{n} \right)^{-1}\cdot e^{\frac{z}{n}} \right] \\ \Gamma (-z) &= \frac{e^{\gamma z}}{z}\prod_{n = 1}^{\infty} \left[ \left( 1 -\frac{z}{n} \right)^{-1}\cdot e^{-\frac{z}{n}} \right] \end{align*} }$$
Ahora realizamos el producto de ${\large \Gamma (z) }$ y ${\large \Gamma (-z) }$ obtenemos la siguiente ecuación:
$${\large \begin{align*} \Gamma (z) \cdot \Gamma (-z) &= -\frac{1}{z^2} \prod_{n=1}^{\infty} \left[ \left( 1 - \frac{z^2}{n^2} \right)^{-1} \right] \\ \frac{1}{\Gamma (z) \cdot \Gamma (-z)} &= -z^2 \prod_{n=1}^{\infty} \left[ \left( 1 - \frac{z^2}{n^2} \right) \right] \hspace{1.3cm}...\hspace{0.2cm} (1) \end{align*} }$$
Partiendo de la propiedad ${\large \Gamma (z + 1) = z \cdot \Gamma (z) }$ entonces
$${\large \begin{align*} \Gamma (z + 1) &= z \cdot \Gamma (z) \\ \Gamma (-z + 1) &= -z \cdot \Gamma (-z) \\ \Gamma (-z) &= -\frac{\Gamma (-z + 1)}{z} \\ \Gamma (z) \cdot \Gamma (-z) &= -\frac{\Gamma (z) \cdot \Gamma (-z + 1)}{z} \\ \frac{1}{\Gamma (z) \cdot \Gamma (-z)} &= \frac{-z}{\Gamma (z) \cdot \Gamma (-z + 1)} \hspace{1.3cm}...\hspace{0.2cm} (2) \end{align*} }$$
Igualando (1) y (2)
$${\large \begin{align*} \frac{-z}{\Gamma (z) \cdot \Gamma (-z + 1)} &= -z^2 \prod_{n=1}^{\infty} \left[ \left( 1 - \frac{z^2}{n^2} \right) \right] \\ \frac{1}{\Gamma (z) \cdot \Gamma (-z + 1)} &= z \prod_{n=1}^{\infty} \left[ \left( 1 - \frac{z^2}{n^2} \right) \right] \\ \end{align*} }$$
Partiendo de la definición del productorio para el seno
$${\large \begin{align*} \sin{x} = x \prod_{n = 1}^{\infty} \left[ \left( 1 - \frac{x^2}{\pi ^2 n^2} \right) \right] \hspace{1.3cm}...\hspace{0.2cm} (3) \end{align*} }$$
si hacemos el cambio de variable
$${\large \begin{equation*} z = \frac{x}{\pi} \hspace{1.5cm} , \hspace{1.5cm} x = z \pi \end{equation*} }$$
Entonces reemplazando las nuevas relaciones en la ecuación (3)
$${\large \begin{align*} \frac{1}{\Gamma (z) \cdot \Gamma (-z + 1)} &= z \prod_{n=1}^{\infty} \left[ \left( 1 - \frac{z^2}{n^2} \right) \right] \\ \frac{1}{\Gamma (z) \cdot \Gamma (-z + 1)} &= \frac{x}{\pi} \prod_{n=1}^{\infty} \left[ \left( 1 - \frac{x^2}{\pi ^2 n^2} \right) \right] \\ \frac{1}{\Gamma (z) \cdot \Gamma (-z + 1)} &= \frac{\sin({x})}{\pi} \\ \frac{1}{\Gamma (z) \cdot \Gamma (1 - z)} &= \frac{\sin({\pi z})}{\pi} \\ \Gamma (z) \cdot \Gamma (1 - z) &= \frac{\pi}{\sin({\pi z})} \end{align*} }$$
- ${\Large \ln{(n!)} \approx n\ln{(n)} - n }$
Partiendo de la definición de factorial
$${\large \begin{align*} n! &= \Gamma (n + 1) \\ n! &= \int_{0}^{\infty} \left( e^{-x} \cdot x^{n}\right) \mathrm{d}x \\ n! &= \int_{0}^{\infty} \left( e^{-x} \cdot e^{\ln{(x^{n})}} \right) \mathrm{d}x \\ n! &= \int_{0}^{\infty} \left(e^{n\ln{(x)} - x} \right) \mathrm{d}x \end{align*} }$$
Realizando un cambio de variable ${\large x = nt}$
$${\large \begin{align*} n! &= \int_{0}^{\infty} \left(e^{n\ln{(x)} - x} \right) \mathrm{d}x \\ n! &= n\int_{0}^{\infty} \left(e^{n\ln{(nt)} - nt} \right) \mathrm{d}t \\ n! &= n\int_{0}^{\infty} \left(e^{n\ln{(n)} + n\ln{(t)} - nt} \right) \mathrm{d}t \\ n! &= n^{n+1} \int_{0}^{\infty} \left(e^{n(\ln{(t)} - t)} \right) \mathrm{d}t \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm}(1) \end{align*} }$$
Utilizando el método de Laplace de integración asintótica
$${\large \begin{align*} \int_{a}^{b}\left( e^{Mf(y)} \right)dy &\approx \sqrt{\frac{2\pi}{M | f''(y_{P})|}} e^{Mf(y_{P})} \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm}(2) \end{align*} }$$
Reemplazando la ecuación (2) en la ecuación (1)
$${\large \begin{align*} n! &= n^{n+1} \int_{0}^{\infty} \left(e^{n(\ln{(t)} - t)} \right) \mathrm{d}t \\ n! &\approx n^{n+1} \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n} \\ n! &\approx \left(\frac{n}{e}\right)^{n} \sqrt{2\pi n} \\ \ln{(n!)} &\approx \ln{\left( \left(\frac{n}{e}\right)^{n} \sqrt{2\pi n} \right)} \\ \ln{(n!)} &\approx \ln{\left(\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\right)} + \ln{(\sqrt{2\pi n})} \\ \ln{(n!)} &\approx \ln{(n^n)} - \ln{(e^n)} + \ln{(\sqrt{2\pi n})} \hspace{1cm}...\hspace{0.2cm}(3) \end{align*} }$$
Cuando n es muy grande se obtienen los siguientes resultados
$${\large \begin{equation*} n^n >> n! \hspace{1.5cm},\hspace{1.5cm} n^n >> \sqrt{2\pi n} \end{equation*}}$$
Por consiguiente la ecuación (3) queda de la siguiente forma:
$${\large \begin{align*} \ln{(n!)} &\approx \ln{(n^n)} - \ln{(e^n)} + \ln{(\sqrt{2\pi n})} \\ \ln{(n!)} &\approx n\ln{(n)} - n \end{align*}}$$
Funciones Especiales definidas en función de la función Gamma
La función gamma es utilizada en muchos campos de la ciencia, sin embargo también ha sido útil para definir otras funciones especiales como las siguientes:
- Función Beta
$${\large \begin{equation*}B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\cdot\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \end{equation*} }$$
La función beta es utilizada en la estadística para modelar una distribución de probabilidad continua llamada distribución beta.
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| Grafica de la función Beta |
- Función Pi
$${\large \begin{equation*}\Pi(x) = \Gamma(x+1) = x\cdot\Gamma(x) \end{equation*} }$$
La función Pi es una refinación de la función gamma y permite tener el factorial de un número natural de una mejor manera.
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| Gráfica de la función Pi |
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