Cinemática en un sistema de coordenadas

Una partícula se mueve en el espacio siguiente una respectiva trayectoria que depende del tiempo. Los sistemas de coordenados adecuados para poder comprender el comportamiento de una partícula que se mueve en el espacio son varios, sin embargo dependerán de ciertos factores característicos de cada sistema de coordenadas para poder utilizar el que mejor pueda analizar el movimiento de dicha partícula y pueda funcionar como un sistema de referencia.

Sistema de Coordenadas Curvilíneas

Sistema De Coordenadas Cartesiano

El sistema de coordenadas cartesiano es el sistema con el cuál estamos más familiarizados pues solo tenemos que colocarle valores respectivos al punto P$P{\large (x, y, z) }$ para determinar la posición de cualquier objeto en este sistema de coordenadas. 

El dominio de las coordenadas en este sistema cartesiano es el siguiente:

$${\large \begin{align*} P(x,y,z) &= \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}  \end{align*}}$$

En este sistema de coordenadas los vectores unitarios son constantes a su vez sus respectivos módulos son iguales a 1. Por último son ortogonales entre si.

$${\large \begin{align*} \hat{x} &= (1,0,0)  \hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} \|\hat{x}\| = 1 \\ \hat{y} &= (0,1,0)  \hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} \|\hat{y}\| = 1 \\ \hat{z} &= (0,0,1)  \hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} \|\hat{z}\| = 1 \end{align*} }$$

Cinemática Del Sistema De Coordenadas Cartesiano

Cuando el sistema de coordenadas cartesiano es usado como un sistema de referencia para el movimiento de una partícula. Sus respectivas magnitudes vectoriales del movimiento están dadas por las siguientes ecuaciones.  

$${\large   \begin{align*} \vec{r} &= x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \\ \vec{v} &= \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k} \\ \vec{a} &= \frac{d^2x}{dt^2}\hat{i} + \frac{d^2y}{dt^2}\hat{j} + \frac{d^2z}{dt^2}\hat{k} \\ \end{align*} }$$

Curvas Coordenadas

• Cuando las coordenadas y, z son constantes se forma una recta perpendicular al plano YZ.
• Cuando las coordenadas x, z son constantes se forma una recta perpendicular al plano XZ.
• Cuando las coordenadas x, y son constantes se forma una recta perpendicular al plano XY.

Curvas Coordenadas del Sistema de Coordenadas Cartesiano

Superficies Coordenadas

• Cuando la coordenada x es constante se forma un plano paralelo al plano YZ.  
• Cuando la coordenada y es constante se forma un plano paralelo al plano XZ.
• Cuando la coordenada z es constante se forma un plano paralelo al plano XY.

Sistema De Coordenadas Cilíndricas Circulares

El sistema de coordenadas cilíndrico circular es el sistema de coordenadas en el cuál se trabaja en un cilindro circular recto a diferencia del sistema de coordenadas cartesiano en el cuál se trabaja en un cubo. 

El sistema de coordenadas cilíndrico circular es una extensión del sistema de coordenadas polares para tres dimensiones espaciales. 

Para determinar la posición de cualquier objeto en este sistema se necesita conocer una coordenada radial, una coordenada angular y una coordenada vertical que son representadas en un punto de la siguiente forma $P{(\large \varphi, \theta, z)}$. El dominio de las coordenadas en este sistema cilíndrico circular es el siguiente:

$${\large \begin{align*} P(\rho, \varphi, z) &= \left[0 , \infty\right> \times [0 , 2\pi] \times \mathbb{R} \end{align*}}$$

En este sistema de coordenadas los vectores unitarios dejan de ser constantes, sin embargo sus respectivos módulos siguen siendo iguales a 1.  Por último son ortogonales entre si.

$${\large \begin{align*} \hat{\rho} &= (\cos\varphi, \sin\varphi ,0) &\hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} &\|\hat{\rho}\| = 1 \\ \hat{\varphi} &= (-\sin\varphi, \cos\varphi, 0) &\hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} &\|\hat{\varphi}\| = 1 \\ \hat{z} &= (0,0,1) &\hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} &\|\hat{z}\| = 1  \end{align*}}$$

Cinemática Del Sistema De Coordenadas Cilíndricas Circular

Cunado el sistema de coordenadas cilíndrico circular es usado como un sistema de referencia para el movimiento de una partícula. Sus respectivas magnitudes vectoriales del movimiento están dadas por las siguientes ecuaciones.    

$${\large \begin{align*} \vec{r} &= \rho\hat{\rho} + z\hat{k} \\ \vec{v} &= \frac{d\rho}{dt}\hat{\rho} + \rho\frac{d\varphi}{dt}\hat{\varphi} + \frac{dz}{dt}\hat{k} \\ \vec{a} &= \left(\frac{d^2\rho}{dt^2} - \rho \left(\frac{d\varphi}{dt} \right)^2\right)\hat{\rho} + \left(2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\varphi}{dt} + \rho\frac{d^2\varphi}{dt^2}\right)\hat{\varphi} + \frac{d^2z}{dt^2}\hat{k} \end{align*} }$$

Curvas Coordenadas

• Cuando las coordenadas $ \varphi $, z son constantes se forman semirectas horizontales.
• Cuando las coordenadas $\rho$, z son constantes se forman circunferencias con centro en el eje Z.
• Cuando las coordenadas $\rho$, $\varphi$ son constantes se forman rectas verticales.

Curvas Coordenadas del Sistema de Coordenadas Cilíndricas Circulares

Superficies Coordenadas

• Cuando la coordenada $\rho$ es constante se forma un cilindro circular de radio $\rho$.
• Cuando la coordenada $\varphi$ es constante se forma un semiplano con origen el eje Z.
• Cuando la coordenada z es constante se forma un plano paralelo al plano XY.

Sistema De Coordenadas Esféricas

El sistema de coordenadas esféricas es el sistema de coordenadas en el cuál se trabaja en una esfera. A diferencia del sistema de coordenadas cartesiano en el cuál se trabaja en un cubo y el sistema de coordenadas cilíndrico circular en el cuál se trabaja en un cilindro circular recto. 

El sistema de coordenadas esféricas es una extensión del sistema de coordenadas polares para tres dimensiones espaciales como también puede expandirse para n dimensiones. 

Para determinar la posición de cualquier objeto en este sistema de coordenadas se necesita conocer una coordenada radial y dos coordenadas angulares que son representadas en un punto de la siguiente forma $P{\large (\rho, \theta, \varphi)}$. El dominio de las coordenadas en este sistema esférico es el siguiente:

$${\large \begin{align*} P(\rho, \theta, \varphi) &= \left[0 , \infty \right> \times \left[-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}\right] \times [0 , 2\pi] \end{align*}}$$

En este sistema de coordenadas los vectores unitarios dejan de ser constantes, sin embargo sus respectivos módulos siguen siendo iguales a 1. Por último son ortogonales entre si.

$${\large \begin{align*} \hat{\rho} &= (\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi ,\cos\theta) &\hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} & \|\hat{\rho}\| = 1 \\ \hat{\varphi} &= (\cos\theta\cos\varphi, \cos\theta\sin\varphi, -\sin\theta) &\hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} & \|\hat{\varphi}\| = 1 \\ \hat{\theta} &= (-\sin\varphi, \cos\varphi, 0) &\hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} & \|\hat{\theta}\| = 1 \end{align*}}$$

Cinemática Del Sistema De Coordenadas Esférico

Cunado el sistema de coordenadas esférico es usado como un sistema de referencia para el movimiento de una partícula. Sus respectivas magnitudes vectoriales del movimiento están dadas por las siguientes ecuaciones. 

$${\large \begin{align*} \vec{r} &= \rho\hat{\rho} \\ \vec{v} &= \frac{d\rho}{dt}\hat{\rho} + \rho\sin(\varphi)\frac{d\varphi}{dt}\hat{\varphi} + \rho\frac{d\theta}{dt}\hat{\theta} \\ \vec{a} & = \left[\frac{d^2\rho}{dt^2} - \rho \left(\frac{d\theta}{dt} \right)^2 - \rho(\sin(\theta))^2 \left(\frac{d \varphi}{dt}\right)^2 \right]\hat{\rho} \\ & + \left[\rho\frac{d^2\theta}{dt^2} + 2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt} -      \rho\sin(\theta)\cos(\theta) \left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2 \right]\hat{\theta} \\ & + \left[ \rho\sin{\theta}\frac{d^2\varphi}{dt^2} + 2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\varphi}{dt} + 2\rho\frac{d\theta}{dt}\frac{d\varphi}{dt}\cos{\theta} \right]\hat{\varphi} \end{align*} }$$

Curvas Coordenadas

• Cuando las coordenadas $\theta$ y $\rho$ son constantes se forman circunferencias horizontales con centro en el eje Z.
• Cuando las coordenadas $\varphi$ y $\theta$ son constantes se forman semirrectas radiales que parten del origen de coordenadas.
• Cuando las coordenadas $\rho$ y $\varphi$ son constantes se forman semicircunferencias con centro en el origen de coordenadas.

Curvas Coordenadas del Sistema de Coordenadas Esférico

Superficies Coordenadas

• Cuando la coordenada $\rho$ es constante se forma un esfera de radio $\rho$ con centro en el origen de coordenadas.
• Cuando la coordenada $\varphi$ es constante se forman  semiplanos verticales. 
• Cuando la coordenada $\theta$ es constante se forma un cono circular recto con vértice en el origen de coordenadas.